Lista symboli wielkości fizycznych
Na tej stronie zestawiono symbole wielkości fizycznych używanych w podręczniku teorii FrontISTR. Konwencje zapisu (pogrubienie wektorów i tensorów, konwencja sumacyjna Einsteina oraz notacja Voigta) opisano w Notacji tensorowej i podstawach matematycznych.
Konfiguracje i układy współrzędnych
| Symbol | Opis |
| \(\boldsymbol{X}\) | Wektor położenia punktu materialnego w konfiguracji odniesienia (początkowej) (współrzędne materialne) |
| \(\boldsymbol{x}\) | Wektor położenia punktu materialnego w konfiguracji bieżącej (współrzędne przestrzenne) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | Odwzorowanie ruchu: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | Obszar zajmowany przez ciało w konfiguracji odniesienia |
| \(\Omega\) | Obszar zajmowany przez ciało w konfiguracji bieżącej |
| \(\Gamma_0\) | Brzeg \(\Omega_0\) |
| \(\Gamma\) | Brzeg \(\Omega\) |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | Brzeg geometryczny (przemieszczeniowy): brzeg w konfiguracji bieżącej/odniesienia, na którym zadano \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | Brzeg mechaniczny: brzeg w konfiguracji bieżącej/odniesienia, na którym zadano \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (lub \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) |
| \(\boldsymbol{n}\) | Zewnętrzny jednostkowy wektor normalny do powierzchni w konfiguracji bieżącej |
| \(\boldsymbol{N}\) | Zewnętrzny jednostkowy wektor normalny do powierzchni w konfiguracji odniesienia |
| \(t\) | Czas |
Konwencja: Wielkości fizyczne w konfiguracji odniesienia oznacza się wielkimi literami lub indeksem dolnym \(0\), natomiast wielkości w konfiguracji bieżącej oznacza się małymi literami.
Czas i przyrosty (analiza przyrostowa)
| Symbol | Opis |
| \(\Delta t\) | Przyrost czasu: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | Wielkość fizyczna w chwili \(t\) (lewy indeks górny). Przykład: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) jest naprężeniem Cauchy'ego w chwili \(t\) |
| \(^{t}\Omega\) | Obszar konfiguracji bieżącej w chwili \(t\) |
| \(^{t}\Gamma\) | Brzeg konfiguracji bieżącej w chwili \(t\) |
Konwencja: W analizie przyrostowej stan do chwili \(t\) traktuje się jako znany, a stan w chwili \(t + \Delta t\) rozwiązuje się jako niewiadomy. Lewy indeks górny pomija się, gdy nie trzeba jawnie wskazywać czasu. Sformułowanie używające konfiguracji odniesienia \(\Omega_0\) jako konfiguracji referencyjnej nazywa się sformułowaniem Total Lagrange, natomiast sformułowanie używające konfiguracji bieżącej \(^{t}\Omega\) na początku przyrostu jako konfiguracji referencyjnej nazywa się sformułowaniem Updated Lagrange.
Przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie i siła masowa
| Symbol | Opis |
| \(\boldsymbol{u}\) | Wektor przemieszczenia: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | Przemieszczenie zadane na brzegu geometrycznym \(\Gamma_B\) |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | Przemieszczenie wirtualne (funkcja testowa): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) na \(\Gamma_B\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | Wektor prędkości: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | Wektor przyspieszenia: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | Siła masowa (na jednostkę masy) |
| \(\boldsymbol{t}\) | Wektor obciążenia powierzchniowego (na jednostkę powierzchni): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | Obciążenie powierzchniowe zadane na brzegu mechanicznym \(\Gamma_t\) (dane Neumanna) |
Operatory różniczkowe
| Symbol | Opis |
| \(\dot{(\cdot)}\) | Materialna pochodna czasowa (pochodna czasowa śledząca ten sam punkt materialny): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | Gradient w konfiguracji odniesienia (gradient względem współrzędnych materialnych \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | Gradient w konfiguracji bieżącej (gradient względem współrzędnych przestrzennych \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | Operator gradientu symetrycznego: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
Uwaga: \(\nabla_X\) i \(\nabla_x\) są powiązane zależnością \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Gradient bez indeksu, \(\nabla\), jest używany, gdy konfiguracja wynika jasno z kontekstu lub gdy rozróżnienie zanika, jak w zagadnieniach małych deformacji.
| Symbol | Opis |
| \(\boldsymbol{F}\) | Tensor gradientu deformacji: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | Stosunek objętości: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | Prawy tensor deformacji Cauchy'ego-Greena: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | Lewy tensor deformacji Cauchy'ego-Greena: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | Tensor gradientu prędkości: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | Tensor prędkości deformacji (symetryczna część \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | Tensor obrotu (antysymetryczna część \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
Tensory odkształcenia
| Symbol | Opis |
| \(\boldsymbol{E}\) | Tensor odkształcenia Greena-Lagrange'a (konfiguracja odniesienia): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Tensor odkształcenia Almansiego (konfiguracja bieżąca): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Liniowa część tensora odkształcenia Almansiego (symetryczny gradient przemieszczenia w konfiguracji bieżącej): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | Tensor odkształcenia małego (aproksymacja liniowa): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
Uwaga: \(\boldsymbol{E}\) jest używane głównie w sformułowaniu Total Lagrange, natomiast \(\boldsymbol{D}\) głównie w sformułowaniu Updated Lagrange.
Tensory naprężenia
| Symbol | Opis |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Tensor naprężenia Cauchy'ego (naprężenie rzeczywiste, konfiguracja bieżąca): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | Pierwszy tensor naprężenia Pioli-Kirchhoffa (naprężenie nominalne): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | Drugi tensor naprężenia Pioli-Kirchhoffa (konfiguracja odniesienia, symetryczny): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
Zależności przeliczeniowe między tensorami naprężenia:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
Konwencja: Sformułowanie Total Lagrange wykorzystuje parę \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), natomiast sformułowanie Updated Lagrange parę \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).
Gęstość i masa
| Symbol | Opis |
| \(\rho\) | Gęstość masowa w konfiguracji bieżącej |
| \(\rho_0\) | Gęstość masowa w konfiguracji odniesienia |
Zachowanie masy: \(\rho_0 = J\rho\).
Stałe materiałowe (sprężystość liniowa)
| Symbol | Opis |
| \(E\) | Moduł Younga |
| \(\nu\) | Współczynnik Poissona |
| \(\lambda\) | Pierwsza stała Lamégo: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | Druga stała Lamégo (moduł ścinania): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | Tensor sprężystości (czwartego rzędu): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), składowe \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (lub \(\hat{\tilde{C}}\)) | Macierz materiałowa (notacja Voigta, \(6\times6\) w 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
Składowe tensora sprężystości dla izotropowego materiału liniowo sprężystego:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
Materiały hipersprężyste
| Symbol | Opis |
| \(W(\boldsymbol{C})\) | Funkcja potencjału sprężystego (gęstość energii odkształcenia) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | Główne niezmienniki prawego tensora Cauchy'ego-Greena \(\boldsymbol{C}\) |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | Zredukowane niezmienniki \(\boldsymbol{C}\) (z wydzieloną zmianą objętości) |
| \(C_1, C_2\) | Stałe materiałowe modelu Mooneya-Rivlina |
| \(D\) | Stała materiałowa związana ze sprężystością objętościową |
Materiały sprężysto-plastyczne
| Symbol | Opis |
| \(\boldsymbol{D}^e\) | Sprężysta składowa tensora prędkości deformacji |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | Plastyczna składowa tensora prędkości deformacji |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | Funkcja plastyczności |
| \(\kappa\) | Zmienna wewnętrzna reprezentująca stan plastyczny (zmienna umocnienia izotropowego) |
| \(\lambda^p\) | Mnożnik plastyczny (mnożnik prędkości odkształcenia plastycznego): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | Potencjał plastyczny (\(\Theta = F\) dla stowarzyszonego prawa płynięcia) |
| \(\bar{\sigma}\) | Naprężenie zastępcze (np. naprężenie von Misesa) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | Zastępcze odkształcenie plastyczne |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | Funkcja umocnienia izotropowego |
Warunek komplementarności: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
Metoda elementów skończonych
| Symbol | Opis |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | Obszary w konfiguracji bieżącej i odniesienia przybliżone przez dyskretyzację metodą elementów skończonych: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | Obszar elementu w konfiguracji bieżącej i odniesienia |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | Część brzegu elementu należąca do brzegu mechanicznego |
| \(\boldsymbol{r}\) | Współrzędne naturalne (współrzędne lokalne elementu) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | Punkt we współrzędnych naturalnych odpowiadający węzłowi \(\alpha\) |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | Funkcja kształtu odpowiadająca węzłowi \(\alpha\) elementu \(e\) |
| \(n_e\) | Liczba węzłów tworzących element |
| \(n_g\) | Całkowita liczba węzłów globalnych |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | Współrzędne i przemieszczenie węzła elementu \(\alpha\) |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | Wektory współrzędnych węzłowych i przemieszczeń elementu: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), itd. |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | Globalne wektory współrzędnych węzłowych i przemieszczeń (uporządkowane najpierw według numeru węzła, a następnie stopnia swobody) |
| \(\boldsymbol{B}\) | Macierz zależności odkształcenie–przemieszczenie (macierz B) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | Macierz funkcji kształtu: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) jest blokiem \(d \times d\) z funkcją kształtu \(N_\alpha^e\) dla węzła \(\alpha\) na przekątnej, a \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | Macierz sztywności elementu |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | Funkcje podcałkowe macierzy sztywności elementu (wyrażone w konfiguracji odniesienia i bieżącej): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (sformułowanie TL), \(\boldsymbol{q}^e\) (sformułowanie UL) | Wektor sił wewnętrznych elementu |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | Zewnętrzna siła węzłowa działająca na węzeł elementu \(\alpha\) oraz wektor zewnętrznych sił węzłowych elementu: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | Globalny wektor sił wewnętrznych i globalny wektor sił zewnętrznych: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); analogicznie dla \(\boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | Węzłowa siła wewnętrzna i węzłowa siła zewnętrzna w globalnym węźle \(i_g\) (bloki węzłowe \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)) |
| \(\boldsymbol{K}\) | Globalna styczna macierz sztywności: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Macierz utworzona przez umieszczenie bloku \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) w wierszu \(i_g\), kolumnie \(i_h\) |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Wektor resztowy w iteracji Newtona-Raphsona: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Korekta w iteracji Newtona-Raphsona (uzyskiwana przez rozwiązanie równania liniowego \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) w iteracji \(i\)) |
| \(i_g\) | Globalny numer węzła (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | Globalny numer węzła odpowiadający lokalnemu numerowi węzła \(\alpha\) elementu \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | Zbiór par \((e, \alpha)\) odpowiadających globalnemu numerowi węzła \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Używany w operacjach składania |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | Zbiór trójek \((e, \alpha, \beta)\) odpowiadających parze globalnych numerów węzłów \((i_g, i_h)\); używany przy składaniu macierzy sztywności |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | Indeksy węzłów tworzących element |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | Indeksy stopni swobody (\(1, 2, 3\) w 3D) |
Elementy zaawansowane i elementy konstrukcyjne
| Symbol | Opis |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | Macierz zależności odkształcenie–przemieszczenie, której część objętościowa została zmodyfikowana metodą B-bar (składowa objętościowa jest zastępowana macierzą B obliczoną w środku elementu) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | Gradient deformacji, którego część objętościowa została zmodyfikowana metodą F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | Stosunek objętości gradientu deformacji obliczonego w środku elementu \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | Wektor wewnętrznych stopni swobody elementu z trybem niezgodnym (współczynniki dodatkowych modów przemieszczeń, które nie wymuszają ciągłości na brzegu elementu) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | Funkcje kształtu dla modów niezgodnych: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | Grubość elementu powłokowego |
| \(A\) | Pole przekroju poprzecznego elementu belkowego |
| \(I\) | Drugi moment pola przekroju poprzecznego elementu belkowego |
| \(G\) | Moduł ścinania: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
Tematy powiązane