Modale analyse¶

Gegeneraliseerd eigenwaardeprobleem¶

Voor de vrije-trillingsanalyse van een continuüm wordt de constructie ruimtelijk gediscretiseerd en gemodelleerd als een systeem met meerdere vrijheidsgraden en geconcentreerde massa's, zoals weergegeven in Figuur 2.3.1. Voor een ongedempt vrije-trillingsprobleem luidt de bepalende vergelijking (bewegingsvergelijking) als volgt.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Hier is $u$ de gegeneraliseerde verplaatsingsvector, $M$ de massamatrix en $K$ de stijfheidsmatrix. Laat $\omega$ de eigenhoekfrequentie zijn, laat $a$ en $b$ willekeurige constanten zijn die niet beide nul zijn, en laat $x$ een vector zijn. Definieer de functie

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

De tweede afgeleide hiervan is

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Invullen van Vergelijking $\eqref{eq:2.3.2}$ en Vergelijking $\eqref{eq:2.3.3}$ in Vergelijking $\eqref{eq:2.3.1}$ geeft

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

Dit geeft de bovenstaande vergelijking.

Voor een niet-triviale trilling is $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ niet identiek nul.

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

Daarom geldt de bovenstaande betrekking. Met $\lambda=\omega^2$ volgt

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

Dit geeft de bovenstaande vergelijking.

De scalar $\lambda$ wordt een eigenwaarde genoemd, de vector $x$ een eigenvector, en het probleem dat door Vergelijking $\eqref{eq:2.3.5}$ wordt beschreven een gegeneraliseerd eigenwaardeprobleem.

De eigenhoekfrequentie $\omega$ wordt verkregen uit de eigenwaarde $\lambda=\omega^2$, en de bijbehorende eigenvector $x$ stelt een modusvorm voor.

Voorbeeld van een systeem met meerdere vrijheidsgraden voor ongedempte vrije trilling

Figuur 2.3.1 Voorbeeld van een systeem met meerdere vrijheidsgraden voor ongedempte vrije trilling

Matrixeigenschappen en aannames¶

Voor het gegeneraliseerde eigenwaardeprobleem $Kx=\lambda Mx$ uit de vorige paragraaf wordt in deze handleiding aangenomen dat de matrices symmetrisch zijn. Voor complexe matrices komt dit overeen met Hermitische matrices; voor reële matrices met symmetrische matrices.

Laat $k_{ij}$ het $ij$-element van matrix $K$ zijn. De Hermitische eigenschap wordt uitgedrukt door

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

de bovenstaande vergelijking, waarbij $\bar{k}_{ji}$ de complex geconjugeerde van $k_{ji}$ is. Voor reële matrices wordt deze betrekking $k_{ij}=k_{ji}$.

Een reële symmetrische matrix $H$ is positief definiet als voor elke niet-nulvector $x$

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

de bovenstaande ongelijkheid geldt. In dat geval zijn alle eigenwaarden van $H$ positief.

In een constructief eigenwaardeprobleem wordt de massamatrix $M$ doorgaans als positief definiet beschouwd. De stijfheidsmatrix $K$ kan daarentegen, afhankelijk van de randvoorwaarden, positief semidefiniet zijn en nul-eigenwaarden hebben die overeenkomen met starre-lichaamsmodi.

Inverse iteratie met verschuiving¶

Bij praktische constructieve eindige-elementenanalyse zijn doorgaans niet alle eigenwaarden nodig; vaak volstaan hoogstens enkele eigenwaarden van lage orde. HEC-MW is bedoeld voor grootschalige problemen, waarbij de matrices groot en uiterst ijl zijn en veel nulelementen bevatten. Het is daarom belangrijk de eigenwaarden van modi van lage orde efficiënt te berekenen, met deze eigenschappen in gedachten.

Voor een verschuiving $\sigma$ kan Vergelijking $\eqref{eq:2.3.5}$ als volgt worden getransformeerd als $-\sigma$ geen eigenwaarde is en $K+\sigma M$ niet-singulier is.

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Deze transformatie laat de eigenvector $x$ onveranderd en beeldt de eigenwaarde $\lambda$ af op $1/(\lambda+\sigma)$.

Hoe dichter $\lambda$ bij $-\sigma$ ligt, hoe groter dus de absolute waarde van de getransformeerde eigenwaarde. Voor een constructief eigenwaardeprobleem geldt $\lambda \geq 0$ en $\sigma \geq 0$, zodat de laagste eigenwaarde wordt afgebeeld op de eigenwaarde met de grootste absolute waarde. Door deze eigenschap te benutten en op Vergelijking $\eqref{eq:2.3.8}$ een iteratieve methode toe te passen die eerst naar eigenwaarden met een grote absolute waarde convergeert, kunnen eigenwaarden van lage orde efficiënt in oplopende volgorde worden bepaald.

Deze methode wordt inverse iteratie met verschuiving genoemd.

Voor analyses met randvoorwaarden stelt FrontISTR $\sigma = 0$ in, waarna Vergelijking $\eqref{eq:2.3.8}$ $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$ wordt, dus inverse iteratie zonder verschuiving. Bij een ongebonden free-free-analyse is $K$ singulier omdat deze nul-eigenwaarden heeft die overeenkomen met starre-lichaamsmodi; door $\sigma$ een positieve waarde te geven wordt $K+\sigma M$ geregulariseerd. De waarde van $\sigma$ wordt opgegeven met SIGMA in !EIGEN.

Lanczos-methode¶

Motivering (vergelijking met de Jacobi-methode)¶

De Jacobi-methode is een bekende klassieke methode.

Deze methode is effectief wanneer de matrix klein en dicht is. Omdat de matrices die HEC-MW verwerkt echter groot en ijl zijn, wordt de Jacobi-methode niet toegepast; in plaats daarvan wordt de iteratieve Lanczos-methode gebruikt.

Algoritme en kenmerken¶

Deze methode, die in de jaren 1950 door C. Lanczos werd voorgesteld, is een algoritme om een matrix te tridiagonaliseren en heeft de volgende kenmerken.

Het is een iteratieve methode en de berekening kan worden uitgevoerd terwijl de matrix ijl blijft.
De bewerkingen bestaan hoofdzakelijk uit matrix-vectorproducten, waardoor de methode goed geschikt is voor parallellisatie.
De methode is goed geschikt voor geometrische domeindecompositie in combinatie met eindige-elementennetten.
Efficiënte berekeningen zijn mogelijk door het aantal te bepalen eigenwaarden of het bereik van de modi te beperken.

De Lanczos-methode begint met een beginvector, construeert achtereenvolgens orthogonale vectoren en bepaalt een basis voor een Krylov-deelruimte.

Bij rekenwerk met eindige precisie kunnen afrondingsfouten ertoe leiden dat de vectoren hun orthogonaliteit verliezen. Om dit effect te beperken, herorthogonaliseert de FrontISTR-implementatie elke vector ten opzichte van de reeds verkregen Lanczos-basisvectoren.

Geometrische interpretatie (Krylov-deelruimte)¶

Door de volgende variabelentransformaties toe te passen op Vergelijking $\eqref{eq:2.3.8}$,

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

kan het probleem worden herschreven als

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

Dit geeft de bovenstaande vergelijking.

Voor een willekeurige niet-nulvector $q_0$

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

wordt de ruimte die door deze vectoren wordt opgespannen

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

een Krylov-deelruimte genoemd.

De Lanczos-methode construeert achtereenvolgens een basis voor deze Krylov-deelruimte.

FrontISTR gebruikt het volgende inproduct dat bij de massamatrix $M$ hoort

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

om de basis te orthonormaliseren. Het inproduct $\langle x,y\rangle$ en de norm $\|x\|$ in de volgende figuren worden in FrontISTR-berekeningen respectievelijk geïnterpreteerd als dit $M$-inproduct en de bijbehorende $M$-norm

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

respectievelijk.

Pas de door matrix $A$ gedefinieerde lineaire transformatie toe op een willekeurige vector $q_0$, zoals weergegeven in Figuur 2.3.2.

$Lineaire transformatie van $q_0$ door matrix $A$$

Figuur 2.3.2 Lineaire transformatie van $q_0$ door matrix $A$

De getransformeerde vector wordt georthogonaliseerd binnen de ruimte die door deze vector en de oorspronkelijke vector wordt opgespannen. Concreet wordt Gram-Schmidt-orthogonalisatie uitgevoerd zoals weergegeven in Figuur 2.3.3. Noem de resulterende vector $r_1$; door deze te normaliseren wordt $q_1$ verkregen.

$Vector $q_1$ orthogonaal aan $q_0$$

Figuur 2.3.3 Vector $q_1$ orthogonaal aan $q_0$

Met dezelfde procedure wordt $q_2$ uit $q_1$ verkregen. Hierbij is $q_2$ orthogonaal aan zowel $q_1$ als $q_0$, zoals weergegeven in Figuur 2.3.4.

$Vector $q_2$ orthogonaal aan $q_1$ en $q_0$$

Figuur 2.3.4 Vector $q_2$ orthogonaal aan $q_1$ en $q_0$

Op deze manier construeert de Lanczos-methode achtereenvolgens een orthonormale basis voor de Krylov-deelruimte. Theoretisch maakt de symmetrie van het eigenwaardeprobleem het mogelijk deze iteratie uit te drukken als een drietermrecursie met de meest recente basisvectoren.

De FrontISTR-implementatie herorthogonaliseert elke vector echter ten opzichte van de reeds verkregen Lanczos-basisvectoren met behulp van het $M$-inproduct, om verlies van orthogonaliteit door eindige rekenprecisie te beperken.

Tridiagonalisatie¶

In de Lanczos-iteratie van FrontISTR worden de basisvectoren georthonormaliseerd ten opzichte van het in de vorige paragraaf beschreven $M$-inproduct, zodat

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

de bovenstaande betrekking geldt.

Met matrix $A$ uit Vergelijking $\eqref{eq:2.3.10}$ luidt de theoretische Lanczos-iteratie

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

zoals uitgedrukt door de bovenstaande drietermrecursie.

Eerst wordt $\alpha_i$ als volgt gedefinieerd.

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

Vervolgens wordt het voorlopige residu gedefinieerd als

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

zoals hierboven weergegeven.

Om verlies van orthogonaliteit door eindige rekenprecisie te beperken, voert de FrontISTR-implementatie een herorthogonalisatie van $\tilde{r}_{i+1}$ uit ten opzichte van de reeds verkregen Lanczos-basisvectoren met behulp van het $M$-inproduct. Als $r_{i+1}$ het residu na herorthogonalisatie is, dan

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

gelden de bovenstaande betrekkingen.

Verzamel de $m$ basisvectoren die met de Lanczos-iteratie zijn verkregen in

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

Dan geldt na een eindig aantal Lanczos-iteraties

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

de bovenstaande betrekking.

Hier is $e_m$ de $m$-dimensionale eenheidsvector waarvan de $m$-de component 1 is en alle andere componenten nul zijn, en

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

is een symmetrische tridiagonale matrix.

De eigenwaarden van het oorspronkelijke grootschalige eigenwaardeprobleem kunnen dus worden benaderd door de eigenwaarden van de tridiagonale matrix $T_m$ te berekenen.

Gerelateerde onderwerpen¶

Frequentieresponsanalyse — Frequentierespons met resultaten van de modale analyse
Analysetypen — Functioneel overzicht van modale analyse