Ga naar inhoud

Methoden voor dynamische analyse

In deze sectie worden analysemethoden voor dynamische problemen met directe tijdintegratie beschreven. Hieronder worden de formuleringen van de impliciete en expliciete methode gegeven.

Discretisatie van de bewegingsvergelijking (gemeenschappelijk raamwerk)

TBD (wordt in de volgende fase voltooid).

Impliciete methode (Newmark-β-methode)

Voor dynamische problemen wordt een directe tijdintegratiemethode toegepast om de onderstaande bewegingsvergelijking op te lossen.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Hierin is \(M\) de massamatrix, \(C\) de dempingsmatrix, \(Q\) de interne-krachtvector en \(F\) de externe-krachtvector. Er wordt aangenomen dat de massamatrix ook bij niet-lineaire analyse constant blijft, onafhankelijk van de vervorming.

De veranderingen in verplaatsing, snelheid en versnelling gedurende het tijdsinterval \(\Delta t\) worden met de Newmark-\(\beta\)-methode benaderd zoals weergegeven in vergelijking \(\eqref{eq:2.5.2}\) en vergelijking \(\eqref{eq:2.5.3}\).

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Hierin zijn \(\gamma\) en \(\beta\) parameters van de Newmark-\(\beta\)-methode.

Zoals bekend komen de volgende waarden van \(\gamma\) en \(\beta\) respectievelijk overeen met de lineaire-versnellingsmethode en de trapeziumregel.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (lineaire-versnellingsmethode)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (trapeziumregel)

Invullen van vergelijking \(\eqref{eq:2.5.2}\) en vergelijking \(\eqref{eq:2.5.3}\) in vergelijking \(\eqref{eq:2.5.1}\) geeft de volgende vergelijking.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

Voor een lineair probleem is \(K_L\) in het bijzonder de lineaire stijfheidsmatrix en geldt \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Invullen van deze relatie in de bovenstaande vergelijking geeft de volgende vergelijking.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

Op plaatsen waar de versnelling als geometrische randvoorwaarde is voorgeschreven, wordt de verplaatsing als volgt uit vergelijking \(\eqref{eq:2.5.2}\) verkregen.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Evenzo wordt op plaatsen waar de snelheid is voorgeschreven de verplaatsing als volgt uit vergelijking \(\eqref{eq:2.5.6}\) verkregen.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Hierin geldt: \(u_{is}(t+\Delta{t})\) is de knoopverplaatsing op tijdstip \(t+\Delta{t}\), en \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) is de knoopsnelheid op tijdstip \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) is de knoopversnelling op tijdstip \(t+\Delta{t}\), \(i\) is het nummer van de vrijheidsgraad van de knoop en \(s\) is het knoopnummer. De massa- en dempingstermen worden als volgt behandeld.

Behandeling van de massaterm

In beginsel wordt de massamatrix behandeld als een geconcentreerde massamatrix.

Behandeling van de dempingsterm

De dempingsterm wordt behandeld als Rayleigh-demping, uitgedrukt door vergelijking \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Hierin zijn \(R_m\) en \(R_k\) de parameters voor Rayleigh-demping.

De op de !DYNAMIC-kaart opgegeven waarden \(R_m\) en \(R_k\) worden uniform op het volledige model toegepast. Om voor elk materiaal verschillende waarden van \(R_m\) en \(R_k\) toe te kennen, geeft u in het !MATERIAL-blok van dat materiaal de kaart !DAMPING op. Voor elementen die behoren tot een materiaal waarvoor !DAMPING is opgegeven, wordt de elementdempingsmatrix uit de elementmassamatrix \(M_i\) en de tangentiële stijfheidsmatrix \(K_i\) berekend als \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) en vervolgens in de globale dempingsmatrix geassembleerd. Deze functie is alleen van toepassing op de impliciete methode.

Expliciete methode (centrale-differentiemethode)

De expliciete methode is gebaseerd op de onderstaande bewegingsvergelijking op tijdstip t.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Door de verplaatsingen op tijdstippen \(t + \Delta t\) en \(t - \Delta t\) uit te drukken met Taylor-ontwikkelingen rond tijdstip \(t\) en termen tot en met de tweede orde in \(\Delta t\) te behouden, worden de volgende vergelijkingen verkregen.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Het verschil en de som van vergelijking \(\eqref{eq:2.5.3}\) en vergelijking \(\eqref{eq:2.5.4}\) geven de volgende vergelijkingen.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Invullen van vergelijking \(\eqref{eq:2.5.12}\) en vergelijking \(\eqref{eq:2.5.13}\) in vergelijking \(\eqref{eq:2.5.9}\) geeft de volgende vergelijking.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

Voor een lineair probleem geldt in het bijzonder \(Q(t) = K_L U(t)\), en wordt de bovenstaande vergelijking

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Als de massamatrix \(M\) wordt genomen als een geconcentreerde massamatrix en de dempingsmatrix als een proportionele dempingsmatrix \(C = R_m M\), hoeft voor vergelijking \(\eqref{eq:2.5.15}\) geen stelsel van simultane vergelijkingen te worden opgelost.

Daarom kan uit vergelijking \(\eqref{eq:2.5.15}\) de waarde \(U(t+\Delta t)\) met de volgende vergelijking worden verkregen.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Gerelateerde onderwerpen