Przejdź do treści

Weryfikacja z użyciem modelu o prostym kształcie

Statyczna analiza sprężysta

W tej weryfikacji wykorzystano wspornik z siatką pokazaną na rysunku 9.1.1. Analizy wykonano dla siedmiu przypadków, od exA do exG, zmieniając warunki obciążenia zgodnie z rysunkiem 9.1.2. Przypadek exG ma takie same warunki obciążenia jak exA, lecz wykorzystuje solver bezpośredni.

Wyniki weryfikacji dla poszczególnych przypadków przedstawiono w tabelach 9.1.1–9.1.7.

Przykład siatki wspornika (elementy heksaedryczne) Rys. 9.1.1 Przykład siatki wspornika (elementy heksaedryczne)
(a) exA, G: Obciążenie skupione
(b) exD: Grawitacja
(c) exB: Obciążenie rozłożone na powierzchni
(d) exE: Siła odśrodkowa
(e) exC: Obciążenie objętościowe
(f) exF : Obciążenie cieplne
Wielkość Wartość
Moduł Younga \(E = 4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Długość \(L = 10.0\ \mathrm{mm}\)
Współczynnik Poissona \(\nu = 0.3\)
Pole przekroju \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)
Gęstość masy \(\rho = 8.0102 \times 10^{-10}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Geometryczny moment bezwładności \(I = 1.0/12.0\ \mathrm{mm^4}\)
Przyspieszenie grawitacyjne \(g = 9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Liniowy współczynnik rozszerzalności cieplnej \(\alpha = 1.0 \times 10^{-5}\)

Rys. 9.1.2 Warunki weryfikacji modelu wspornika

Tabela 9.1.1 : exA: Wyniki weryfikacji problemu obciążenia skupionego

Nazwa przypadku Liczba elementów Wartość przewidywana : \(\delta_{max}= -1.000\) Uwagi
NASTRAN Program komercyjny FrontISTR
A231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
A232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
A241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
A242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
A341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99 węzłów
A342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525 węzłów
A351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99 węzłów
A352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381 węzłów
A361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99 węzłów
A362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220 węzłów
A731 40 - - -0.991 33 węzłów / metoda bezpośrednia
A741 20 - - -0.996 33 węzłów / metoda bezpośrednia

Tabela 9.1.2 : exB: Wyniki weryfikacji problemu obciążenia rozłożonego na powierzchni

Nazwa przypadku Liczba elementów Wartość przewidywana : \(\delta_{max}= -3.750\) Uwagi
NASTRAN Program komercyjny FrontISTR
B231 40 -1.281 -1.403 -1.403 33 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
B232 40 -3.579 -3.763 -3.763 105 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
B241 20 -3.198 -2.680 -2.680 33 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
B242 20 -3.426 -3.765 -3.765 85 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
B341 240 -1.088 -1.449 -1.454 99 węzłów
B342 240 -3.704 -3.704 -3.748 525 węzłów
B351 80 -3.547 -1.338 -1.325 99 węzłów
B352 80 -0.3717 -3.716 -3.713 381 węzłów
B361 40 -3.557 -3.691 -3.688 99 węzłów
B362 40 -3.726 -3.717 -3.717 220 węzłów
B731 40 - - -3.722 33 węzłów / metoda bezpośrednia
B741 20 - - -3.743 33 węzłów / metoda bezpośrednia

Tabela 9.1.3 : exC: Wyniki weryfikacji problemu obciążenia objętościowego

Nazwa przypadku Liczba elementów Wartość przewidywana : \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) Uwagi
NASTRAN Program komercyjny FrontISTR
C231 40 - -1.101e-5 -1.101e-5 33 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
C232 40 - -2.951e-5 -2.951e-5 105 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
C241 20 - -2.102e-5 -2.102e-5 33 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
C242 20 - -2.953e-5 -2.953e-5 85 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
C341 240 - -1.136e-5 -1.140e-5 99 węzłów
C342 240 - -2.905e-5 -2.937e-5 525 węzłów
C351 80 - -1.050e-5 -1.039e-5 99 węzłów
C352 80 - -2.914e-5 -2.911e-5 381 węzłów
C361 40 - -2.895e-5 -2.893e-5 99 węzłów
C362 40 - -2.915e-5 -2.915e-5 220 węzłów
C731 40 - - -2.922e-5 33 węzłów / metoda bezpośrednia
C741 20 - - -2.938e-5 33 węzłów / metoda bezpośrednia

Tabela 9.1.4 : exD: Wyniki weryfikacji problemu grawitacji

Nazwa przypadku Liczba elementów Wartość przewidywana : \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) Uwagi
NASTRAN Program komercyjny FrontISTR
D231 40 -1.101e-5 -1.101e-5 -1.101e-5 33 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
D232 40 -2.805e-5 -2.951e-5 -2.951e-5 105 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
D241 20 -2.508e-5 -2.102e-5 -2.102e-5 33 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
D242 20 -2.684e-5 -2.953e-5 -2.953e-5 85 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
D341 240 -1.172e-5 -1.136e-5 -1.140e-5 99 węzłów
D342 240 -2.906e-5 -2.905e-5 -2.937e-5 525 węzłów
D351 80 -1.046e-5 -1.050e-5 -1.039e-5 99 węzłów
D352 80 -2.917e-5 -2.914e-5 -2.911e-5 381 węzłów
D361 40 -2.800e-5 -2.895e-5 -2.893e-5 99 węzłów
D362 40 -2.919e-5 -2.915e-5 -2.915e-5 220 węzłów
D731 40 - - -2.922e-5 33 węzłów / metoda bezpośrednia
D741 20 - - -2.938e-5 33 węzłów / metoda bezpośrednia

Tabela 9.1.5 : exE: Wyniki weryfikacji problemu siły odśrodkowej

Nazwa przypadku Liczba elementów Wartość przewidywana : \(\delta_{max} = 2.635 \times 10^{-3}\) Uwagi
NASTRAN Program komercyjny FrontISTR
E231 40 2.410e-3 2.616e-3 2.650e-3 33 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
E232 40 2.447e-3 2.627e-3 2.628e-3 105 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
E241 20 2.386e-3 2.622e-3 2.624e-3 33 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
E242 20 2.387e-3 2.627e-3 2.629e-3 85 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
E341 240 2.708e-3 2.579e-3 2.625e-3 99 węzłów
E342 240 2.639e-3 2.614e-3 2.638e-3 525 węzłów
E351 80 2.642e-3 2.598e-3 2.625e-3 99 węzłów
E352 80 2.664e-3 2.617e-3 2.616e-3 381 węzłów
E361 40 2.611e-3 2.603e-3 2.603e-3 99 węzłów
E362 40 2.623e-3 2.616e-3 2.616e-3 220 węzłów
E731 40 - - 2.619e-3 33 węzłów / metoda bezpośrednia
E741 20 - - 2.622e-3 33 węzłów / metoda bezpośrednia

Tabela 9.1.6 : exF: Wyniki weryfikacji problemu obciążenia naprężeniem cieplnym

Nazwa przypadku Liczba elementów Wartość przewidywana : \(\delta_{max} = 1.000 \times 10^{-2}\) Uwagi
NASTRAN Program komercyjny FrontISTR
F231 40 - 1.016e-2 1.007e-2 33 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
F232 40 - 1.007e-2 1.007e-2 105 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
F241 20 - 1.010e-2 1.010e-2 33 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
F242 20 - 1.006e-2 1.006e-2 85 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
F341 240 - 1.047e-2 1.083e-2 99 węzłów
F342 240 - 1.018e-2 1.022e-2 525 węzłów
F351 80 - 1.031e-2 1.062e-2 99 węzłów
F352 80 - 1.015e-2 1.017e-2 381 węzłów
F361 40 - 1.026e-2 1.026e-2 99 węzłów
F362 40 - 1.016e-2 1.016e-2 220 węzłów

Tabela 9.1.7 : exG: Wyniki weryfikacji metody bezpośredniej (problem obciążenia skupionego)

Nazwa przypadku Liczba elementów Wartość przewidywana: δmax= -1.000 Uwagi
NASTRAN Program komercyjny FrontISTR
G231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
G232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
G241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
G242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
G341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99 węzłów
G342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525 węzłów
G351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99 węzłów
G352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381 węzłów
G361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99 węzłów
G362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220 węzłów
G731 40 - - -0.991 33 węzłów / metoda bezpośrednia
G741 20 - - -0.996 33 węzłów / metoda bezpośrednia

Nieliniowa analiza statyczna

(2-1) exnl1: Analiza nieliniowości geometrycznej

Model weryfikacyjny dla przypadku exI jest identyczny z modelami dla przypadków od exA do exG. Rys. 9.1.3 przedstawia schemat modelu weryfikacyjnego. Dla tego modelu wykonywana jest analiza geometrycznie nieliniowa. Wyniki weryfikacji przedstawiono w tabeli 9.1.8.

W obliczeniu nieliniowym przyjmuje się obciążenie odniesienia \(P = 1.0\ \mathrm{kgf}\), a obliczenia wykonuje się w 10 krokach obciążenia z przyrostem \(0.1P\).

Model weryfikacyjny Rys. 9.1.3 Model weryfikacyjny

Tabela 9.1.8 exI: Wyniki weryfikacji (historia maksymalnego ugięcia)

Nazwa przypadku 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Rozwiązanie liniowe
I231 - - - - - - - - - - -
I232 - - - - - - - - - - -
I241 - - - - - - - - - - -
I242 - - - - - - - - - - -
I341 0.039 0.077 0.116 0.154 0.193 0.232 0.270 0.309 0.348 0.386 0.386
I342 0.099 0.200 0.300 0.400 0.499 0.599 0.698 0.797 0.896 0.995 0.999
I351 0.035 0.070 0.105 0.141 0.176 0.211 0.246 0.281 0.316 0.351 0.351
I352 0.099 0.198 0.298 0.397 0.496 0.595 0.693 0.792 0.890 0.987 0.992
I361 0.070 0.139 0.209 0.278 0.348 0.417 0.487 0.556 0.625 0.694 0.984
I362 0.099 0.197 0.298 0.397 0.496 0.595 0.694 0.793 0.891 0.988 0.993

(2-2) exnl2: Analiza odkształcenia sprężysto-plastycznego

Ten problem weryfikacyjny opiera się na teście NL1 organizacji National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.) (NAFEMS), i obejmuje analizę odkształcenia sprężysto-plastycznego z uwzględnieniem nieliniowości geometrycznej oraz wielu reguł umocnienia. Rysunek 9.1.4 przedstawia model analizy.

Model analizy odkształcenia sprężysto-plastycznego

Rys. 9.1.4 Model analizy odkształcenia sprężysto-plastycznego

(1) Warunki weryfikacji

Wielkość Wartość
Materiał Materiał sprężysto-plastyczny Misesa
Moduł Younga \(E = 250\ \mathrm{GPa}\)
Współczynnik Poissona \(\nu=0.25\)
Początkowe naprężenie plastyczności \(5\ \mathrm{MPa}\)
Początkowe odkształcenie plastyczności \(0.25\times10^{-4}\)
Współczynnik umocnienia izotropowego \(H_i = 0\) lub \(62.5\ \mathrm{GPa}\)

(2) Warunki brzegowe

Pozycja Warunek brzegowy Wartość
Krok 1 Zadane przemieszczenie w węzłach 2 i 3 \(u_x = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Krok 2 Zadane przemieszczenie w węzłach 2 i 3 \(u_x = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Krok 3 Zadane przemieszczenie w węzłach 3 i 4 \(u_y = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Krok 4 Zadane przemieszczenie w węzłach 3 i 4 \(u_y = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Krok 5 Zadane przemieszczenie w węzłach 2 i 3 \(u_x = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Krok 6 Zadane przemieszczenie w węzłach 2 i 3 \(u_x = -0.2500031251 * 10^{-4}\)
Krok 7 Zadane przemieszczenie w węzłach 3 i 4 \(u_y = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Krok 8 Zadane przemieszczenie w węzłach 3 i 4 \(u_y = -0.2500031251 * 10^{-4}\)

Wszystkie niewymienione tutaj węzły są całkowicie utwierdzone. Rozwiązanie teoretyczne tego problemu jest następujące.

Odkształcenie (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 Naprężenie zastępcze (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
0.25, 0, 0 5.0; 5.0
0.50, 0, 0 5.0; 5.862
0.50, 0.25, 0 5.0; 5.482
0.50, 0.50, 0 5.0; 6.362
0.25, 0.50, 0 5.0; 6.640
0, 0.50, 0 5.0; 7.322
0, 0.25, 0 3.917; 4.230
0, 0, 0 5.0; 5.673

Dla porównania wyniki obliczeń są następujące.

Odkształcenie (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 Naprężenie zastępcze (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
\(\varepsilon_{x}\) \(\varepsilon_{y}\)
0.25, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.0 (0.0%)
0.50, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.862 (0.0%)
0.50, 0.25, 0 5.0 (0.0%); 5.482 (0.0%)
0.50, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.362 (-0.05%)
0.25, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.640 (-0.21%)
0, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 7.322 (-0.34%)
0, 0.25, 0 3.824 (-2.4%); 4.230 (-2.70%)
0, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.673 (5.673 (-2.50%)

Analiza kontaktowa (1)

Ten problem weryfikacyjny opiera się na problemie testu kontaktowego CGS-4 organizacji National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), i sprawdza możliwość analizy kontaktu z tarciem przy skończonym poślizgu. Rys. 9.1.5 przedstawia model analizy.

Model analizy kontaktowej

Rys. 9.1.5 Model analizy kontaktowej

Warunek równowagi dla tego problemu jest następujący.

\[ F \cos \alpha - G \sin \alpha = \pm f_{c} \]

W fazie tarcia statycznego siła tarcia wynosi

\[ f_{c} = E_t \Delta u \]

a w fazie tarcia ślizgowego wynosi

\[ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) \]

Porównanie wyników obliczeń z rozwiązaniem analitycznym jest następujące.

\(\mu\) \(F/G\) Rozwiązanie analityczne \(F/G\) Wyniki obliczeń
0.0 0.1 0.1
0.1 0.202 0.202
0.2 0.306 0.306
0.3 0.412 0.412

Analiza kontaktowa (2): problem kontaktu Hertza

W tej weryfikacji analizowany jest problem kontaktu Hertza między nieskończenie długim cylindrem a nieskończoną płaszczyzną. Promień cylindra wynosi \(R = 8\ \mathrm{mm}\), a moduł Younga \(E\) i współczynnik Poissona \(\mu\) ciała odkształcalnego wynoszą odpowiednio \(1100\ \mathrm{MPa}\) i \(0.0\). Zakłada się, że obszar kontaktu jest dostatecznie mały w porównaniu z promieniem cylindra, a z uwagi na symetrię problemu analizowany jest model ćwiartki cylindra.

Model analizy problemu kontaktu Hertza Rys. 9.1.6 Model analizy problemu kontaktu Hertza

(1) Wyniki weryfikacji promienia kontaktu

Teoretyczny wzór do obliczania promienia kontaktu jest następujący:

\[ a = \sqrt{\frac{4FR}{\pi E^{*}}} \]

gdzie

\[ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) \]

W obecnych warunkach obliczeniowych, gdy nacisk wynosi \(F=100\), promień kontaktu wynosi \(a=1.36\).

Rys. 9.1.7 przedstawia równoważne siły węzłowe w punktach kontaktu. Promień kontaktu uzyskuje się przez ekstrapolację tego rozkładu sił węzłowych.

Rozkład równoważnych sił węzłowych w punktach kontaktu

Rys. 9.1.7 Rozkład równoważnych sił węzłowych w punktach kontaktu

(2) Wyniki weryfikacji maksymalnego naprężenia stycznego

W rozwiązaniu teoretycznym, w położeniu kontaktu

\[ z = 0.78a \]

maksymalne naprężenie styczne wynosi

\[ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} \]

W obecnych warunkach obliczeniowych maksymalne naprężenie styczne wynosi

\[ \tau_{\max} = 14.2 \]

Dla porównania obliczenia dają

\[ \tau_{\max} = 15.6 \]

Rozkład naprężenia stycznego (wartość maksymalna = 15.6 Rys. 9.1.8 Rozkład naprężenia stycznego (wartość maksymalna = 15.6)

(3) Analiza modalna

Modele weryfikacyjne dla przypadków exJ i exK są identyczne z modelami dla przypadków od exA do exG. Rys. 9.1.9 przedstawia schemat modelu weryfikacyjnego. Dla tego modelu wykonywana jest analiza modalna. Oblicza się pierwsze trzy częstotliwości własne. Przypadek exJ wykorzystuje solver iteracyjny, natomiast exK — solver bezpośredni. Wyniki weryfikacji przedstawiono w tabelach 9.1.9–9.1.12.

Model weryfikacyjny Rys. 9.1.9 Model weryfikacyjny

Częstotliwości własne wspornika wyznacza się z następujących równań.

Pierwsza postać

\[ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Druga postać

\[ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Trzecia postać

\[ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Wartości właściwości modelu weryfikacyjnego są następujące

Wielkość Wartość
\(I\) \(1.0/12.0\ \mathrm{mm}^4\)
\(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
\(l\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
\(\omega\) \(7.85 \times 10^{-6}\ \mathrm{kgf/mm^3}\)
\(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)

Zatem pierwsze trzy częstotliwości własne są następujące:

Numer postaci Wartość
\(n_1\) 3.609e3
\(n_2\) 2.262e4
\(n_3\) 6.335e4

Tabela 9.1.9 : exJ: Wyniki weryfikacji metody iteracyjnej dla pierwszej częstotliwości własnej

Nazwa przypadku Liczba elementów Wartość przewidywana : n1=3.609e3 Uwagi
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
J232 40 3.596e3 3.593e3 105 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
J241 20 3.586e3 4.245e3 33 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
J242 20 3.590e3 3.587e3 85 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
J341 240 5.442e3 5.429e3 99 węzłów
J342 240 3.621e3 3.595e3 525 węzłów
J351 80 3.695e3 4.298e3 99 węzłów
J352 80 3.610e3 3.609e3 381 węzłów
J361 40 3.679e3 3.619e3 99 węzłów
J362 40 3.611e3 3.606e3 220 węzłów

Tabela 9.1.10 : Wyniki weryfikacji metody iteracyjnej exJ dla drugiej częstotliwości własnej

Nazwa przypadku Liczba elementów Wartość przewidywana : n2=2.262e4 Uwagi
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
J232 40 2.163e4 2.156e4 105 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
J241 20 2.149e4 2.516e4 33 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
J242 20 2.149e4 2.143e4 85 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
J341 240 3.145e4 3.138e4 99 węzłów
J342 240 2.171e4 2.155e4 525 węzłów
J351 80 2.208e4 2.546e4 99 węzłów
J352 80 2.156e4 2.149e4 381 węzłów
J361 40 2.202e4 2.168e4 99 węzłów
J362 40 2.154e4 2.144e4 220 węzłów

Uwaga) W modelach trójwymiarowych pierwsze dwie postacie drgań są zdegenerowane. Dlatego trzecia obliczona częstotliwość własna jest podana w tabeli jako druga częstotliwość własna.

Tabela 9.1.11 : Wyniki weryfikacji metody bezpośredniej exK dla pierwszej częstotliwości własnej

Nazwa przypadku Liczba elementów Wartość przewidywana : n1=3.609e3 Uwagi
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
J232 40 3.596e3 3.593e3 105 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
J241 20 3.586e3 4.245e3 33 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
J242 20 3.590e3 3.587e3 85 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
J341 240 5.442e3 5.429e3 99 węzłów
J342 240 3.621e3 3.595e3 525 węzłów
J351 80 3.695e3 4.298e3 99 węzłów
J352 80 3.610e3 3.609e3 381 węzłów
J361 40 3.679e3 3.619e3 99 węzłów
J362 40 3.611e3 3.606e3 220 węzłów
J731 40 - 3.606e3 220 węzłów
J741 20 - 3.594e3 220 węzłów

Tabela 9.1.12 : Wyniki weryfikacji metody bezpośredniej exK dla drugiej częstotliwości własnej

Nazwa przypadku Liczba elementów Wartość przewidywana : n2=2.262e4 Uwagi
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
J232 40 2.163e4 2.156e4 105 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
J241 20 2.149e4 2.516e4 33 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
J242 20 2.149e4 2.143e4 85 węzłów / problem płaskiego stanu naprężenia
J341 240 3.145e4 3.138e4 99 węzłów
J342 240 2.171e4 2.155e4 525 węzłów
J351 80 2.208e4 2.546e4 99 węzłów
J352 80 2.156e4 2.149e4 381 węzłów
J361 40 2.202e4 2.168e4 99 węzłów
J362 40 2.154e4 2.144e4 220 węzłów
J731 40 - 2.156e4 220 węzłów
J741 20 - 2.153e4 220 węzłów

Uwaga) W modelach trójwymiarowych pierwsze dwie postacie drgań są zdegenerowane. Dlatego trzecia obliczona częstotliwość własna jest podana w tabeli jako druga częstotliwość własna.

(4) Analiza przewodzenia ciepła

Wspólne warunki analiz ustalonego przewodzenia ciepła przedstawiono na rysunku 9.1.10. Indywidualne warunki dla przypadków weryfikacyjnych od exM do exT przedstawiono na rysunku 9.1.11. Podział siatki jest taki sam jak w przypadku exA.

W tabelach 9.1.13–9.1.20 przedstawiono wyniki weryfikacji dla poszczególnych przypadków w postaci tabel rozkładu temperatury.

Analiza przewodzenia ciepła
Długość między AB \(L = 10.0\ \mathrm{m}\)
Pole przekroju \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)

Zależność przewodności cieplnej od temperatury

Przewodność cieplna \(\lambda\) (W/(m·K)) Temperatura (°C)
50.0 0.0
35.0 500.0
20.0 1000.0

Rys. 9.1.10 : Warunki weryfikacji analizy ustalonego przewodzenia ciepła
exM: Materiał liniowy
exN: Problem zadanej temperatury
exO: Problem skupionego strumienia ciepła
exP: Problem rozłożonego strumienia ciepła
exQ: Problem konwekcyjnej wymiany ciepła
exR: Problem radiacyjnej wymiany ciepła
exS: Problem objętościowego źródła ciepła
exT: Problem szczeliny wewnętrznej

Rys. 9.1.11 : Warunki analizy dla każdego przypadku weryfikacyjnego

Tabela 9.1.13 : Wyniki weryfikacji exM (obliczenie ustalone dla materiału liniowego)

Nazwa przypadku Typ elementu Elementy/węzły Odległość od końca A (m)
Koniec A 2.0 4.0 6.0 8,0 Koniec B
M361A 361 40／33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361B 361 40／105 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361C 361 20／33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361D 361 20／85 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361E 361 240／99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361F 361 24／525 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361G 361 80／99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0

Tabela 9.1.14 : Wyniki weryfikacji exN (problem zadanej temperatury)

Nazwa przypadku Typ elementu Elementy/węzły Odległość od końca A (m)
Koniec A 2.0 4.0 6.0 8,0 Koniec B
Program komercyjny 361 40／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N231 231 40／33 0.0 87.2 179.5 278.0 384.1 500.0
N232 232 40／105 0.0 86.0 178.3 276.8 382.9 500.0
N241 241 20／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N242 242 20／85 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N341 341 240／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N342 342 24／525 0.0 87.9 179.9 278.0 383.6 500.0
N351 351 80／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N352 352 80／381 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N361 361 40／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N362 362 40／330 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N731 731 40／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N741 741 20／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0

Tabela 9.1.15 : Wyniki weryfikacji exO (problem skupionego strumienia ciepła)

Nazwa przypadku Typ elementu Elementy/węzły Odległość od końca A (m)
Koniec A 2.0 4.0 6.0 8,0 Koniec B
Program komercyjny 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.4 465.2 618.0
O341 341 240／99 - - - - - -
O342 342 24／525 0.0 104.4 214.9 334.7 466.3 614.6
O351 351 80／99 - - - - - -
O352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 465.0 624.2
O361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 623.5
O731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
O741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Tabela 9.1.16 : Wyniki weryfikacji exP (problem rozłożonego strumienia ciepła)

Nazwa przypadku Typ elementu Elementy/węzły Odległość od końca A (m)
Koniec A 2.0 4.0 6.0 8,0 Koniec B
Program komercyjny 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P341 341 240／99 - - - - - -
P342 342 24／525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P351 351 80／99 - - - - - -
P352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 612.6
P731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
P741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Tabela 9.1.17 : Wyniki weryfikacji exQ (problem konwekcyjnej wymiany ciepła)

Nazwa przypadku Typ elementu Elementy/węzły Odległość od końca A (m)
Koniec A 2.0 4.0 6.0 8,0 Koniec B
Program komercyjny 361 40／99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q231 231 40／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q232 232 40／105 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q241 241 20／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q242 242 20／85 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q341 341 240／99 - - - - - -
Q342 342 24／525 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q351 351 80／99 - - - - - -
Q352 352 80／381 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q361 361 40／99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q362 362 40／330 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q731 731 40／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q741 741 20／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2

Tabela 9.1.18 : Wyniki weryfikacji exR (problem radiacyjnej wymiany ciepła)

Nazwa przypadku Typ elementu Elementy/węzły Odległość od końca A (m)
Koniec A 2.0 4.0 6.0 8,0 Koniec B
Program komercyjny 361 40／99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R231 231 40／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R232 232 40／105 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R241 241 20／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R242 242 20／85 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R341 341 240／99 - - - - - -
R342 342 24／525 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R351 351 80／99 - - - - - -
R352 352 80／381 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R361 361 40／99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R362 362 40／330 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R731 731 40／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R741 741 20／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2

Tabela 9.1.19 : Wyniki weryfikacji exS (problem objętościowego źródła ciepła)

Nazwa przypadku Typ elementu Elementy/węzły Odległość od końca A (m)
Koniec A 2.0 4.0 6.0 8,0 Koniec B
Program komercyjny 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S341 341 240／99 - - - - - -
S342 342 24／525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S351 351 80／99 - - - - - -
S352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Tabela 9.1.20 : Wyniki weryfikacji exT (problem szczeliny wewnętrznej)

Nazwa przypadku Typ elementu Elementy/węzły Odległość od końca A (m)
Koniec A 2.0 4.0 6.0 8,0 Koniec B
Program komercyjny 361 40／99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S231 231 40／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S232 232 40／105 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S241 241 20／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S242 242 20／85 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S341 341 240／99 - - - - - -
S342 342 24／525 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S351 351 80／99 - - - - - -
S352 352 80／381 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S361 361 40／99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S362 362 40／330 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S731 731 40／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S741 741 20／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0

Liniowa analiza dynamiczna

W exW wykonywana jest liniowa analiza dynamiczna tego samego wspornika co w punkcie (1). Rys. 9.1.12 przedstawia warunki weryfikacji. Dla tego samego podziału siatki weryfikowany jest wpływ przyrostu czasu na wyniki. Stosowane są zarówno niejawne, jak i jawne metody całkowania w czasie, z typami elementów 361 i 342. Wyniki weryfikacji przedstawiono w tabeli 9.1.22 oraz na rysunkach 9.1.13–9.1.15.

Model analizy Model analizy

Historia czasowa siły zewnętrznej F Historia czasowa siły zewnętrznej F

Teoretyczne rozwiązanie przemieszczenia punktu wymuszenia jest następujące:

\[ F(t)=F_0 I(t) \]

gdzie

\[ \(F_0:\ \text{Wektor stały}\) \]
\[ I(t)= \begin{cases} 0, t < 0 \\\ 1, 0 \leq t \end{cases} \]
\[ u(t) = \frac{F_0 l^3}{EI} \sum^{\infty}_{i=1} \frac{1-\cos{\omega_i t}}{{\lambda_i}^4} \left\lbrace \cosh{\lambda_i}-\cos{\lambda_i}-\frac{\cosh{\lambda_i} + \cos{\lambda_i}}{\sin{\lambda_i}+\sin{\lambda_i}} (\sinh{\lambda_i} - \sin{\lambda_i}) \right\rbrace^2 \]

Rys. 9.1.12 : Warunki weryfikacji liniowej analizy dynamicznej

Warunki weryfikacji:
Długość \(L\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
Szerokość przekroju \(a\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
Wysokość przekroju \(b\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
Moduł Younga \(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Współczynnik Poissona \(\nu\) \(0.3\)
Gęstość \(\rho\) \(1.0 \times 10^{-9}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Przyspieszenie grawitacyjne \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Siła zewnętrzna \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{kgf}\)
Element Element heksaedryczny pierwszego rzędu
Element tetraedryczny drugiego rzędu
Rozwiązanie Metoda niejawna
Parametr metody Newmarka-\(\beta\): \(\gamma\) 1/2
Parametr \(\beta\) metody Newmarka-\(\beta\) 1/4
Metoda jawna
Tłumienie Brak

Tabela 9.1.21 : Warunki weryfikacji liniowej analizy dynamicznej (ciąg dalszy)

Nazwa przypadku Typ elementu Liczba węzłów Liczba elementów Rozwiązanie Przyrost czasu \(\Delta t\) (s)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 Metoda niejawna 1.0E-06
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 Metoda niejawna 1.0E-05
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 Metoda niejawna 1.0E-04
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 Metoda niejawna 1.0E-08
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 Metoda niejawna 1.0E-07
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 Metoda niejawna 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 Metoda jawna 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 Metoda jawna 1.0E-05
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 Metoda jawna 1.0E-04
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 Metoda jawna 1.0E-08
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 Metoda jawna 5.0E-08
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 Metoda jawna 1.0E-07

Tabela 9.1.22 : Wyniki weryfikacji liniowej analizy dynamicznej exW (wspornik)

Nazwa przypadku Typ elementu Liczba węzłów Liczba elementów Metoda Przemieszczenie w kierunku z w chwili \(t = 0.002\ \mathrm{s}\) (mm)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 Metoda niejawna 1.9753 1.9302
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 Metoda niejawna 1.9753 1.8686
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 Metoda niejawna 1.9753 0.3794
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 Metoda niejawna 1.9753 1.9302
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 Metoda niejawna 1.9753 1.9247
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 Metoda niejawna 1.9753 Brak zbieżności
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 Metoda jawna 1.9753 1.9431
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 Metoda jawna 1.9753 1.8719
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 Metoda jawna 1.9753 0.3873
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 Metoda jawna 1.9753 1.9359
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 Metoda jawna 1.9753 1.9358
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 Metoda jawna 1.9753 Brak zbieżności

Wykres deformacji i rozkład naprężenia zastępczego wspornika Rys. 9.1.13 : Wykres deformacji i rozkład naprężenia zastępczego wspornika

(a) Typ elementu 361 : Metoda niejawna (a) Typ elementu 361 : Metoda niejawna

(b) Typ elementu 361 : Metoda jawna (b) Typ elementu 361: Metoda jawna

Rys. 9.1.14 Historia czasowa przemieszczenia punktu wymuszenia \(u_z\)

(a) Typ elementu 342: Metoda niejawna (a) Typ elementu 342: Metoda niejawna

(b) Typ elementu 342: Metoda jawna (b) Typ elementu 342: Metoda jawna

Rys. 9.1.15 Historia czasowa przemieszczenia punktu wymuszenia \(u_z\)

Analiza odpowiedzi częstotliwościowej

W tej weryfikacji przeprowadza się analizę odpowiedzi częstotliwościowej wspornika i sprawdza ją przez porównanie z wynikami komercyjnego solvera ogólnego przeznaczenia. Model analizy i warunki weryfikacji przedstawiono poniżej.

Warunki analizy:
Moduł Younga \(E\) \(210000\ \mathrm{N/mm^2}\)
Współczynnik Poissona \(\nu\) \(0.3\)
Gęstość \(\rho\) \(7.89 \times 10^{-9}\ \mathrm{t/mm^3}\)
Przyspieszenie grawitacyjne \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Obciążenie \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{N}\)
Parametr tłumienia Rayleigha \(R_m\) \(0.0\)
Parametr tłumienia Rayleigha \(R_k\) \(7.2E-07\)

Rys. 9.1.16 : Model analizy (element tetraedryczny pierwszego rzędu (126 elementów i 55 węzłów))

Poniżej przedstawiono pięć pierwszych częstotliwości własnych uzyskanych z analizy modalnej oraz odpowiedź częstotliwościową w punkcie wymuszenia.

postać FrontISTR Program komercyjny
1 14952 14952
2 15002 15003
3 84604 84539
4 84771 84697
5 127054 126852

Zależność amplitudy przemieszczenia punktu wymuszenia od częstotliwości Rys. 9.1.17 Zależność amplitudy przemieszczenia punktu wymuszenia od częstotliwości