Skip to content

د شکل دندو فضایي مشتق

په د شکل دندې او محدود عنصر نږدې‌والی کې معرفي شوې شکل دنده \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) د عنصر د محلي، یعنې طبیعي مختصاتو \(\boldsymbol{r}\) تابع ده. خو د کمزورې بڼې په انتګرال کې د کرنش-بې‌ځایه‌کېدو اړیکې له لارې د فزیکي مختصاتو، یعنې د مرجع ترتیب \(\boldsymbol{X}\) یا اوسني ترتیب \(\boldsymbol{x}\)، په نسبت جزوي مشتقونه \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) یا \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\) راځي. په دې فصل کې د شکل دندو دغه فضایي مشتقونه له عنصر نوډي مختصاتو او طبیعي مختصاتي مشتقونو څخه د محاسبې په کړنلاره کې تنظیم شوي دي.

د زنځیري قانون له مخې د فضایي مشتق بیان

د انټرپولېشن \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (مخکینی فصل) تر فرض لاندې، د زنځیري قانون په کارولو او د طبیعي څخه فزیکي مختصاتو ته د نګاشت یاکوبین ماتریس \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) په تعریف سره:

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

ترلاسه کېږي. دلته \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) او \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) دواړه داسې ماتریسونه دي چې قطار \(\alpha\) یې د نوډ \(\alpha\) د جزوي مشتق ویکتور ښيي او اندازه یې \(n_e \times 3\) ده.

د یاکوبین ماتریس جوړول

که د انټرپولېشن معادله د \(\boldsymbol{r}\) په نسبت جزوي مشتق شي:

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

ترلاسه کېږي. نو یاکوبین ماتریس مستقیماً د عنصر نوډي مختصاتو \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) او طبیعي مختصاتي مشتق \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) څخه جوړېږي. طبیعي مختصاتي مشتق د شکل دندې له ریاضي بڼې ټاکل کېږي او د هر عنصر ډول لپاره مخکې تطبیق شوی وي.

د یاکوبین ماتریس ټاکونکی \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) په عددي انتګرال‌ګیري کې د حجمي عنصر د بدلون \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\) لپاره کارول کېږي. که ټاکونکی \(0\) شي، عنصر منحط شوی او محاسبه ناکامېږي.

د محاسبې بهیر

له پورته استخراج څخه، د فضایي مشتق \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) محاسبه په څلورو پړاوونو وېشل کېږي.

  1. د طبیعي مختصاتي مشتق محاسبه: د عنصر ډول او د ارزونې نقطې طبیعي مختصات \(\boldsymbol{r}\) په ننوت کې واخلئ او \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) محاسبه کړئ. ځکه د شکل دندې بڼه د عنصر له ډول سره بدلېږي، دلته د عنصر ډول له مخې څانګه کېږي.
  2. د یاکوبین ماتریس محاسبه: د عنصر نوډي مختصاتو \(\boldsymbol{X}^e\) او \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) څخه د مخکینۍ برخې په معادله یاکوبین ماتریس \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) جوړ کړئ.
  3. د معکوس ماتریس او ټاکونکي محاسبه: د یاکوبین معکوس \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) او ټاکونکی محاسبه کړئ. ټاکونکی د عددي انتګرال په وزن کې کارول کېږي.
  4. د فضایي مشتق محاسبه: \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) د \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) سره ضرب کړئ څو \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) ترلاسه شي.

دا څلور پړاوونه د عنصر ډول او فضایي بعد، یعنې دوه یا درې بعد، له مخې څانګې لري، خو عمومي بهیر یو شان دی.

د مرجع او اوسني ترتیب لپاره ګډه کړنلاره

پورته کړنلاره یوازې د \(\boldsymbol{X}^e\) پر ځای د اوسني ترتیب نوډي مختصاتو \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) په کارولو سره د اوسني ترتیب فضایي مشتق \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) ته هم پلي کېږي. نو د Total Lagrange او Updated Lagrange میتودونو لپاره همدا یوه کړنلاره کارول کېدای شي؛ یوازې د ننوت نوډي مختصات بدلېږي.

اړوند موضوعات