Ga naar inhoud

Convergentiebepaling

Als afbreekvoorwaarde voor de Newton-Raphson-iteratie (Newton-Raphson-methode) gebruikt FrontISTR twee families dimensieloze grootheden: het residunormcriterium en het correctienormcriterium. Beide delen dezelfde definitie, ongeacht het analysetype (statische analyse, impliciete dynamische analyse) en de aanwezigheid of afwezigheid van contact.

Opsplitsing van de beoordelingsgrootheden

De knoopvrijheidsgraden bevatten componenten met verschillende fysische dimensies. In elementen met 6 vrijheidsgraden hebben de residuen van de translatievrijheidsgraden de dimensie van kracht, terwijl de residuen van de rotatievrijheidsgraden de dimensie van moment hebben. Voorts bevat de residuvector bij contactanalyse met de Lagrange-multiplicatorenmethode (contactanalyse) rijen die overeenkomen met de contactgap (dimensie van lengte).

Als deze in één som van kwadraten worden samengevat, hangt de waarde van de norm willekeurig af van het gekozen eenhedenstelsel en krijgt de drempelwaarde geen vaste betekenis. Daarom splitst FrontISTR de beoordelingsgrootheden per dimensie en maakt elke groep eerst dimensionloos met de bijbehorende referentiegrootheid alvorens te beoordelen.

Symbool Component Dimensie
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\) Residuen van de translatievrijheidsgraden (knoopvrijheidsgraden 1–3) Kracht
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_r\) Residuen van de rotatievrijheidsgraden (knoopvrijheidsgraden 4–6, alleen elementen met 6 vrijheidsgraden) Moment
\(d\boldsymbol{\lambda}\) Correctie van de Lagrange-multiplicator Kracht

De drukvrijheidsgraad van vloeistofgekoppelde elementen (4 knoopvrijheidsgraden, \(u,v,w,p\)) wordt niet in de beoordeling meegenomen.

Bij balk- en schalelementen met 3 knoopvrijheidsgraden (641/761/781) worden rotaties voorgesteld door de vrijheidsgraden 1–3 van dummy-knopen die gepaard gaan met de translatieknopen. De beoordeling maakt geen onderscheid tussen dummy-knopen, dus de residuen van dummy-knopen (momenten) worden eveneens opgenomen in de translatiecomponent \(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\). Hetzelfde geldt voor het correctienormcriterium en de beoordeling op basis van de maximumwaarde.

Uit de residu \(\tilde{\boldsymbol{R}}\) zijn de componenten van de vrijheidsgraden waaraan verplaatsingsbeperkingen zijn opgelegd, weggelaten. De residuen die in deze vrijheidsgraden optreden, corresponderen met reactiekrachten en zijn geen evenwichtsafwijkingen (Newton-Raphson-methode).

Residunormcriterium

De residu \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) van de \(i\)-de iteratie wordt dimensionloos gemaakt met de grootte van de krachten die op dat moment in het systeem optreden. De referentiekracht \(F_\mathrm{ref}\) voor de translatiecomponent en het referentiemoment \(M_\mathrm{ref}\) voor de rotatiecomponent zijn

\[ F_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|,\ \|\boldsymbol{D}_t\| \right), \qquad M_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_r\|,\ \|\boldsymbol{D}_r\| \right) \]

gedefinieerd. Hierbij is \(\boldsymbol{Q}\) de vector van interne krachten en \(\boldsymbol{D}\) de som van de traagheidskrachten en de viskeuze krachten

\[ \boldsymbol{D} = \boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{u}}_{n+1} + \boldsymbol{C}\dot{\boldsymbol{u}}_{n+1} \]

(zie dynamische analyse). Bij een statische analyse geldt \(\boldsymbol{D} = \boldsymbol{0}\). De subscripten \(t\) en \(r\) stellen respectievelijk de translatie- en rotatiecomponenten van de vorige sectie voor. De beoordelingsgrootheden zijn

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|}{F_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f, \qquad \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,r}\|}{M_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f \]

gegeven.

De referentiegrootheden zijn de maximumwaarde van de normen van de interne krachten en de traagheids- en viskeuze krachten, en niet de vectoriële som \(\|\boldsymbol{Q} + \boldsymbol{D}\|\), want bij vrije trilling zonder externe krachten geldt in evenwicht \(\boldsymbol{Q} = -\boldsymbol{D}\) en daalt de referentiegrootheid op basis van de vectoriële som dan naar \(0\). Met de maximumwaarde van de normen treedt deze compensatie niet op.

Als een referentiegrootheid onder een vooraf gedefinieerde ondergrens (\(10^{-8}\)) valt (zoals de eerste iteratie vanuit een ongebelaste toestand), wordt niet door de referentiegrootheid gedeeld, maar de residunorm zelf als beoordelingsgrootte gebruikt. De beoordeling gebeurt dan op basis van de absolute waarde van de residu.

Correctienormcriterium

De correctie \(d\boldsymbol{u}_i\) verkregen in de \(i\)-de iteratie wordt dimensionloos gemaakt met de verplaatsingsincrement \(\Delta\boldsymbol{u}\) die in de substap tot dusver is opgehoppen.

\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|} < \varepsilon_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,r}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_r\|} < \varepsilon_d \]

Dat de correctie ten opzichte van de opgehoppen incrementen voldoende klein is geworden, betekent dat de iteratie is gestagneerd. Het criterium wordt gebruikt als aanvullende beoordeling bij problemen waarbij de residu slechts langzaam afneemt. Als de noemer \(0\) is, wordt het criterium als niet voldaan beschouwd.

Lagrange-multiplicatorcriterium

Bij contactanalyse met de Lagrange-multiplicatorenmethode wordt aan de beoordeling toegevoegd dat de correctie van de multiplicatoren, dimensionloos gemaakt met de grootte van de multiplicatoren zelf, voldoet aan:

\[ \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|,\ F_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon_\lambda \]

De contactgap-beperkingen zijn in het gestelde stelsel opgenomen als vergelijkingen voor de Lagrange-multiplicatoren, zodat de beperkingen als voldaan worden beschouwd zodra de multiplicatoren zijn gevergeerd. De residuen van de gap zelf, die de dimensie van lengte hebben, worden niet in het residunormcriterium opgenomen, omdat ze niet opgeteld kunnen worden bij de krachtresiduen.

De Lagrange-multiplicatoren zijn contactkrachten en hebben dezelfde dimensie als de referentiekracht \(F_\mathrm{ref}\), daarom wordt de noemer van beneden begrensd door \(F_\mathrm{ref}\). Bij dimensionloos maken alleen met \(\|\boldsymbol{\lambda}\|\) zou de beoordeling onbegrensd streng worden wanneer het contact nauwelijks belasting draagt, en voor knopen die net in contact zijn gekomen geldt \(\|\boldsymbol{\lambda}\| = 0\) terwijl \(\|d\boldsymbol{\lambda}_i\| \neq 0\), waardoor de beoordeling niet zou kunnen worden voldaan. De behandeling wanneer de noemer onder de ondergrens valt, is dezelfde als bij het residunormcriterium.

Beoordeling op basis van de maximumwaarde

De L2-norm is de som van de kwadraten over alle vrijheidsgraden, dus een residu dat alleen bij enkele knopen blijft, wordt over het geheel verdunt en als kleiner beoordeeld, des te meer naarmate het aantal knopen toeneemt. Om lokaal niet-evenwichtige toestanden, zoals bij contactknopen, te vangen, kan naast de eerdere criteria ook een beoordeling worden gebruikt waarin de L2-norm is vervangen door de maximumwaarde van de absolute waarden van de vrijheidsgraadcomponenten.

De maximumwaarde van de translatiecomponent van vector \(\boldsymbol{v}\) is voor knoop \(I\) en knoopvrijheidsgraad \(k\) gedefinieerd als

\[ \|\boldsymbol{v}_t\|_\infty = \max_{I}\ \max_{k=1,2,3} |v_{Ik}| \]

De rotatiecomponent \(\|\boldsymbol{v}_r\|_\infty\) is voor \(k = 4,5,6\) analoog gedefinieerd; voor de Lagrange-multiplicatoren wordt de maximumwaarde van de absolute waarden van alle componenten genomen. De beoordelingsgrootheden worden verkregen door in elk criterium de L2-norm, zowel in teller als in noemer, te vervangen door deze maximumwaarde.

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|_\infty}{F^\infty_\mathrm{ref}} < \varepsilon^\infty_f, \qquad F^\infty_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|_\infty,\ \|\boldsymbol{D}_t\|_\infty \right) \]
\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|_\infty}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|_\infty} < \varepsilon^\infty_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|_\infty}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|_\infty,\ F^\infty_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon^\infty_\lambda \]

De rotatiecomponenten worden op dezelfde wijze behandeld. De behandeling wanneer een referentiegrootheid onder de ondergrens valt en wanneer de noemer \(0\) is, is dezelfde als bij de L2-normcriteria.

Ook de referentiegrootheden zijn als maximumwaarden van dezelfde vorm genomen, zodat de grootte van de beoordelingsgrootheden op een vergelijkbaar niveau blijft als bij de L2-normcriteria en vergelijkbare drempelwaarden gebruikt kunnen worden. Er wordt niet per vrijheidsgraadcomponent door een afzonderlijke referentiegrootheid gedeeld, omdat de referentiegrootheid in onbelaste richtingen naar \(0\) nadert en de beoordelingsgrootte dan haar betekenis zou verliezen.

Bij de beoordeling op basis van de maximumwaarde zijn de knoop en de vrijheidsgraad die de maximumwaarde opleveren, vast te stellen. FrontISTR schrijft deze voor de residu en de correctie naar het logbestand per iteratie.

Combinatie van de beoordelingen

Elke beoordelingsgrootte uit de voorgaande secties (voor de residu, de correctie en de Lagrange-multiplicatoren, voor de translatie- en rotatiecomponent, als L2-norm of als maximumwaarde) kan individueel worden aangegeven als in gebruik (CHECK) of niet in gebruik (SKIP). Standaard zijn alle beoordelingen op basis van de L2-norm CHECK en alle beoordelingen op basis van de maximumwaarde SKIP.

Voor het residunormcriterium en het correctienormcriterium geldt dat er van convergentie wordt uitgegaan zodra aan een van de twee is voldaan. Het Lagrange-multiplicatorcriterium bevestigt dat de contactbeperkingen voldaan zijn en wordt daarom altijd vereist in analyses waarin Lagrange-multiplicatoren voorkomen. Binnen één criterium moeten alle met CHECK aangegeven onderdelen, zowel uit de translatie- en rotatiecomponenten als uit de L2-norm en de maximumwaarde, worden voldaan.

Om dit in formules weer te geven, worden voor een groep \(G\) beoordelingsgrootheden de volgende twee definities gegeven:

\[ \mathrm{all\_ok}(G) = \bigwedge_{m \in G} \left( m \text{ is vervuld} \ \vee\ m \text{ is SKIP} \right), \qquad \mathrm{any\_check}(G) = \bigvee_{m \in G} \left( m \text{ is CHECK} \right) \]

\(\mathrm{all\_ok}(G)\) is waar als \(G\) geen enkele CHECK-beoordelingsgrootte bevat. De convergentievoorwaarde is

\[ \mathrm{all\_ok}(\text{Lagrange-multiplicatorcriterium}) \ \wedge\ \left\{ \left( \mathrm{any\_check}(\text{Correctienormcriterium}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{Correctienormcriterium}) \right) \ \vee\ \left( \mathrm{any\_check}(\text{Residunormcriterium}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{Residunormcriterium}) \right) \right\} \]

gegeven. \(\mathrm{any\_check}\) wordt aan de twee groepen verbonden met 'of' toegevoegd, zodat een groep zonder enige CHECK-grootte de beoordeling niet onbeoordeeld doorkrijgt. De rotatiecomponent van analyses zonder rotatievrijheidsgraden en het Lagrange-multiplicatorcriterium van analyses zonder Lagrange-multiplicatoren worden niet in de beoordeling gebruikt, ook niet wanneer CHECK is aangegeven. Met de standaardinstellingen is de convergentievoorwaarde

\[ \left( \text{Lagrange-multiplicatorcriterium} \right) \ \wedge\ \left\{ \left( \text{Correctienormcriterium} \right) \ \vee\ \left( \text{Residunormcriterium} \right) \right\} \]

waardoor bij analyses met rotatievrijheidsgraden zowel de translatie- als de rotatiecomponent worden beoordeeld en bij analyses zonder Lagrange-multiplicatoren de voorwaarde zonder het Lagrange-multiplicatorcriterium wordt beoordeeld.

Voor de aanwijzingsmethode en de standaardwaarden van de drempelwaarden \(\varepsilon_f, \varepsilon_d, \varepsilon_\lambda\) van de beoordelingen op basis van de L2-norm, zie !STEP; voor de CHECK/SKIP-instellingen en de drempelwaarden van de beoordelingen op basis van de maximumwaarde, zie !CONVERG_PARAM; voor richtlijnen bij het kiezen tussen de criteria, zie niet-lineaire iteratie en tijdintegratie (functie).

Zie ook