Przejdź do treści

Translation update pending

The Polish translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

Całkowanie numeryczne

Wektory sił wewnętrznych elementu \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) oraz macierz sztywności elementu \(\boldsymbol{K}^e\) otrzymane w sekcjach Dyskretyzacja pracy wirtualnej sił wewnętrznych i Praca wirtualna sił zewnętrznych i składanie równań globalnych mają postać całek po obszarze elementu \(\Omega^e\) lub \(\Omega^e_0\). FrontISTR oblicza je numerycznie za pomocą kwadratury Gaussa.

Kwadratura Gaussa i zmiana zmiennych

Kwadratura Gaussa przybliża całkę po obszarze odniesienia \(\Xi\) kombinacją liniową wartości funkcji podcałkowej w punktach całkowania \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) oraz wag \(w_i\). Zastosowanie jej do obszaru elementu \(\Omega^e\) wymaga zmiany zmiennych przez odwzorowanie \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\), co daje

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

gdzie \(n_q\) jest liczbą punktów całkowania, a \(J_{\xi_i}\) jest wyznacznikiem Jacobiego transformacji. Obszar odniesienia \(\Xi\) jest definiowany dla każdego typu elementu (dla heksaedru \([-1,1]^3\); dla trójkątów, tetraedrów i klinów — odpowiadające im kształty odniesienia), natomiast punkty całkowania \(\boldsymbol{\xi}_i\) i wagi \(w_i\) są podane w postaci tabel numerycznych. Całki powierzchniowe są obsługiwane w ten sam sposób przez odwzorowanie ściany elementu z dwuwymiarowego obszaru odniesienia.

Poniżej pokazano reprezentatywne liczby punktów całkowania stosowane w FrontISTR (zgodność z typami elementów opisano w sekcji System numeracji elementów i biblioteka funkcji kształtu).

Typ elementu Reguła kwadratury Liczba punktów całkowania
4-węzłowy tetraedr (tet4n) reguła 1-punktowa 1
10-węzłowy tetraedr (tet10n) reguła 4-punktowa 4
6-węzłowy graniastosłup trójkątny (prism6n) reguła 2-punktowa 2
15-węzłowy graniastosłup trójkątny (prism15n) reguła 9-punktowa 9
8-węzłowy heksaedr (hex8n) Gauss-Legendre 2×2×2 8
20-węzłowy heksaedr (hex20n) Gauss-Legendre 3×3×3 27
4-węzłowy czworokąt (quad4n) Gauss-Legendre 2×2 4
8-węzłowy czworokąt (quad8n) Gauss-Legendre 3×3 9
3-węzłowy trójkąt (tri3n) reguła 1-punktowa 1
6-węzłowy trójkąt (tri6n) reguła 3-punktowa 3

Dla elementów heksaedrycznych, czworokątnych i liniowych stosuje się iloczyny tensorowe reguły Gaussa-Legendre'a w każdym kierunku współrzędnych. Dla trójkątów, tetraedrów i graniastosłupów trójkątnych stosuje się specjalne reguły dostosowane do geometrii typu simplex (układy punktów całkujące wielomiany dokładnie na samym trójkącie).

Zastosowanie do całkowania elementu

W całkowaniu elementu współrzędne naturalne \(\boldsymbol{r}\) są używane jako współrzędne obszaru odniesienia (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), a odwzorowanie do współrzędnych fizycznych jest dane przez interpolację współrzędnych węzłów za pomocą funkcji kształtu. W zależności od wyboru konfiguracji odniesienia (Ramy analizy przyrostowej) stosuje się następujące sformułowania.

Metoda Total Lagrange (całkowanie po konfiguracji odniesienia \(\Omega^e_0\)): odwzorowanie i Jacobian mają postać

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

a siła wewnętrzna elementu i macierz sztywności są przybliżane jako

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Wszystkie wielkości \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) są obliczane w punkcie całkowania \(\boldsymbol{r}_i\).

Metoda Updated Lagrange (całkowanie po konfiguracji aktualnej \(\Omega^e\)): odwzorowanie i Jacobian mają postać

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

a przybliżenia siły wewnętrznej elementu i macierzy sztywności mają postać:

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Jedyną różnicą między tymi dwoma sformułowaniami jest to, czy do odwzorowania przekazywane są współrzędne węzłów \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\), czy \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); punkty całkowania, wagi i struktura pętli po punktach całkowania są wspólne.

Całkowanie pełne i zredukowane

Całkowanie wykorzystujące liczbę punktów całkowania wystarczającą do dokładnego całkowania stopnia wielomianu funkcji podcałkowej nazywa się całkowaniem pełnym, natomiast całkowanie wykorzystujące o jeden poziom mniej punktów całkowania nazywa się całkowaniem zredukowanym. Całkowanie zredukowane stosuje się w celu ograniczenia blokowania ścinania i blokowania objętościowego, ale wymaga ono obsługi niepożądanych modów deformacji, takich jak mody hourglass. Liczbę punktów całkowania dla każdego typu elementu oraz wybór między całkowaniem pełnym i zredukowanym opisano w sekcji System numeracji elementów i biblioteka funkcji kształtu i kolejnych sekcjach oraz w Wysokowydajnych sformułowaniach elementów.

Tematy powiązane