Ga naar inhoud

Transiënte warmtegeleidingsanalyse

In deze sectie worden de tijdsdiscretisatie en de iteratieve oplossingsmethode voor warmtegeleidingsanalyse van vaste stoffen met de eindige-elementenmethode (FEM) beschreven. Zie Warmtegeleidingsvergelijking voor de bepalende vergelijkingen en randvoorwaarden van het continuüm.

Gediscretiseerde vergelijking (uitgangspunt)

Discretisatie van de warmtegeleidingsvergelijking (warmtegeleidingsvergelijking (gov_he_main)) met de Galerkin-methode geeft

\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]

waarin

\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]

Hierin zijn \(K\), \(M\), \(F\) en \(N\) respectievelijk de warmtegeleidingsmatrix (inclusief bijdragen van convectieve en radiatieve randvoorwaarden), de massamatrix, de thermische-belastingsvector en de vormfunctiematrix. De definities van de symbolen voor materiaaleigenschappen (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\), enz.) volgen Warmtegeleidingsvergelijking.

Tijdsdiscretisatie en iteratieve oplossing

Vergelijking \(\eqref{eq:2.4.8}\) is een niet-lineaire, transiënte vergelijking. Bij gebruik van de achterwaartse Euler-methode voor de tijdsdiscretisatie wordt, wanneer de temperatuur op tijdstip \(t=t_0\) bekend is, de temperatuur op tijdstip \(t=t_0+\Delta t\) berekend met de volgende vergelijking.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]

Beschouw hier voor vergelijking \(\eqref{eq:2.4.13}\) de temperatuurvector \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\) die er bij benadering aan voldoet, om de nauwkeurigere oplossing \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\) te verkrijgen.

Daartoe wordt eerst de temperatuurvector als volgt uitgedrukt.

\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]

Het product van de warmtegeleidingsmatrix en de temperatuurvector, de massamatrix en de daarmee samenhangende termen worden als volgt benaderd.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]

Invullen van vergelijking \(\eqref{eq:2.4.14}\), vergelijking \(\eqref{eq:2.4.15}\) en vergelijking \(\eqref{eq:2.4.16}\) in vergelijking \(\eqref{eq:2.4.13}\), en het verwaarlozen van termen van de tweede en hogere orde, geeft de volgende vergelijking.

\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]

De coëfficiëntenmatrix aan de linkerkant wordt verder benaderd met de volgende vergelijking.

\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]

Hierin is \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) de tangentiële stijfheidsmatrix.

Uiteindelijk kan de temperatuur op tijdstip \(t=t_0+\Delta t\) worden berekend door iteratieve berekeningen uit te voeren met de volgende vergelijking.

\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]

Voor stationaire analyse in het bijzonder worden iteratieve berekeningen uitgevoerd met de volgende vergelijking.

\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]

Bij transiënte analyse wordt voor de tijdsdiscretisatie een impliciete methode gebruikt, zodat de keuze van de tijdstap \(\Delta t\) in het algemeen niet aan een beperking van de grootte ervan is onderworpen. Als de tijdstap \(\Delta t\) echter te groot is, neemt het aantal iteraties dat voor convergentie nodig is toe. In het algemeen leidt een te grote tijdstap \(\Delta t\) tot meer iteraties. In de implementatie bewaakt de automatische stapgrootteregeling de grootte van de residuvector; \(\Delta t\) wordt verkleind wanneer de convergentie traag is en \(\Delta t\) vergroot wanneer het aantal iteraties klein is (→ zie Stapregeling voor details).

Gerelateerde onderwerpen