Skip to content

خطي الاستیکیت

په دې فصل کې د خطي الاستیک موادو تشکیلي قانون (د Hooke قانون) تشریح کېږي. د ماډل د انتخاب او د ننوت د مشخصاتو لپاره د دندو برخه 03_material وګورئ.

پدیده (خطي الاستیک غبرګون)

خطي الاستیک جسم هغه ماده ده چې د بار لاندې د کوچنیو کرنشونو په ساحه کې یې تنش او کرنش خطي اړیکه لري، او د بار له لرې کېدو سره ټول کرنش بېرته خپل لومړني حالت ته ستنېږي. دا غبرګون راګرځېدونکی او له تاریخ څخه خپلواک دی. د پلاستیسیټي او کریپ پر خلاف، دا ډول ماده داخلي حالت متغیرونه، لکه پلاستیکي یا لزج کرنش، نه لري؛ نو تنش یوازې د اوسني کرنش له مخې په یکتا ډول ټاکل کېږي.

د کوچني تغییرشکل په ساحه کې د Cauchy تنش \(\boldsymbol{\sigma}\) او کوچنی کرنش \(\boldsymbol{\varepsilon}\) کارول کېږي. د محدود تغییرشکل په ساحه کې، چې لوی دوران پکې شته خو کرنش پخپله کوچنی وي، د دویم Piola-Kirchhoff تنش \(\boldsymbol{S}\) او Green-Lagrange کرنش \(\boldsymbol{E}\) کارول کېږي (St.Venant-Kirchhoff ماده).

تشکیلي قانون

همسان‌خواصه خطي الاستیک جسم

د کوچني تغییرشکل په ساحه کې د همسان‌خواصه Hooke قانون د Lamé ثابتونو \(\lambda, \mu\) په کارولو داسې لیکل کېږي:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

په مؤلفوي بڼه:

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

او له کرنش سره د دوه‌ګوني انقباض له لارې \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\) ترلاسه کېږي. د Lamé ثابتونه له Young مودول \(E\) او Poisson نسبت \(\nu\) سره لاندې اړیکه لري:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

په Voigt نښان‌لیک کې د کرنش ویکتور \(\hat{\varepsilon}\) او تنش ویکتور \(\hat{\sigma}\) اړیکه د \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) په توګه لیکل کېږي، او درې‌بعدي مادي ماتریس \(D\) داسې دی:

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

په تطبیق کې همدا ماتریسي بڼه کارول کېږي.

متعامد ناهمسان‌خواصه خطي الاستیک جسم

په هغو موادو کې چې د اصلي محورونو په لورو کې یې الاستیک ثابتونه توپیر لري، د نهو خپلواکو ثابتونو لرونکی متعامد ناهمسان‌خواصه ماډل کارول کېږي: د اصلي محورونو Young مودولونه \(E_1, E_2, E_3\)، د اصلي محورونو ترمنځ Poisson نسبتونه \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\)، او د برش الاستیک مودولونه \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). د \(D\) ماتریس تفصیلي بڼه په عمومي مراجعو کې موندل کېږي.

د محدود تغییرشکل ساحه: St.Venant-Kirchhoff ماده

په هغو مسئلو کې چې لوی دوران لري خو کرنش پخپله کوچنی وي، St.Venant-Kirchhoff ماده د دویم Piola-Kirchhoff تنش \(\boldsymbol{S}\) او Green-Lagrange کرنش \(\boldsymbol{E}\) ترمنځ د خطي الاستیک قانون په توګه کارول کېږي:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

د Lamé ثابتونو \(\lambda, \mu\) تعریف د کوچني تغییرشکل د حالت په شان دی. خو د تنش او کرنش د کارېدونکو تعریفونو جوړه توپیر لري، نو دا باید د کوچني تغییرشکل له Hooke قانون څخه جلا تشکیلي قانون وګڼل شي.

هایپو‌الاستیک ماده

په Updated Lagrange میتود کې داسې هایپو‌الاستیک ماده کارول کېږي چې د نسبي Kirchhoff تنش ټېنسور د Jaumann نرخ \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) او د تغییرشکل د نرخ ټېنسور \(\boldsymbol{D}\) ترمنځ لاندې خطي الاستیک قانون مني:

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

دلته هم د \(\boldsymbol{C}\) تعریف د Lamé ثابتونو له مخې د پورته تعریف په شان دی، خو د تنش او کرنش د کمیتونو جوړه توپیر لري، نو دا هم جلا تشکیلي قانون دی. د وخت انتګرال د کړنلارې، یعنې د مخامخ Euler انتګرال او مرکزي تفاضل نږدې‌والي، له مخې د \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) د تنش د نوي کولو تفصیل په tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex کې وګورئ.

دوه‌بعدي تحلیل او شیل عناصرو ته ساده‌کول

مستوي تنش (\(\sigma_{33} = 0\))

د نریو تختو او شیلونو د بار حالت لپاره په مستوي تنش کې \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) فرض کېږي، او د له‌مخې‌بهر کرنش مؤلفه \(\varepsilon_{33}\) په تحلیلي ډول حذف کېږي. د همسان‌خواصه مادې کم‌شوی \(D\) داسې دی:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

مستوي کرنش (\(\varepsilon_{33} = 0\))

د هغو اوږدو جوړښتونو د مقطعې لپاره چې د ضخامت په لوري مقید وي، په مستوي کرنش کې \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\) فرض کېږي:

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

محوري تقارن

په استوانه‌يي مختصاتو \((r, \theta, z)\) کې، د \(\theta\) په لوري یوشان مسئلو لپاره محوري‌متقارن تحلیل څلور مؤلفې \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) او \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) ساتي، او:

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

ترلاسه کېږي.

شیل عنصر (مستوي تنش + عرضي برش)

په شیل عناصرو کې دنننی تنش د مستوي تنش په توګه چلند کېږي، او د عرضي برشي کرنش مؤلفو \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) لپاره د برش د تصحیح ضریب \(\kappa\) (عموماً \(\kappa = 5/6\)) ورزیاتېږي او \(\kappa\, G\) کارول کېږي. د هر عنصر تفصیلي فورمول‌بندي په د لوړ-فعالیت عنصر فورمول‌بندي کې وګورئ. په دندو برخه 03_material کې دا مشخصه چې «شیل عناصر یوازې خطي الاستیکیت ملاتړ کوي» د همدې ساده‌کولو پر بنسټ ده چې دنننی حالت د مستوي تنش په توګه چلند کېږي.

د تودوخې وابستګي

Young مودول \(E\)، Poisson نسبت \(\nu\) او د خطي حرارتي انبساط ضریب \(\alpha\) عموماً د تودوخې \(T\) دندو په توګه ټاکل کېږي. په FrontISTR کې د محدود شمېر تودوخې نقطو \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\) لپاره ارزښتونه ننوتل کېږي، او د محاسبې د تودوخې \(T\) ارزښت د نږدې دوو نقطو ترمنځ په خطي انټرپولېشن ارزول کېږي. د ټاکلي حد څخه بهر تودوخې، یعنې \(T < T_1\) یا \(T > T_n\)، د تر ټولو نږدې پای نقطې \(T_1\) یا \(T_n\) په ثابت ارزښت سره اکسټرپولېټ کېږي.

د حرارتي او د تودوخې لېږد خواصو، لکه کثافت، ځانګړې تودوخه او حرارتي رسانایي، د تودوخې وابستګي لپاره حرارتي ځانګړنې وګورئ. د انټرپولېشن قاعده له دغو خواصو سره هم ګډه ده.

اړوند موضوعات