Verificatie met modellen met eenvoudige geometrie¶

Elastische statische analyse¶

Voor deze verificatie wordt een uitkragende balk gebruikt met de mesh zoals weergegeven in figuur 9.1.1. Er zijn analyses uitgevoerd voor zeven gevallen, exA tot en met exG, waarbij de belastingsvoorwaarden zijn gevarieerd zoals weergegeven in figuur 9.1.2. Geval exG heeft dezelfde belastingsvoorwaarden als exA, maar gebruikt een directe solver.

De verificatieresultaten voor elk geval worden weergegeven in tabellen 9.1.1 tot en met 9.1.7.

Fig. 9.1.1 Voorbeeld van de meshverdeling van een uitkragende balk (hexaëdrische elementen)

	(a) exA, G: Geconcentreerde belasting
	(b) exD: Zwaartekracht
	(c) exB: Verdeelde oppervlaktebelasting
	(d) exE: Centrifugaalkracht
	(e) exC: Volumebelasting
	(f) exF : Thermische belasting

Fig. 9.1.2 Verificatievoorwaarden voor het model van de uitkragende balk

Tabel 9.1.1 : exA: Verificatieresultaten van het probleem met geconcentreerde belasting

Tabel 9.1.2 : exB: Verificatieresultaten van het probleem met verdeelde oppervlaktebelasting

Tabel 9.1.3 : exC: Verificatieresultaten van het probleem met volumebelasting

Tabel 9.1.4 : exD: Verificatieresultaten van het zwaartekrachtprobleem

Tabel 9.1.5 : exE: Verificatieresultaten van het centrifugaalkrachtprobleem

Tabel 9.1.6 : exF: Verificatieresultaten van het probleem met thermische spanningsbelasting

Tabel 9.1.7 : exG: Verificatieresultaten van de directe methode (probleem met geconcentreerde belasting)

Niet-lineaire statische analyse¶

(2-1) exnl1: Geometrisch niet-lineaire analyse¶

Het verificatiemodel voor geval exI is identiek aan de modellen voor gevallen exA tot en met exG. Fig. 9.1.3 toont een schematische weergave van het verificatiemodel. Op dit model wordt een geometrisch niet-lineaire analyse uitgevoerd. De verificatieresultaten worden weergegeven in tabel 9.1.8.

Voor de niet-lineaire berekening wordt een referentiebelasting van \(P = 1.0\ \mathrm{kgf}\) gebruikt, met een belastingsincrement van \(0.1P\) over 10 belastingsstappen.

Fig. 9.1.3 Verificatiemodel

Tabel 9.1.8 exI: Verificatieresultaten (verloop van de maximale doorbuiging)

(2-2) exnl2: Elastoplastische vervormingsanalyse¶

Dit verificatieprobleem is gebaseerd op Test NL1 van NAFEMS, de National Agency for Finite Element Methods and Standards (V.K.). Daarbij is een elastoplastische vervormingsanalyse uitgevoerd waarin geometrische niet-lineariteit en meerdere verhardingswetten zijn opgenomen. Figuur 9.1.4 toont het analysemodel.

Fig. 9.1.4 Model voor elastoplastische vervormingsanalyse

(1) Verificatievoorwaarden

(2) Randvoorwaarden

Alle knopen die hier niet zijn vermeld, zijn volledig vastgelegd. De theoretische oplossing voor dit probleem is als volgt.

Ter vergelijking zijn de berekeningsresultaten als volgt.

Contactanalyse (1)¶

Dit verificatieprobleem is gebaseerd op contact-patch-testprobleem CGS-4 van de National Agency for Finite Element Methods and Standards (V.K.), en test de mogelijkheid voor contact met eindige glijding en wrijving. Fig. 9.1.5 toont het analysemodel.

Fig. 9.1.5 Model voor contactanalyse

De evenwichtsvoorwaarde voor dit probleem is als volgt.

De wrijvingskracht wordt in het stadium met hechtende wrijving door

en in het stadium met glijdende wrijving door

gegeven.

De vergelijking tussen de berekeningsresultaten en de analytische oplossing is als volgt.

Contactanalyse (2): Hertz-contactprobleem¶

In deze verificatie wordt het Hertz-contactprobleem tussen een oneindig lange cilinder en een oneindig vlak geanalyseerd. De cilinderstraal is \(R = 8\ \mathrm{mm}\), en de elasticiteitsmodulus \(E\) en de Poissonverhouding \(\mu\) van het vervormbare lichaam zijn respectievelijk \(1100\ \mathrm{MPa}\) en \(0.0\). Er wordt aangenomen dat het contactgebied voldoende klein is ten opzichte van de cilinderstraal; rekening houdend met de symmetrie van het probleem wordt een kwart-cilindermodel geanalyseerd.

Fig. 9.1.6 Analysemodel voor het Hertz-contactprobleem

(1) Verificatieresultaten voor de contactstraal¶

De theoretische formule voor het berekenen van de contactstraal is als volgt:

waarin

is. Onder de huidige berekeningsvoorwaarden geldt bij druk \(F=100\) een contactstraal \(a=1.36\).

Fig. 9.1.7 toont de equivalente knoopkrachten op de contactpunten. De contactstraal wordt verkregen door deze knoopkrachtverdeling te extrapoleren.

Fig. 9.1.7 Verdeling van equivalente knoopkrachten op de contactpunten

(2) Verificatieresultaten voor maximale schuifspanning¶

In de theoretische oplossing is op de contactpositie

de maximale schuifspanning

is. Onder de huidige berekeningsvoorwaarden,

wordt verkregen. Ter vergelijking geeft de berekening

werd als berekeningsresultaat verkregen.

Fig. 9.1.8 Schuifspanningsverdeling (maximale waarde = 15.6)

(3) Modale analyse¶

De verificatiemodellen voor gevallen exJ en exK zijn identiek aan de modellen voor gevallen exA tot en met exG. Fig. 9.1.9 toont een schematische weergave van het verificatiemodel. Op dit model wordt een modale analyse uitgevoerd. De eerste drie eigenfrequenties worden berekend. Geval exJ gebruikt een iteratieve solver, terwijl geval exK een directe solver gebruikt. De verificatieresultaten worden weergegeven in tabellen 9.1.9 tot en met 9.1.12.

Fig. 9.1.9 Verificatiemodel

De eigenfrequenties van de uitkragende balk worden verkregen uit de volgende vergelijkingen.

Eerste modus

Tweede modus

Derde modus

De eigenschapswaarden van het verificatiemodel zijn

Daarmee zijn de eerste drie eigenfrequenties als volgt:

Tabel 9.1.9 : exJ: Verificatieresultaten van de iteratieve methode voor de eerste eigenfrequentie

Tabel 9.1.10 : Verificatieresultaten van de iteratieve methode van exJ voor de tweede eigenfrequentie

Opmerking) In de driedimensionale modellen zijn de eerste twee modi degeneraat. Daarom wordt de derde berekende eigenfrequentie in de tabel als de tweede eigenfrequentie vermeld.

Tabel 9.1.11 : Verificatieresultaten van de directe methode van exK voor de eerste eigenfrequentie

Tabel 9.1.12 : Verificatieresultaten van de directe methode van exK voor de tweede eigenfrequentie

Opmerking) In de driedimensionale modellen zijn de eerste twee modi degeneraat. Daarom wordt de derde berekende eigenfrequentie in de tabel als de tweede eigenfrequentie vermeld.

(4) Warmtegeleidingsanalyse¶

De gemeenschappelijke voorwaarden voor de stationaire warmtegeleidingsanalyses worden weergegeven in figuur 9.1.10. De afzonderlijke voorwaarden voor verificatiegevallen exM tot en met exT worden weergegeven in figuur 9.1.11. De meshverdeling is gelijk aan die voor exA.

De temperatuurverdelingen als verificatieresultaat voor elk geval worden weergegeven in tabellen 9.1.13 tot en met 9.1.20.

Temperatuurafhankelijkheid van de warmtegeleidingscoëfficiënt

Fig. 9.1.10 : Verificatievoorwaarden voor stationaire warmtegeleidingsanalyse

exM: Lineair materiaal
exN: Probleem met voorgeschreven temperatuur
exO: Probleem met geconcentreerde warmtestroom
exP: Probleem met verdeelde warmteflux
exQ: Probleem met convectieve warmteoverdracht
exR: Probleem met stralingswarmteoverdracht
exS: Probleem met volumetrische warmteproductie
exT: Probleem met interne spleet

Fig. 9.1.11 : Analysevoorwaarden voor elk verificatiegeval

Tabel 9.1.13 : Verificatieresultaten van exM (stationaire berekening van lineair materiaal)

Tabel 9.1.14 : Verificatieresultaten van exN (probleem met voorgeschreven temperatuur)

Tabel 9.1.15 : Verificatieresultaten van exO (probleem met geconcentreerde warmtestroom)

Tabel 9.1.16 : Verificatieresultaten van exP (probleem met verdeelde warmteflux)

Tabel 9.1.17 : Verificatieresultaten van exQ (probleem met convectieve warmteoverdracht)

Tabel 9.1.18 : Verificatieresultaten van exR (probleem met stralingswarmteoverdracht)

Tabel 9.1.19 : Verificatieresultaten van exS (probleem met volumetrische warmteproductie)

Tabel 9.1.20 : Verificatieresultaten van exT (probleem met interne spleet)

Lineaire dynamische analyse¶

In exW wordt een lineaire dynamische analyse uitgevoerd op dezelfde uitkragende balk als in onderdeel (1). Fig. 9.1.12 toont de verificatievoorwaarden. Voor dezelfde meshverdeling wordt de invloed van het tijdsincrement op de resultaten geverifieerd. Zowel impliciete als expliciete tijdintegratiemethoden worden gebruikt, met elementtypen 361 en 342. De verificatieresultaten worden weergegeven in tabel 9.1.22 en figuren 9.1.13 tot en met 9.1.15.

Analysemodel

Tijdverloop van externe kracht F

De theoretische oplossing voor de verplaatsing van het excitatiepunt is als volgt:

waarin

Fig. 9.1.12 : Verificatievoorwaarden voor lineaire dynamische analyse

Verificatievoorwaarden:

Tabel 9.1.21 : Verificatievoorwaarden van de lineaire dynamische analyse (vervolg)

Tabel 9.1.22 : Verificatieresultaten van de lineaire dynamische analyse van exW (uitkragende balk)

Fig. 9.1.13 : Vervormingsdiagram en equivalente spanningsverdeling van de uitkragende balk

(a) Elementtype 361: impliciete methode

(b) Elementtype 361: expliciete methode

Fig. 9.1.14 Tijdverloop van de verplaatsing \(u_z\) van het excitatiepunt

(a) Elementtype 342: impliciete methode

(b) Elementtype 342: expliciete methode

Fig. 9.1.15 : Tijdverloop van de verplaatsing \(u_z\) van het excitatiepunt

Frequentieresponsanalyse¶

In deze verificatie wordt een frequentieresponsanalyse uitgevoerd op een uitkragende balk en gevalideerd door vergelijking met resultaten van een algemene commerciële solver. Het analysemodel en de verificatievoorwaarden worden hieronder weergegeven.

Analysevoorwaarden:

Fig. 9.1.16 : Analysemodel (tetraëdrisch lineair element (126 elementen en 55 knopen))

De eerste vijf eigenfrequenties uit de modale analyse en de frequentierespons op het excitatiepunt worden hieronder weergegeven.

Fig. 9.1.17 Frequentieafhankelijkheid van de verplaatsingsamplitude van het excitatiepunt