Skip to content

د شکل دندې او محدود عنصر نږدې‌والی

د د مجازي کار اصل کمزورې بڼې د کمپیوټري حل لپاره، د جسم ساحه په محدود شمېر عناصرو وېشل کېږي، او د عنصر دننه د مادي نقطې مختصات، بې‌ځایه‌کېدل او ازمایښتي دنده د نوډي ارزښتونو او شکل دندو په وسیله انټرپولېټ کېږي. د شکل دندو فضایي مشتق په د شکل دندو فضایي مشتق، د کمزورې بڼې ډسکریټ کول په د داخلي ځواک د مجازی کار ډسکریټ کول، او د هر عنصر ډول لپاره د شکل دندو مشخصې بڼې له د عنصر شمېرې سیستم او د شکل دندو کتابتون څخه وروسته تشریح کېږي.

د ساحې وېش او د انتګرال د عناصرو مجموعه

د مرجع ترتیب ساحه \(\Omega_0\) او د اوسني ترتیب ساحه \(\Omega\) په ترتیب سره د عناصرو \(\Omega^e_0\) او \(\Omega^e\) د اتحاد په وسیله نږدې کېږي:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

دلته \(e\) د عنصر شمېره ده او د عنصر سرحدونه د ګاونډیو عناصرو ترمنځ ګډ دي. په دې توګه د د مجازي کار اصل حجمي او سطحي انتګرالونه د هر عنصر د انتګرالونو په مجموعه وېشل کېږي:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

د اوسني ترتیب لپاره هم په همدې ډول \(dV \to dv\)، \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) او \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\) بدلېږي. له دې وروسته د کمزورې بڼې ارزونه د هر عنصر د انتګرال جوړولو مسئلې ته راکمېږي.

د نوډي ارزښتونو او شکل دندو په وسیله انټرپولېشن (ایزوپارامتریک عنصر)

هر عنصر \(\Omega^e_0\) ته \(n_e\) نوډونه ټاکل کېږي. د عنصر د نوډ \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) د مرجع ترتیب مختصات او نوډي بې‌ځایه‌کېدل په ترتیب سره \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) وبولو. د دغو ارزښتونو په ترتیبولو جوړ شوي د عنصر نوډي ویکتورونه \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) او \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) د ټولو نوډونو له ویکتورونو \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) څخه ــ چې \(n_g\) د ټولو نوډونو شمېر دی ــ یوازې د عنصر \(e\) اړوند نوډي مؤلفې رااخلي.

د عنصر د محلي مختصاتو، یعنې طبیعي مختصاتو \(\boldsymbol{r}\)، تابع د شکل دنده \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) کارول کېږي تر څو د عنصر دننه مادي مختصات، بې‌ځایه‌کېدل او ازمایښتي دنده په یوه ګډه شکل دنده انټرپولېټ شي (ایزوپارامتریک عنصر او Galerkin میتود):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

د شکل دندې داسې جوړېږي چې لاندې دوه خاصیتونه پوره کړي، او د طبیعي مختصاتو څخه مادي مختصاتو ته نګاشت \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) د عنصر دننه یو-پر-یو وي:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

دلته \(\boldsymbol{r}_\alpha\) هغه طبیعي مختصاتي نقطه ده چې له نوډ \(\alpha\) سره سمون لري، او \(\delta_{\alpha\beta}\) د Kronecker ډیلټا ده. لومړۍ معادله د صلب جسم د انتقال د بیا تولید وړتیا تضمینوي، او دویمه دا تضمینوي چې انټرپولېټ شوی ارزښت په نوډ کې د هماغه نوډ له ارزښت سره برابر وي. د هر عنصر ډول لپاره د \(n_e\) او \(N_\alpha^e\) مشخصې بڼې له د عنصر شمېرې سیستم او د شکل دندو کتابتون څخه وروسته ښودل کېږي. د نښانونو د پېچلتیا د کمولو لپاره، د عنصر پر ډول وابستګي د هر عنصر په پورته شاخص \(e\) سره ښودل کېږي.

د پورته انټرپولېشن قاعدې له مخې د کمزورې بڼې د انتګرال دننه عبارت یوازې د عنصر په نوډي ارزښتونو \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) او \(N_\alpha^e\) سره څرګندېدای شي. برعکس، کرنش له انټرپولېټ شوي بې‌ځایه‌کېدو او د کرنش-بې‌ځایه‌کېدو اړیکې څخه، او تنش له هماغه کرنش او مادي تشکیلي قانون څخه ترلاسه کېږي؛ دا کمیتونه مستقیماً له نوډي ارزښتونو څخه نه انټرپولېټ کېږي. دوی د عنصر په انتګرال نقطو کې ارزول کېږي (عددي انتګرال‌ګیري).

د ټولو نوډونو د ویکتور د ترتیب قاعده

هغه فزیکي کمیتونه چې نوډونو ته ټاکل کېږي، د ټولو نوډونو په ویکتور کې د نوډ شمېره → د آزادۍ درجه په لوړېدونکي ترتیب ایښودل کېږي. که د نوډ \(\alpha\) د آزادۍ درجې \(i\) مؤلفه \(u_{i\alpha}\) وي، په درې‌بعدي (\(i=1,2,3\)) او دوه‌بعدي (\(i=1,2\)) حالتونو کې په ترتیب سره:

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

ترلاسه کېږي. مختصات \(\boldsymbol{X}^n\) او ازمایښتي دنده \(\delta\boldsymbol{u}^n\) هم همدا ترتیب تعقیبوي. له دې وروسته د ماتریس او ویکتور په بڼه معادلې د درې‌بعدي حالت په استازیتوب لیکل کېږي.

اړوند موضوعات