Przejdź do treści

Translation update pending

The Polish translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

Lista symboli wielkości fizycznych

Na tej stronie zestawiono symbole wielkości fizycznych używanych w podręczniku teorii FrontISTR. Konwencje zapisu (pogrubienie wektorów i tensorów, konwencja sumacyjna Einsteina oraz notacja Voigta) opisano w Notacji tensorowej i podstawach matematycznych.

Konfiguracje i układy współrzędnych

Symbol Opis
\(\boldsymbol{X}\) Wektor położenia punktu materialnego w konfiguracji odniesienia (początkowej) (współrzędne materialne)
\(\boldsymbol{x}\) Wektor położenia punktu materialnego w konfiguracji bieżącej (współrzędne przestrzenne)
\(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) Odwzorowanie ruchu: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\)
\(\Omega_0\) Obszar zajmowany przez ciało w konfiguracji odniesienia
\(\Omega\) Obszar zajmowany przez ciało w konfiguracji bieżącej
\(\Gamma_0\) Brzeg \(\Omega_0\)
\(\Gamma\) Brzeg \(\Omega\)
\(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) Brzeg geometryczny (przemieszczeniowy): brzeg w konfiguracji bieżącej/odniesienia, na którym zadano \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\)
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) Brzeg mechaniczny: brzeg w konfiguracji bieżącej/odniesienia, na którym zadano \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (lub \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\))
\(\boldsymbol{n}\) Zewnętrzny jednostkowy wektor normalny do powierzchni w konfiguracji bieżącej
\(\boldsymbol{N}\) Zewnętrzny jednostkowy wektor normalny do powierzchni w konfiguracji odniesienia
\(t\) Czas

Konwencja: Wielkości fizyczne w konfiguracji odniesienia oznacza się wielkimi literami lub indeksem dolnym \(0\), natomiast wielkości w konfiguracji bieżącej oznacza się małymi literami.

Czas i przyrosty (analiza przyrostowa)

Symbol Opis
\(\Delta t\) Przyrost czasu: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\)
\(^{t}(\cdot)\) Wielkość fizyczna w chwili \(t\) (lewy indeks górny). Przykład: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) jest naprężeniem Cauchy'ego w chwili \(t\)
\(^{t}\Omega\) Obszar konfiguracji bieżącej w chwili \(t\)
\(^{t}\Gamma\) Brzeg konfiguracji bieżącej w chwili \(t\)

Konwencja: W analizie przyrostowej stan do chwili \(t\) traktuje się jako znany, a stan w chwili \(t + \Delta t\) rozwiązuje się jako niewiadomy. Lewy indeks górny pomija się, gdy nie trzeba jawnie wskazywać czasu. Sformułowanie używające konfiguracji odniesienia \(\Omega_0\) jako konfiguracji referencyjnej nazywa się sformułowaniem Total Lagrange, natomiast sformułowanie używające konfiguracji bieżącej \(^{t}\Omega\) na początku przyrostu jako konfiguracji referencyjnej nazywa się sformułowaniem Updated Lagrange.

Przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie i siła masowa

Symbol Opis
\(\boldsymbol{u}\) Wektor przemieszczenia: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)
\(\bar{\boldsymbol{u}}\) Przemieszczenie zadane na brzegu geometrycznym \(\Gamma_B\)
\(\delta \boldsymbol{u}\) Przemieszczenie wirtualne (funkcja testowa): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) na \(\Gamma_B\)
\(\boldsymbol{v}\) Wektor prędkości: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\)
\(\boldsymbol{a}\) Wektor przyspieszenia: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\)
\(\boldsymbol{g}\) Siła masowa (na jednostkę masy)
\(\boldsymbol{t}\) Wektor obciążenia powierzchniowego (na jednostkę powierzchni): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\)
\(\bar{\boldsymbol{t}}\) Obciążenie powierzchniowe zadane na brzegu mechanicznym \(\Gamma_t\) (dane Neumanna)

Operatory różniczkowe

Symbol Opis
\(\dot{(\cdot)}\) Materialna pochodna czasowa (pochodna czasowa śledząca ten sam punkt materialny): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\)
\(\nabla_X\) Gradient w konfiguracji odniesienia (gradient względem współrzędnych materialnych \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)
\(\nabla_x\) Gradient w konfiguracji bieżącej (gradient względem współrzędnych przestrzennych \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)
\(\nabla_S\) Operator gradientu symetrycznego: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)

Uwaga: \(\nabla_X\) i \(\nabla_x\) są powiązane zależnością \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Gradient bez indeksu, \(\nabla\), jest używany, gdy konfiguracja wynika jasno z kontekstu lub gdy rozróżnienie zanika, jak w zagadnieniach małych deformacji.

Tensory deformacji

Symbol Opis
\(\boldsymbol{F}\) Tensor gradientu deformacji: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\)
\(J\) Stosunek objętości: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{C}\) Prawy tensor deformacji Cauchy'ego-Greena: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{b}\) Lewy tensor deformacji Cauchy'ego-Greena: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\)
\(\boldsymbol{L}\) Tensor gradientu prędkości: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\)
\(\boldsymbol{D}\) Tensor prędkości deformacji (symetryczna część \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\)
\(\boldsymbol{W}\) Tensor obrotu (antysymetryczna część \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)

Tensory odkształcenia

Symbol Opis
\(\boldsymbol{E}\) Tensor odkształcenia Greena-Lagrange'a (konfiguracja odniesienia): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\)
\(\boldsymbol{e}\) Tensor odkształcenia Almansiego (konfiguracja bieżąca): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\)
\(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Liniowa część tensora odkształcenia Almansiego (symetryczny gradient przemieszczenia w konfiguracji bieżącej): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\)
\(\boldsymbol{\varepsilon}\) Tensor odkształcenia małego (aproksymacja liniowa): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)

Uwaga: \(\boldsymbol{E}\) jest używane głównie w sformułowaniu Total Lagrange, natomiast \(\boldsymbol{D}\) głównie w sformułowaniu Updated Lagrange.

Tensory naprężenia

Symbol Opis
\(\boldsymbol{\sigma}\) Tensor naprężenia Cauchy'ego (naprężenie rzeczywiste, konfiguracja bieżąca): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\)
\(\boldsymbol{P}\) Pierwszy tensor naprężenia Pioli-Kirchhoffa (naprężenie nominalne): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
\(\boldsymbol{S}\) Drugi tensor naprężenia Pioli-Kirchhoffa (konfiguracja odniesienia, symetryczny): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)

Zależności przeliczeniowe między tensorami naprężenia:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]

Konwencja: Sformułowanie Total Lagrange wykorzystuje parę \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), natomiast sformułowanie Updated Lagrange parę \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).

Gęstość i masa

Symbol Opis
\(\rho\) Gęstość masowa w konfiguracji bieżącej
\(\rho_0\) Gęstość masowa w konfiguracji odniesienia

Zachowanie masy: \(\rho_0 = J\rho\).

Stałe materiałowe (sprężystość liniowa)

Symbol Opis
\(E\) Moduł Younga
\(\nu\) Współczynnik Poissona
\(\lambda\) Pierwsza stała Lamégo: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\)
\(\mu\) Druga stała Lamégo (moduł ścinania): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\)
\(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) Tensor sprężystości (czwartego rzędu): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), składowe \(C_{ijkl}\)
\(D\) (lub \(\hat{\tilde{C}}\)) Macierz materiałowa (notacja Voigta, \(6\times6\) w 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)

Składowe tensora sprężystości dla izotropowego materiału liniowo sprężystego:

\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]

Materiały hipersprężyste

Symbol Opis
\(W(\boldsymbol{C})\) Funkcja potencjału sprężystego (gęstość energii odkształcenia)
\(I_1, I_2, I_3\) Główne niezmienniki prawego tensora Cauchy'ego-Greena \(\boldsymbol{C}\)
\(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) Zredukowane niezmienniki \(\boldsymbol{C}\) (z wydzieloną zmianą objętości)
\(C_1, C_2\) Stałe materiałowe modelu Mooneya-Rivlina
\(D\) Stała materiałowa związana ze sprężystością objętościową

Materiały sprężysto-plastyczne

Symbol Opis
\(\boldsymbol{D}^e\) Sprężysta składowa tensora prędkości deformacji
\(\boldsymbol{D}^p\) Plastyczna składowa tensora prędkości deformacji
\(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) Funkcja plastyczności
\(\kappa\) Zmienna wewnętrzna reprezentująca stan plastyczny (zmienna umocnienia izotropowego)
\(\lambda^p\) Mnożnik plastyczny (mnożnik prędkości odkształcenia plastycznego): \(\lambda^p \geq 0\)
\(\Theta\) Potencjał plastyczny (\(\Theta = F\) dla stowarzyszonego prawa płynięcia)
\(\bar{\sigma}\) Naprężenie zastępcze (np. naprężenie von Misesa)
\(\bar{\varepsilon}^p\) Zastępcze odkształcenie plastyczne
\(H(\bar{\varepsilon}^p)\) Funkcja umocnienia izotropowego

Warunek komplementarności: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).

Metoda elementów skończonych

Symbol Opis
\(\Omega^h, \Omega_0^h\) Obszary w konfiguracji bieżącej i odniesienia przybliżone przez dyskretyzację metodą elementów skończonych: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\)
\(\Omega^e, \Omega^e_0\) Obszar elementu w konfiguracji bieżącej i odniesienia
\(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) Część brzegu elementu należąca do brzegu mechanicznego
\(\boldsymbol{r}\) Współrzędne naturalne (współrzędne lokalne elementu)
\(\boldsymbol{r}_\alpha\) Punkt we współrzędnych naturalnych odpowiadający węzłowi \(\alpha\)
\(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) Funkcja kształtu odpowiadająca węzłowi \(\alpha\) elementu \(e\)
\(n_e\) Liczba węzłów tworzących element
\(n_g\) Całkowita liczba węzłów globalnych
\(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) Współrzędne i przemieszczenie węzła elementu \(\alpha\)
\(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) Wektory współrzędnych węzłowych i przemieszczeń elementu: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), itd.
\(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) Globalne wektory współrzędnych węzłowych i przemieszczeń (uporządkowane najpierw według numeru węzła, a następnie stopnia swobody)
\(\boldsymbol{B}\) Macierz zależności odkształcenie–przemieszczenie (macierz B)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) Macierz funkcji kształtu: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) jest blokiem \(d \times d\) z funkcją kształtu \(N_\alpha^e\) dla węzła \(\alpha\) na przekątnej, a \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\) Macierz sztywności elementu
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) Funkcje podcałkowe macierzy sztywności elementu (wyrażone w konfiguracji odniesienia i bieżącej): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
\(\boldsymbol{Q}^e\) (sformułowanie TL), \(\boldsymbol{q}^e\) (sformułowanie UL) Wektor sił wewnętrznych elementu
\(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) Zewnętrzna siła węzłowa działająca na węzeł elementu \(\alpha\) oraz wektor zewnętrznych sił węzłowych elementu: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) Globalny wektor sił wewnętrznych i globalny wektor sił zewnętrznych: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); analogicznie dla \(\boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) Węzłowa siła wewnętrzna i węzłowa siła zewnętrzna w globalnym węźle \(i_g\) (bloki węzłowe \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\))
\(\boldsymbol{K}\) Globalna styczna macierz sztywności: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Macierz utworzona przez umieszczenie bloku \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) w wierszu \(i_g\), kolumnie \(i_h\)
\(\boldsymbol{R}_i\) Wektor resztowy w iteracji Newtona-Raphsona: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)
\(d\boldsymbol{u}_i\) Korekta w iteracji Newtona-Raphsona (uzyskiwana przez rozwiązanie równania liniowego \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) w iteracji \(i\))
\(i_g\) Globalny numer węzła (\(1 \leq i_g \leq n_g\))
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) Globalny numer węzła odpowiadający lokalnemu numerowi węzła \(\alpha\) elementu \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\) Zbiór par \((e, \alpha)\) odpowiadających globalnemu numerowi węzła \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Używany w operacjach składania
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) Zbiór trójek \((e, \alpha, \beta)\) odpowiadających parze globalnych numerów węzłów \((i_g, i_h)\); używany przy składaniu macierzy sztywności
\(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) Indeksy węzłów tworzących element
\(i, j, k, l, \ldots\) Indeksy stopni swobody (\(1, 2, 3\) w 3D)

Elementy zaawansowane i elementy konstrukcyjne

Symbol Opis
\(\bar{\boldsymbol{B}}\) Macierz zależności odkształcenie–przemieszczenie, której część objętościowa została zmodyfikowana metodą B-bar (składowa objętościowa jest zastępowana macierzą B obliczoną w środku elementu)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\) Gradient deformacji, którego część objętościowa została zmodyfikowana metodą F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\) Stosunek objętości gradientu deformacji obliczonego w środku elementu \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\) Wektor wewnętrznych stopni swobody elementu z trybem niezgodnym (współczynniki dodatkowych modów przemieszczeń, które nie wymuszają ciągłości na brzegu elementu)
\(M_k(\boldsymbol{r})\) Funkcje kształtu dla modów niezgodnych: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\) Grubość elementu powłokowego
\(A\) Pole przekroju poprzecznego elementu belkowego
\(I\) Drugi moment pola przekroju elementu belkowego (względem lokalnych osi \(y\) i \(z\) oznaczany jako \(I_y\) i \(I_z\))
\(G\) Moduł ścinania: \(G = E/[2(1+\nu)]\)
\(L\) Długość elementu belkowego
\(A_s\) Pole przekroju na ścinanie elementu belkowego (FrontISTR przyjmuje \(A_s = A\))
\(\Phi_y, \Phi_z\) Współczynniki opisujące udział deformacji ścinającej w belce Timoshenki: \(\Phi_y = 12EI_z/(GA_sL^2)\), \(\Phi_z = 12EI_y/(GA_sL^2)\)

Tematy powiązane