Przejdź do treści

Kryterium zbieżności

Jako warunek przerwania iteracji metodą Newtona–Raphsona (metoda Newtona–Raphsona) FrontISTR stosuje dwa rodzaje wielkości bezwymiarowych: kryterium normy reszty i kryterium normy poprawki. Oba mają wspólne definiowanie niezależnie od typu analizy (analizy statycznej lub dynamicznej metodą implikicyjną) i od obecności kontaktu.

Podział wielkości decyzyjnych

Stopnie swobody węzłowe zawierają składowe o różnych wymiarach fizycznych. W elementach 6-stopniowych reszty dla stopni swobody posuwowych mają wymiar siły, a reszty dla stopni swobody obrotowych mają wymiar momentu. Ponadto w analizie kontaktowej metodą mnożników Lagrange'a (analiza kontaktowa) wektor reszt jest rozszerzony o wiersze odpowiadające szczelinie kontaktowej (wymiar długości).

Zgromadzenie tych składowych w jednej sumie kwadratów spowodowałoby, że wartość normy dowolnie zmieniałaby się wraz z wyborem układu jednostek, a próg nie miałby jednoznacznego znaczenia. Dlatego FrontISTR rozdziela wielkości decyzyjne według wymiaru, każdą z nich bezwymiaruje stosowną wielkością odniesienia, a dopiero potem dokonuje oceny.

Symbol Składnik Wymiar
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\) Reszty dla stopni swobody posuwowych (stopnie swobody węzłowe 1–3) Siła
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_r\) Reszty dla stopni swobody obrotowych (stopnie swobody węzłowe 4–6, tylko elementy 6-stopniowe) Moment
\(d\boldsymbol{\lambda}\) Poprawki mnożników Lagrange'a Siła

Stopni swobody ciśnienia w elementach sprzężonych z płynem (4 stopnie swobody węzłowe, \(u,v,w,p\)) nie uwzględnia się w ocenie zbieżności.

W elementach belkowych i powłokowych z 3 stopniami swobody węzłowej (641/761/781) obroty wyraża się przez stopnie swobody 1–3 węzłów fikcyjnych, które tworzą pary z węzłami posuwowymi. Ponieważ ocena nie rozróżnia węzłów fikcyjnych, reszty węzłów fikcyjnych (momenty) również są zawarte w składniku posuwowym \(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\). To samo dotyczy kryterium normy poprawki i oceny na podstawie wartości maksymalnej.

Reszta \(\tilde{\boldsymbol{R}}\) jest wyrażona bez składowych stopni swobody, na które nałożono ograniczenia przesunięć. Wynika to z faktu, że reszty pojawiające się na tych stopniach swobody odpowiadają reakcjom więzłów, a nie błędom równowagi (metoda Newtona–Raphsona).

Kryterium normy reszty

Resztę \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) z iteracji \(i\) bezwymiaruje się przez wielkość sił panujących w tym momencie w układzie. Siłę odniesienia \(F_\mathrm{ref}\) dla składnika posuwowego oraz moment odniesienia \(M_\mathrm{ref}\) dla składnika obrotowego definiuje się jako

\[ F_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|,\ \|\boldsymbol{D}_t\| \right), \qquad M_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_r\|,\ \|\boldsymbol{D}_r\| \right) \]

gdzie \(\boldsymbol{Q}\) jest wektorem sił wewnętrznych, a \(\boldsymbol{D}\) sumą sił bezwładności i sił lepkości

\[ \boldsymbol{D} = \boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{u}}_{n+1} + \boldsymbol{C}\dot{\boldsymbol{u}}_{n+1} \]

(analiza dynamiczna); w analizie statycznej \(\boldsymbol{D} = \boldsymbol{0}\). Indeksy \(t, r\) oznaczają składnik posuwowy i obrotowy z poprzedniej sekcji. Wielkość decyzyjna

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|}{F_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f, \qquad \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,r}\|}{M_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f \]

określa warunek spełnienia kryterium.

Wartością odniesienia nie jest suma wektorowa \(\|\boldsymbol{Q} + \boldsymbol{D}\|\), lecz maksimum norm sił wewnętrznych oraz sił bezwładności i lepkości, ponieważ w drganiach swobodnych, na które nie działają siły zewnętrzne, w stanie równowagi zachodzi \(\boldsymbol{Q} = -\boldsymbol{D}\) i wartość odniesienia oparta na sumie wektorowej spadałaby do \(0\). Przy maksimum norm takie znoszenie się nie występuje.

Jeśli wartość odniesienia spada poniżej z góry ustalonej wartości dolnej (\(10^{-8}\)) (np. pierwsza iteracja rozpoczęta ze stanu bez obciążenia), nie dzieli się przez wartość odniesienia, a samą normę reszty przyjmuje się jako wielkość decyzyjną. Wówczas ocena opiera się na wartości bezwzględnej reszty.

Kryterium normy poprawki

Poprawkę \(d\boldsymbol{u}_i\) otrzymaną w iteracji \(i\) bezwymiaruje się przez przyrost przesunięć \(\Delta\boldsymbol{u}\) zsumowany dotychczas w tym podkroku.

\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|} < \varepsilon_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,r}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_r\|} < \varepsilon_d \]

Dostatecznie mała wartość poprawki względem zsumowanego przyrostu oznacza, że iteracja osiągnęła stan stacjonarny. Kryterium to stosuje się jako pomocniczą ocenę dla problemów, w których reszta maleje powoli. Gdy mianownik wynosi \(0\), kryterium uznaje się za niespełnione.

Kryterium mnożników Lagrange'a

W analizie kontaktowej metodą mnożników Lagrange'a do oceny dołącza się warunek, w którym poprawkę mnożników bezwymiaruje się przez ich własną wielkość:

\[ \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|,\ F_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon_\lambda \]

Ponieważ wiązania szczeliny kontaktowej są włączone do układu równań jako równania dla mnożników Lagrange'a, zbieżność mnożników traktuje się jako spełnienie wiązań. Same reszty szczeliny, mające wymiar długości, nie są uwzględniane w kryterium normy reszty, gdyż nie można ich dodać do reszt siłowych.

Mnożniki Lagrange'a są siłami kontaktowymi i mają ten sam wymiar co siła odniesienia \(F_\mathrm{ref}\), dlatego mianownik ogranicza się od dołu przez \(F_\mathrm{ref}\). Bezwymiarowanie wyłącznie przez \(\|\boldsymbol{\lambda}\|\) spowodowałoby, że gdy kontakt niemal nie przenosi obciążenia, ocena stawałaby się nieograniczenie surowa; ponadto dla węzłów, które właśnie weszły w kontakt, miałoby miejsce \(\|\boldsymbol{\lambda}\| = 0\) przy \(\|d\boldsymbol{\lambda}_i\| \neq 0\), co czyniłoby spełnienie warunku niemożliwym. Obsługa przypadków, w których mianownik spada poniżej wartości dolnej, jest taka sama jak w kryterium normy reszty.

Ocena na podstawie wartości maksymalnej

Ponieważ norma L2 jest sumą kwadratów po wszystkich stopniach swobody, reszta pozostająca tylko przy niektórych węzłach jest coraz bardziej rozcieńczana na całość wraz ze wzrostem liczby węzłów i oceniana jako mniejsza. Aby uchwycić lokalnie niezachowaną równowagę, taką jak przy węzłach kontaktowych, można równolegle stosować wersję oceny, w której w każdym z opisanych dotychczas kryteriów normę L2 zastępuje się wartością maksymalną wartości bezwzględnych składowych stopni swobody.

Wartość maksymalną składnika posuwowego wektora \(\boldsymbol{v}\), dla węzła \(I\) i stopnia swobody węzłowej \(k\), definiuje się jako

\[ \|\boldsymbol{v}_t\|_\infty = \max_{I}\ \max_{k=1,2,3} |v_{Ik}| \]

Składnik obrotowy \(\|\boldsymbol{v}_r\|_\infty\) definiuje się analogicznie dla \(k = 4,5,6\), a dla mnożników Lagrange'a bierze się wartość maksymalną wartości bezwzględnych wszystkich składowych. Wielkość decyzyjna powstaje z zastąpienia normy L2 w każdym kryterium, zarówno w liczniku, jak i w mianowniku, tą wartością maksymalną.

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|_\infty}{F^\infty_\mathrm{ref}} < \varepsilon^\infty_f, \qquad F^\infty_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|_\infty,\ \|\boldsymbol{D}_t\|_\infty \right) \]
\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|_\infty}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|_\infty} < \varepsilon^\infty_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|_\infty}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|_\infty,\ F^\infty_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon^\infty_\lambda \]

Składnik obrotowy traktuje się analogicznie. Obsługa przypadków, gdy wartość odniesienia spada poniżej wartości dolnej, oraz gdy mianownik wynosi \(0\), jest taka sama jak dla kryteriów z normą L2.

Wartości odniesienia przyjmuje się również jako maksimum tej samej postaci, aby rząd wielkości wielkości decyzyjnej pozostał zbliżony do kryteriów z normą L2 i można było stosować porównywalne progi. Nie dzieli się osobno przez różne wartości odniesienia dla każdej składowej stopnia swobody, ponieważ w kierunkach bez obciążenia wartość odniesienia dąży do \(0\), co pozbawiłoby wielkość decyzyjną znaczenia.

Przy ocenie na podstawie wartości maksymalnej określane są węzeł i stopień swobody dające wartość maksymalną. FrontISTR wypisuje je w dzienniku dla każdej iteracji, zarówno dla reszt, jak i poprawek.

Kombinacja ocen

Każdą z opisanych dotychczas wielkości decyzyjnych (dla reszt, poprawek i mnożników Lagrange'a; dla składnika posuwowego i obrotowego; z normą L2 lub wartością maksymalną) można indywidualnie wskazać, czy ma być stosowana w ocenie (CHECK), czy pomijana (SKIP). Domyślnie wszystkie oceny z normą L2 mają wartość CHECK, a wszystkie oceny na podstawie wartości maksymalnej — SKIP.

Wystarczy spełnienie jednego z kryteriów normy reszty lub normy poprawki, aby uznać zbieżność. Kryterium mnożników Lagrange'a jest natomiast potwierdzeniem spełnienia wiązań kontaktowych, toteż w analizach, w których mnożniki występują, jest zawsze wymagane. W obrębie jednego kryterium muszą być spełnione wszystkie składowe oznaczone jako CHECK, zarówno wśród składnika posuwowego i obrotowego, jak i wśród normy L2 i wartości maksymalnej.

Aby wyrazić to wzorem, definiuje się następujące dwie wielkości dla grupy wielkości decyzyjnych \(G\):

\[ \mathrm{all\_ok}(G) = \bigwedge_{m \in G} \left( m \text{ jest spełnione} \ \vee\ m \text{ jest SKIP} \right), \qquad \mathrm{any\_check}(G) = \bigvee_{m \in G} \left( m \text{ jest CHECK} \right) \]

\(\mathrm{all\_ok}(G)\) jest prawdziwe, jeśli \(G\) nie zawiera żadnej wielkości decyzyjnej CHECK. Warunek zbieżności ma postać

\[ \mathrm{all\_ok}(\text{kryterium mnożników Lagrange'a}) \ \wedge\ \left\{ \left( \mathrm{any\_check}(\text{kryterium normy poprawki}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{kryterium normy poprawki}) \right) \ \vee\ \left( \mathrm{any\_check}(\text{kryterium normy reszty}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{kryterium normy reszty}) \right) \right\} \]

Dodanie \(\mathrm{any\_check}\) do dwóch grup połączonych «albo» zapobiega temu, aby grupa nieposiadająca żadnej wielkości decyzyjnej CHECK przepuszczała ocenę bez kontroli. Składnik obrotowy w analizach bez stopni swobody obrotowych oraz kryterium mnożników Lagrange'a w analizach bez mnożników nie są używane w ocenie, nawet jeśli wskazano CHECK. Przy ustawieniach domyślnych warunek zbieżności ma postać

\[ \left( \text{kryterium mnożników Lagrange'a} \right) \ \wedge\ \left\{ \left( \text{kryterium normy poprawki} \right) \ \vee\ \left( \text{kryterium normy reszty} \right) \right\} \]

co oznacza, że w analizach ze stopniami swobody obrotowych oceniane są zarówno składnik posuwowy, jak i obrotowy, a w analizach bez mnożników Lagrange'a oceniany jest warunek bez kryterium mnożników Lagrange'a.

Sposób określania progów \(\varepsilon_f, \varepsilon_d, \varepsilon_\lambda\) dla ocen z normą L2 oraz ich wartości domyślne opisano w !STEP; CHECK/SKIP oraz progi dla ocen na podstawie wartości maksymalnej opisano w !CONVERG_PARAM; wytyczne dotyczące doboru kryteriów zawiera iteracja nieliniowa i integracja czasowa (funkcja).

Powiązane tematy