Skip to content

خطي الاستیک سټاټیک تحلیل (پېژندنه)

دلته د کوچنۍ بدشکلۍ د تیورۍ پر بنسټ د الاستیک سټاټیک تحلیل فورمول‌بندي ښودل کېږي. د تنش-کرنش اړیکه خطي الاستیک فرض شوې ده. دا څپرکی د محدودو عناصرو د طریقې له لارې د ساختماني تحلیل د ټولیز انځور د درک لپاره د مقدماتي لنډیز په توګه جوړ شوی او په یوه څپرکي کې بشپړ لوستل کېدای شي.

د مجازي کار د اصل عمومي بیان (اوسنی ترتیب، لومړنی ترتیب او کوچنۍ بدشکلۍ ته راکمول) په د مجازي کار اصل کې، د خطي الاستیک تشکیلي قانون جزئیات په خطي الاستیکیت کې، د ټېنسور نښې او Voigt بڼې قواعد په د ټېنسور نښه‌لیک او ریاضي بنسټونه کې، د محدودې بدشکلۍ عمومي فورمول‌بندي په حرکت، بدلون او کرنش کې، او د غیرخطی مسئلو د حل طریقه په مماسي سختۍ ماتریس کې وګورئ.

بنسټیزې معادلې

د کوچنۍ بدشکلۍ او خطي الاستیسیټۍ تر فرض لاندې د جامد میخانیک د سرحدي ارزښت مسئله د تعادل معادله، میخانیکي سرحدي شرط او هندسي سرحدي شرط (اساسي سرحدي شرط) لري (شکل 2.1.1 وګورئ):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

دلته \(\boldsymbol{\sigma}\) د Cauchy تنش، \(\overline{\boldsymbol{b}}\) د واحد حجم پر سر جسمي ځواک، \(\overline{\boldsymbol{t}}\) سطحي ځواک (ټاکل شوی ارزښت)، \(\overline{\boldsymbol{u}}\) ټاکل شوې بې‌ځایه کېدنه، او \(S_t, S_u\) په ترتیب سره میخانیکي او هندسي سرحدونه دي.

په جامد میخانیک کې د سرحدي ارزښت مسئله (د کوچنۍ بدشکلۍ مسئله)

شکل 2.1.1 په جامد میخانیک کې د سرحدي ارزښت مسئله (د کوچنۍ بدشکلۍ مسئله)

د کرنش-بې‌ځایه کېدنې اړیکه د متقارن ګرادیان عملګر په کارولو داسې ده:

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

او د خطي الاستیک تشکیلي اړیکه:

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

ده، چې \(\boldsymbol{C}\) د څلورمې مرتبې الاستیک ټېنسور دی.

د مجازي کار اصل

د مجازي کار د اصل عمومي بڼه (په اوسني ترتیب، لومړني ترتیب او کوچنۍ بدشکلۍ ته د راکمول بیانونه) په د مجازي کار اصل کې راټوله شوې ده. د کوچنۍ بدشکلۍ او خطي الاستیسیټۍ تر فرض لاندې کمزوری فورم داسې دی:

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

د تشکیلي اړیکې \eqref{eq:2.1.5} له ځای پر ځای کولو او په Voigt بڼه کې د \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) په لیکلو سره، هغه بڼه چې مستقیم د ډسکریټ کولو لپاره کارول کېږي ترلاسه کېږي:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

دلته \(D\) د خطي الاستیکیت الاستیک ماتریس دی. \eqref{eq:2.1.10} او \eqref{eq:2.1.7} هغه د مجازي کار اصل دی چې لاندې ډسکریټ کېږي.

ډسکریټ کول او د ټولیزې معادلې اسمبلي

د مجازي کار د اصل معادله \( \eqref{eq:2.1.10} \) د هر محدود عنصر لپاره ډسکریټ کوو او لاندې معادله ترلاسه کوو.

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

د هر عنصر لپاره د بې‌ځایه کېدنې ساحه د عنصر د جوړوونکو نوډونو د بې‌ځایه کېدنو په وسیله په لاندې ډول انټرپولېشن کېږي.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

په دې حالت کې کرنش د \(\eqref{eq:2.1.4}\) معادلې په کارولو داسې ورکول کېږي:

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

د \(\eqref{eq:2.1.12}\) او \(\eqref{eq:2.1.13}\) معادلو په \(\eqref{eq:2.1.11}\) کې له ځای پر ځای کولو وروسته لاندې معادله ترلاسه کېږي.

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.1.14}\) په لاندې ډول لنډول کېدای شي.

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

دلته د هغو ماتریسونو او ویکتورونو اجزا چې په \(\eqref{eq:2.1.16}\) او \(\eqref{eq:2.1.17}\) کې تعریف شوي، د هر محدود عنصر لپاره جلا محاسبه او بیا سره جمع کېدای شي.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

ځکه چې \(\eqref{eq:2.1.15}\) د هرې مجازي بې‌ځایه کېدنې \(\delta \boldsymbol{U}\) لپاره صادقه ده، لاندې معادله ترلاسه کېږي.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

بلخوا، د بې‌ځایه کېدنې د سرحدي شرط \(\eqref{eq:2.1.3}\) په لاندې ډول څرګندېږي.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

د \(\eqref{eq:2.1.18}\) معادلې د قید شرط \(\eqref{eq:2.1.19}\) لاندې په حل کولو سره نوډي بې‌ځایه کېدنه \(\boldsymbol{U}\) ټاکل کېدای شي.

اړوند موضوعات