Translation update pending
The Dutch translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.
Lijst met symbolen voor fysische grootheden¶
Deze pagina geeft een overzicht van de symbolen voor fysische grootheden die in de FrontISTR-theoriehandleiding worden gebruikt. Zie voor notatieconventies (vetgedrukte notatie voor vectoren en tensoren, de Einstein-sommatieconventie en Voigt-notatie) Tensornotatie en wiskundige grondslagen.
Configuraties en coördinatenstelsels¶
| Symbool | Beschrijving |
|---|---|
| \(\boldsymbol{X}\) | Positievector van een materieel punt in de referentieconfiguratie (beginconfiguratie) (materiële coördinaten) |
| \(\boldsymbol{x}\) | Positievector van een materieel punt in de huidige configuratie (ruimtelijke coördinaten) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | Bewegingsafbeelding: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | Domein dat door het lichaam wordt ingenomen in de referentieconfiguratie |
| \(\Omega\) | Domein dat door het lichaam wordt ingenomen in de huidige configuratie |
| \(\Gamma_0\) | Grens van \(\Omega_0\) |
| \(\Gamma\) | Grens van \(\Omega\) |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | Geometrische (verplaatsings-)grens: grens in de huidige/referentieconfiguratie waarop \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) is voorgeschreven |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | Mechanische grens: grens in de huidige/referentieconfiguratie waarop \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (of \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) is voorgeschreven |
| \(\boldsymbol{n}\) | Uitwendige eenheidsnormaalvector op een oppervlak in de huidige configuratie |
| \(\boldsymbol{N}\) | Uitwendige eenheidsnormaalvector op een oppervlak in de referentieconfiguratie |
| \(t\) | Tijd |
Conventie: Fysische grootheden in de referentieconfiguratie worden aangeduid met hoofdletters of een subscript \(0\), terwijl grootheden in de huidige configuratie met kleine letters worden aangeduid.
Tijd en incrementen (incrementele analyse)¶
| Symbool | Beschrijving |
|---|---|
| \(\Delta t\) | Tijdsincrement: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | Fysische grootheid op tijdstip \(t\) (voorafgaand superscript). Voorbeeld: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) is de Cauchy-spanning op tijdstip \(t\) |
| \(^{t}\Omega\) | Domein van de huidige configuratie op tijdstip \(t\) |
| \(^{t}\Gamma\) | Grens van de huidige configuratie op tijdstip \(t\) |
Conventie: Bij incrementele analyse wordt de toestand tot en met tijdstip \(t\) als bekend beschouwd en wordt de toestand op tijdstip \(t + \Delta t\) als onbekende opgelost. Het voorafgaande superscript wordt weggelaten wanneer het tijdstip niet expliciet hoeft te worden aangegeven. Een formulering die de referentieconfiguratie \(\Omega_0\) als referentie gebruikt, heet de Total Lagrange-formulering; een formulering die de huidige configuratie \(^{t}\Omega\) aan het begin van het increment als referentie gebruikt, heet de Updated Lagrange-formulering.
Verplaatsing, snelheid, versnelling en lichaamskracht¶
| Symbool | Beschrijving |
|---|---|
| \(\boldsymbol{u}\) | Verplaatsingsvector: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | Verplaatsing voorgeschreven op de geometrische grens \(\Gamma_B\) |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | Virtuele verplaatsing (testfunctie): op \(\Gamma_B\) geldt \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | Snelheidsvector: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | Versnellingsvector: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | Lichaamskracht (per massaeenheid) |
| \(\boldsymbol{t}\) | Oppervlaktekrachtvector (per oppervlakte-eenheid): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | Oppervlaktekracht voorgeschreven op de mechanische grens \(\Gamma_t\) (Neumann-gegevens) |
Differentiaaloperatoren¶
| Symbool | Beschrijving |
|---|---|
| \(\dot{(\cdot)}\) | Materiële tijdsafgeleide (tijdsafgeleide waarbij hetzelfde materiële punt wordt gevolgd): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | Gradiënt in de referentieconfiguratie (gradiënt ten opzichte van de materiële coördinaten \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | Gradiënt in de huidige configuratie (gradiënt ten opzichte van de ruimtelijke coördinaten \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | Symmetrische gradiëntoperator: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
Opmerking: \(\nabla_X\) en \(\nabla_x\) zijn gerelateerd door \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Een gradiënt zonder subscript, \(\nabla\), wordt gebruikt wanneer de configuratie uit de context duidelijk is of wanneer het onderscheid verdwijnt, zoals bij problemen met kleine vervormingen.
Vervormingstensoren¶
| Symbool | Beschrijving |
|---|---|
| \(\boldsymbol{F}\) | Vervormingsgradiënttensor: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | Volumeverhouding: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | Rechter Cauchy-Green-vervormingstensor: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | Linker Cauchy-Green-vervormingstensor: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | Snelheidsgradiënttensor: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | Vervormingssnelheidstensor (symmetrisch deel van \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | Spintensor (antisymmetrisch deel van \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
Rektensoren¶
| Symbool | Beschrijving |
|---|---|
| \(\boldsymbol{E}\) | Green-Lagrange-rektensor (referentieconfiguratie): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Almansi-rektensor (huidige configuratie): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Lineair deel van de Almansi-rektensor (symmetrische verplaatsingsgradiënt in de huidige configuratie): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | Infinitesimale rektensor (lineaire benadering): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
Opmerking: \(\boldsymbol{E}\) wordt hoofdzakelijk gebruikt in de Total Lagrange-formulering, terwijl \(\boldsymbol{D}\) hoofdzakelijk wordt gebruikt in de Updated Lagrange-formulering.
Spanningstensoren¶
| Symbool | Beschrijving |
|---|---|
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Cauchy-spanningstensor (ware spanning, huidige configuratie): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | Eerste Piola-Kirchhoff-spanningstensor (nominale spanning): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | Tweede Piola-Kirchhoff-spanningstensor (referentieconfiguratie, symmetrisch): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
Omrekeningsrelaties tussen de spanningstensoren:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
Conventie: De Total Lagrange-formulering gebruikt het paar \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), terwijl de Updated Lagrange-formulering het paar \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\) gebruikt.
Dichtheid en massa¶
| Symbool | Beschrijving |
|---|---|
| \(\rho\) | Massadichtheid in de huidige configuratie |
| \(\rho_0\) | Massadichtheid in de referentieconfiguratie |
Massabehoud: \(\rho_0 = J\rho\).
Materiaalconstanten (lineaire elasticiteit)¶
| Symbool | Beschrijving |
|---|---|
| \(E\) | Elasticiteitsmodulus |
| \(\nu\) | Poissonverhouding |
| \(\lambda\) | Eerste Lamé-constante: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | Tweede Lamé-constante (schuifmodulus): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | Elasticiteitstensor (vierde orde): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), componenten \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (of \(\hat{\tilde{C}}\)) | Materiaalmatrix (Voigt-notatie, \(6\times6\) in 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
Componenten van de elasticiteitstensor voor een isotroop lineair-elastisch materiaal:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
Hyperelastische materialen¶
| Symbool | Beschrijving |
|---|---|
| \(W(\boldsymbol{C})\) | Elastische potentiaalfunctie (rekenergiedichtheidsfunctie) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | Hoofdinvarianten van de rechter Cauchy-Green-tensor \(\boldsymbol{C}\) |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | Gereduceerde invarianten van \(\boldsymbol{C}\) (volumeverandering afgescheiden) |
| \(C_1, C_2\) | Materiaalconstanten van het Mooney-Rivlin-model |
| \(D\) | Materiaalconstante met betrekking tot volumetrische elasticiteit |
Elastoplastische materialen¶
| Symbool | Beschrijving |
|---|---|
| \(\boldsymbol{D}^e\) | Elastische component van de vervormingssnelheidstensor |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | Plastische component van de vervormingssnelheidstensor |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | Vloeifunctie |
| \(\kappa\) | Interne variabele die de plastische toestand weergeeft (isotrope verstevigingsvariabele) |
| \(\lambda^p\) | Plastische vermenigvuldigingsfactor (vermenigvuldigingsfactor voor plastische reksnelheid): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | Plastische potentiaal (\(\Theta = F\) voor een geassocieerde vloeiregel) |
| \(\bar{\sigma}\) | Equivalente spanning (bijv. von Mises-spanning) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | Equivalente plastische rek |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | Isotrope verstevigingsfunctie |
Complementariteitsvoorwaarde: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
Eindige-elementenmethode¶
| Symbool | Beschrijving |
|---|---|
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | Domeinen in de huidige en referentieconfiguratie, benaderd door eindige-elementendiscretisatie: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | Elementdomein in de huidige en referentieconfiguratie |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | Deel van de elementgrens dat tot de mechanische grens behoort |
| \(\boldsymbol{r}\) | Natuurlijke coördinaten (lokale elementcoördinaten) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | Punt in natuurlijke coördinaten dat overeenkomt met knoop \(\alpha\) |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | Vormfunctie van element \(e\) die overeenkomt met knoop \(\alpha\) |
| \(n_e\) | Aantal knopen waaruit een element bestaat |
| \(n_g\) | Totaal aantal globale knopen |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | Coördinaten en verplaatsing van elementknoop \(\alpha\) |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | Knoopcoördinaten- en verplaatsingsvectoren van het element: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), enz. |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | Globale knoopcoördinaten- en verplaatsingsvectoren (gerangschikt op knoopnummer en vervolgens vrijheidsgraad) |
| \(\boldsymbol{B}\) | Rek-verplaatsingsrelatiematrix (B-matrix) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | Vormfunctiematrix: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) bevat voor knoop \(\alpha\) de vormfunctie \(N_\alpha^e\) als diagonaal geplaatst \(d \times d\)-blok, en \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | Elementstijfheidsmatrix |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | Integranden van de elementstijfheidsmatrix (uitgedrukt in de referentie- en huidige configuratie): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL-formulering), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL-formulering) | Interne-krachtvector van het element |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | Externe knoopkracht die op elementknoop \(\alpha\) werkt, en de vector van externe knoopkrachten van het element: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | Globale interne-krachtvector en globale externe-krachtvector: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); analoog voor \(\boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | Interne knoopkracht en externe knoopkracht op globale knoop \(i_g\) (knoopblokken van \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)) |
| \(\boldsymbol{K}\) | Globale tangentiële stijfheidsmatrix: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matrix gevormd door het \(3\times 3\)-blok \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) op rij \(i_g\), kolom \(i_h\) te plaatsen |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Residuvector in de Newton-Raphson-iteratie: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Correctie in de Newton-Raphson-iteratie (verkregen door in iteratie \(i\) de lineaire vergelijking \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) op te lossen) |
| \(i_g\) | Globaal knoopnummer (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | Voor element \(e\) is dit het globale knoopnummer dat overeenkomt met lokaal knoopnummer \(\alpha\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | Voor globaal knoopnummer \(i_g\) de verzameling van bijbehorende paren \((e, \alpha)\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Gebruikt bij assemblagebewerkingen |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | Voor het paar globale knoopnummers \((i_g, i_h)\) de verzameling van bijbehorende tupels \((e, \alpha, \beta)\); gebruikt voor de assemblage van de stijfheidsmatrix |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | Indices voor de knopen waaruit een element bestaat |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | Indices voor vrijheidsgraden (\(1, 2, 3\) in 3D) |
Geavanceerde elementen en structuurelementen¶
| Symbool | Beschrijving |
|---|---|
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | Rek-verplaatsingsrelatiematrix waarvan het volumetrische deel is gewijzigd met de B-bar-methode (de volumetrische component wordt vervangen door de B-matrix die in het elementcentrum is geëvalueerd) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | Vervormingsgradiënt waarvan het volumetrische deel is gewijzigd met de F-bar-methode: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | Volumeverhouding van de vervormingsgradiënt geëvalueerd in het elementcentrum \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | Interne-vrijheidsgraadvector voor een element met incompatibele modi (coëfficiënten van aanvullende verplaatsingsmodi die geen continuïteit op de elementgrens afdwingen) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | Vormfuncties voor incompatibele modi: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | Dikte van het schaalelement |
| \(A\) | Doorsnedeoppervlakte van een balkelement |
| \(I\) | Tweede moment van oppervlakte van de doorsnede van een balkelement (om de lokale \(y\)- en \(z\)-as geschreven als \(I_y\) en \(I_z\)) |
| \(G\) | Schuifmodulus: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
| \(L\) | Elementlengte van een balkelement |
| \(A_s\) | Schuifoppervlakte van de doorsnede van een balkelement (FrontISTR gebruikt \(A_s = A\)) |
| \(\Phi_y, \Phi_z\) | Coëfficiënten die de bijdrage van schuifvervorming in een Timoshenko-balk weergeven: \(\Phi_y = 12EI_z/(GA_sL^2)\), \(\Phi_z = 12EI_y/(GA_sL^2)\) |
Gerelateerde onderwerpen¶
- Tensornotatie en wiskundige grondslagen — Regels voor vetgedrukte notatie, Einstein-sommatieconventie en Voigt-notatie
- Beweging, vervorming en rek — Definities van configuraties, vervormingsgradiënt en rek
- Beweging, vervorming en rek — Afleiding van de bepalende vergelijkingen
- Lineaire elasticiteit — Expliciete componenten van materiaalmatrix \(D\)