Lijst met symbolen voor fysische grootheden
Deze pagina geeft een overzicht van de symbolen voor fysische grootheden die in de FrontISTR-theoriehandleiding worden gebruikt. Zie voor notatieconventies (vetgedrukte notatie voor vectoren en tensoren, de Einstein-sommatieconventie en Voigt-notatie) Tensornotatie en wiskundige grondslagen.
Configuraties en coördinatenstelsels
| Symbool | Beschrijving |
| \(\boldsymbol{X}\) | Positievector van een materieel punt in de referentieconfiguratie (beginconfiguratie) (materiële coördinaten) |
| \(\boldsymbol{x}\) | Positievector van een materieel punt in de huidige configuratie (ruimtelijke coördinaten) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | Bewegingsafbeelding: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | Domein dat door het lichaam wordt ingenomen in de referentieconfiguratie |
| \(\Omega\) | Domein dat door het lichaam wordt ingenomen in de huidige configuratie |
| \(\Gamma_0\) | Grens van \(\Omega_0\) |
| \(\Gamma\) | Grens van \(\Omega\) |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | Geometrische (verplaatsings-)grens: grens in de huidige/referentieconfiguratie waarop \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) is voorgeschreven |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | Mechanische grens: grens in de huidige/referentieconfiguratie waarop \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (of \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) is voorgeschreven |
| \(\boldsymbol{n}\) | Uitwendige eenheidsnormaalvector op een oppervlak in de huidige configuratie |
| \(\boldsymbol{N}\) | Uitwendige eenheidsnormaalvector op een oppervlak in de referentieconfiguratie |
| \(t\) | Tijd |
Conventie: Fysische grootheden in de referentieconfiguratie worden aangeduid met hoofdletters of een subscript \(0\), terwijl grootheden in de huidige configuratie met kleine letters worden aangeduid.
Tijd en incrementen (incrementele analyse)
| Symbool | Beschrijving |
| \(\Delta t\) | Tijdsincrement: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | Fysische grootheid op tijdstip \(t\) (voorafgaand superscript). Voorbeeld: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) is de Cauchy-spanning op tijdstip \(t\) |
| \(^{t}\Omega\) | Domein van de huidige configuratie op tijdstip \(t\) |
| \(^{t}\Gamma\) | Grens van de huidige configuratie op tijdstip \(t\) |
Conventie: Bij incrementele analyse wordt de toestand tot en met tijdstip \(t\) als bekend beschouwd en wordt de toestand op tijdstip \(t + \Delta t\) als onbekende opgelost. Het voorafgaande superscript wordt weggelaten wanneer het tijdstip niet expliciet hoeft te worden aangegeven. Een formulering die de referentieconfiguratie \(\Omega_0\) als referentie gebruikt, heet de Total Lagrange-formulering; een formulering die de huidige configuratie \(^{t}\Omega\) aan het begin van het increment als referentie gebruikt, heet de Updated Lagrange-formulering.
Verplaatsing, snelheid, versnelling en lichaamskracht
| Symbool | Beschrijving |
| \(\boldsymbol{u}\) | Verplaatsingsvector: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | Verplaatsing voorgeschreven op de geometrische grens \(\Gamma_B\) |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | Virtuele verplaatsing (testfunctie): op \(\Gamma_B\) geldt \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | Snelheidsvector: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | Versnellingsvector: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | Lichaamskracht (per massaeenheid) |
| \(\boldsymbol{t}\) | Oppervlaktekrachtvector (per oppervlakte-eenheid): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | Oppervlaktekracht voorgeschreven op de mechanische grens \(\Gamma_t\) (Neumann-gegevens) |
Differentiaaloperatoren
| Symbool | Beschrijving |
| \(\dot{(\cdot)}\) | Materiële tijdsafgeleide (tijdsafgeleide waarbij hetzelfde materiële punt wordt gevolgd): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | Gradiënt in de referentieconfiguratie (gradiënt ten opzichte van de materiële coördinaten \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | Gradiënt in de huidige configuratie (gradiënt ten opzichte van de ruimtelijke coördinaten \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | Symmetrische gradiëntoperator: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
Opmerking: \(\nabla_X\) en \(\nabla_x\) zijn gerelateerd door \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Een gradiënt zonder subscript, \(\nabla\), wordt gebruikt wanneer de configuratie uit de context duidelijk is of wanneer het onderscheid verdwijnt, zoals bij problemen met kleine vervormingen.
Vervormingstensoren
| Symbool | Beschrijving |
| \(\boldsymbol{F}\) | Vervormingsgradiënttensor: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | Volumeverhouding: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | Rechter Cauchy-Green-vervormingstensor: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | Linker Cauchy-Green-vervormingstensor: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | Snelheidsgradiënttensor: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | Vervormingssnelheidstensor (symmetrisch deel van \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | Spintensor (antisymmetrisch deel van \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
Rektensoren
| Symbool | Beschrijving |
| \(\boldsymbol{E}\) | Green-Lagrange-rektensor (referentieconfiguratie): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Almansi-rektensor (huidige configuratie): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Lineair deel van de Almansi-rektensor (symmetrische verplaatsingsgradiënt in de huidige configuratie): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | Infinitesimale rektensor (lineaire benadering): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
Opmerking: \(\boldsymbol{E}\) wordt hoofdzakelijk gebruikt in de Total Lagrange-formulering, terwijl \(\boldsymbol{D}\) hoofdzakelijk wordt gebruikt in de Updated Lagrange-formulering.
Spanningstensoren
| Symbool | Beschrijving |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Cauchy-spanningstensor (ware spanning, huidige configuratie): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | Eerste Piola-Kirchhoff-spanningstensor (nominale spanning): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | Tweede Piola-Kirchhoff-spanningstensor (referentieconfiguratie, symmetrisch): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
Omrekeningsrelaties tussen de spanningstensoren:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
Conventie: De Total Lagrange-formulering gebruikt het paar \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), terwijl de Updated Lagrange-formulering het paar \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\) gebruikt.
Dichtheid en massa
| Symbool | Beschrijving |
| \(\rho\) | Massadichtheid in de huidige configuratie |
| \(\rho_0\) | Massadichtheid in de referentieconfiguratie |
Massabehoud: \(\rho_0 = J\rho\).
Materiaalconstanten (lineaire elasticiteit)
| Symbool | Beschrijving |
| \(E\) | Elasticiteitsmodulus |
| \(\nu\) | Poissonverhouding |
| \(\lambda\) | Eerste Lamé-constante: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | Tweede Lamé-constante (schuifmodulus): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | Elasticiteitstensor (vierde orde): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), componenten \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (of \(\hat{\tilde{C}}\)) | Materiaalmatrix (Voigt-notatie, \(6\times6\) in 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
Componenten van de elasticiteitstensor voor een isotroop lineair-elastisch materiaal:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
Hyperelastische materialen
| Symbool | Beschrijving |
| \(W(\boldsymbol{C})\) | Elastische potentiaalfunctie (rekenergiedichtheidsfunctie) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | Hoofdinvarianten van de rechter Cauchy-Green-tensor \(\boldsymbol{C}\) |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | Gereduceerde invarianten van \(\boldsymbol{C}\) (volumeverandering afgescheiden) |
| \(C_1, C_2\) | Materiaalconstanten van het Mooney-Rivlin-model |
| \(D\) | Materiaalconstante met betrekking tot volumetrische elasticiteit |
Elastoplastische materialen
| Symbool | Beschrijving |
| \(\boldsymbol{D}^e\) | Elastische component van de vervormingssnelheidstensor |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | Plastische component van de vervormingssnelheidstensor |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | Vloeifunctie |
| \(\kappa\) | Interne variabele die de plastische toestand weergeeft (isotrope verstevigingsvariabele) |
| \(\lambda^p\) | Plastische vermenigvuldigingsfactor (vermenigvuldigingsfactor voor plastische reksnelheid): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | Plastische potentiaal (\(\Theta = F\) voor een geassocieerde vloeiregel) |
| \(\bar{\sigma}\) | Equivalente spanning (bijv. von Mises-spanning) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | Equivalente plastische rek |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | Isotrope verstevigingsfunctie |
Complementariteitsvoorwaarde: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
Eindige-elementenmethode
| Symbool | Beschrijving |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | Domeinen in de huidige en referentieconfiguratie, benaderd door eindige-elementendiscretisatie: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | Elementdomein in de huidige en referentieconfiguratie |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | Deel van de elementgrens dat tot de mechanische grens behoort |
| \(\boldsymbol{r}\) | Natuurlijke coördinaten (lokale elementcoördinaten) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | Punt in natuurlijke coördinaten dat overeenkomt met knoop \(\alpha\) |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | Vormfunctie van element \(e\) die overeenkomt met knoop \(\alpha\) |
| \(n_e\) | Aantal knopen waaruit een element bestaat |
| \(n_g\) | Totaal aantal globale knopen |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | Coördinaten en verplaatsing van elementknoop \(\alpha\) |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | Knoopcoördinaten- en verplaatsingsvectoren van het element: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), enz. |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | Globale knoopcoördinaten- en verplaatsingsvectoren (gerangschikt op knoopnummer en vervolgens vrijheidsgraad) |
| \(\boldsymbol{B}\) | Rek-verplaatsingsrelatiematrix (B-matrix) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | Vormfunctiematrix: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) bevat voor knoop \(\alpha\) de vormfunctie \(N_\alpha^e\) als diagonaal geplaatst \(d \times d\)-blok, en \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | Elementstijfheidsmatrix |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | Integranden van de elementstijfheidsmatrix (uitgedrukt in de referentie- en huidige configuratie): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL-formulering), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL-formulering) | Interne-krachtvector van het element |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | Externe knoopkracht die op elementknoop \(\alpha\) werkt, en de vector van externe knoopkrachten van het element: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | Globale interne-krachtvector en globale externe-krachtvector: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); analoog voor \(\boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | Interne knoopkracht en externe knoopkracht op globale knoop \(i_g\) (knoopblokken van \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)) |
| \(\boldsymbol{K}\) | Globale tangentiële stijfheidsmatrix: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matrix gevormd door het \(3\times 3\)-blok \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) op rij \(i_g\), kolom \(i_h\) te plaatsen |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Residuvector in de Newton-Raphson-iteratie: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Correctie in de Newton-Raphson-iteratie (verkregen door in iteratie \(i\) de lineaire vergelijking \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) op te lossen) |
| \(i_g\) | Globaal knoopnummer (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | Voor element \(e\) is dit het globale knoopnummer dat overeenkomt met lokaal knoopnummer \(\alpha\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | Voor globaal knoopnummer \(i_g\) de verzameling van bijbehorende paren \((e, \alpha)\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Gebruikt bij assemblagebewerkingen |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | Voor het paar globale knoopnummers \((i_g, i_h)\) de verzameling van bijbehorende tupels \((e, \alpha, \beta)\); gebruikt voor de assemblage van de stijfheidsmatrix |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | Indices voor de knopen waaruit een element bestaat |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | Indices voor vrijheidsgraden (\(1, 2, 3\) in 3D) |
Geavanceerde elementen en structuurelementen
| Symbool | Beschrijving |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | Rek-verplaatsingsrelatiematrix waarvan het volumetrische deel is gewijzigd met de B-bar-methode (de volumetrische component wordt vervangen door de B-matrix die in het elementcentrum is geëvalueerd) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | Vervormingsgradiënt waarvan het volumetrische deel is gewijzigd met de F-bar-methode: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | Volumeverhouding van de vervormingsgradiënt geëvalueerd in het elementcentrum \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | Interne-vrijheidsgraadvector voor een element met incompatibele modi (coëfficiënten van aanvullende verplaatsingsmodi die geen continuïteit op de elementgrens afdwingen) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | Vormfuncties voor incompatibele modi: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | Dikte van het schaalelement |
| \(A\) | Doorsnedeoppervlakte van een balkelement |
| \(I\) | Tweede oppervlaktemoment van de doorsnede van een balkelement |
| \(G\) | Schuifmodulus: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
Gerelateerde onderwerpen