Skip to content

د داخلي ځواک د مجازی کار ډسکریټ کول

د وخت \(t + \Delta t\) د مجازی کار معادله چې په د افزایشي تحلیل چوکاټ کې ښودل شوې، د مرجع ترتیب د انتخاب له مخې په Updated Lagrange او Total Lagrange دوو فورمول‌بندیو وېشل کېږي. په دې فصل کې، د د شکل دندې او محدود عنصر نږدې‌والی او د شکل دندو فضایي مشتق کې معرفي شوی محدود عنصر نږدې‌والی کاروو، د دواړو فورمول‌بندیو د داخلي ځواک مجازی کار فضایي ډسکریټ کوو، او د عنصر داخلي ځواک ویکتور \(\boldsymbol{q}^e\) د UL میتود لپاره او \(\boldsymbol{Q}^e\) د TL میتود لپاره ترلاسه کوو.

د عنصر \(e\) د نوډ \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) بې‌ځایه‌کېدل \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\) وبولو، او د عنصر د نوډي بې‌ځایه‌کېدو ویکتور د \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) په توګه ترتیب کړو. مجازی بې‌ځایه‌کېدل \(\delta \boldsymbol{u}^e\) هم په همدې ترتیب تعریفېږي. د عنصر دننه بې‌ځایه‌کېدل د شکل دندو په وسیله د \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\) په توګه انټرپولېټ کېږي.

د Updated Lagrange میتود د داخلي ځواک مجازی کار

په Updated Lagrange میتود کې د وخت \(t\) اوسنی ترتیب \({}^{t}\Omega\) د مرجع ترتیب په توګه اخلو، او د Cauchy تنش \(\boldsymbol{\sigma}\) او د Almansi کرنش د خطي برخې \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) په وسیله د داخلي ځواک مجازی کار داسې لیکو:

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

د \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) هره مؤلفه د شکل دندې د اوسني ترتیب مختصاتو \(\boldsymbol{x}\) په نسبت مشتق \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) او د نوډ مجازی بې‌ځایه‌کېدو \(\delta u^e_{i\alpha}\) خطي ترکیب دی. په Voigt نښان‌لیک کې:

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

لیکل کېږي. د نوډ بلاک \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) کې \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) د Voigt قاعدې له مخې ترتیب شوی او دا یو \(6 \times 3\) ماتریس دی؛ \(\boldsymbol{B}_L\) د UL میتود د کرنش-بې‌ځایه‌کېدو اړیکې ماتریس دی. که دا د داخلي ځواک په مجازی کار کې ځای پر ځای او \(\delta \boldsymbol{u}^e\) جلا شي:

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

ترلاسه کېږي. د \(\boldsymbol{q}^e\) نوډي بلاک \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) هغه داخلي ځواک دی چې د عنصر \(\Omega^e\) پر نوډ \(\alpha\) عمل کوي.

د Total Lagrange میتود د داخلي ځواک مجازی کار

په Total Lagrange میتود کې لومړنی ترتیب \(\Omega_0\) د مرجع ترتیب په توګه اخلو، او د دویم Piola-Kirchhoff تنش \(\boldsymbol{S}\) او Green-Lagrange کرنش \(\boldsymbol{E}\) په وسیله:

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

لیکل کېږي. \(\delta \boldsymbol{E}\) په یوه خطي عبارت، چې د مجازی بې‌ځایه‌کېدو په نسبت خطي دی، او یوه غیرخطي عبارت وېشل کېږي چې د اوسني بې‌ځایه‌کېدو ګرادیان \(\partial u_k/\partial X_j\) سره حاصل‌ضرب لري:

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

خطي عبارت د UL میتود د ترتیب هماغه قاعده پر \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) پلي کوي او د نوډي بلاک \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) په وسیله لیکل کېږي:

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

یوازې د مرجع ترتیب د توپیر له امله مؤلفې له \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) څخه \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) ته بدلېږي، خو نښه له UL میتود سره ګډه کارول کېږي. غیرخطي عبارت د اوسني بې‌ځایه‌کېدو ګرادیان \(\partial u_k/\partial X_j\) او \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) حاصل‌ضربونه د Voigt قاعدې له مخې په نوډي بلاک \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\) کې ترتیبوي:

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

نو \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\) ترلاسه کېږي، او \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) د TL میتود د کرنش-بې‌ځایه‌کېدو اړیکې ماتریس دی. که دا د داخلي ځواک په مجازی کار کې ځای پر ځای شي:

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

ترلاسه کېږي. د نوډي بلاک \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) هغه داخلي ځواک دی چې د عنصر \(\Omega^e_0\) پر نوډ \(\alpha\) عمل کوي.

د UL/TL اړیکه او د محاسبې بهیر

د Updated Lagrange او Total Lagrange د عنصر داخلي ځواک ویکتورونه لاندې اړیکه لري.

توکی Updated Lagrange میتود Total Lagrange میتود
مرجع ترتیب اوسنی ترتیب \({}^{t}\Omega^e\) لومړنی ترتیب \(\Omega^e_0\)
د تنش ټېنسور Cauchy تنش \(\boldsymbol{\sigma}\) د دویم PK تنش \(\boldsymbol{S}\)
د کرنش تغیر \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B ماتریس \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\)، \(\partial u/\partial X\))
د عنصر داخلي ځواک \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

دواړه په یوه ګډه کړنلاره اداره کېدای شي: د شکل دندو له فضایي مشتق څخه \(\boldsymbol{B}_L\) جوړول؛ په TL میتود کې د اوسني بې‌ځایه‌کېدو له ګرادیان څخه \(\boldsymbol{B}_{NL}\) جوړ او ورزیاتول؛ د تشکیلي قانون له مخې تنش، یعنې \(\boldsymbol{\sigma}\) یا \(\boldsymbol{S}\)، تازه کول؛ او په انتګرال نقطو کې \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) یا \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) پر عنصر ساحه عددي انتګرال کول (عددي انتګرال‌ګیري). پرته له دې چې مرجع ترتیب، نوډي مختصات او د \(\boldsymbol{B}\) جوړښت بدل شي او د تنش ټېنسور بدل شي، پاتې چوکاټ ګډ دی؛ نو FrontISTR د دواړو میتودونو د داخلي ځواک محاسبه په ګډو فرعي‌روټینونو کې پلي کولای شي. د عنصر داخلي ځواک ویکتورونو \(\boldsymbol{q}^e\) او \(\boldsymbol{Q}^e\) څخه ټولیز داخلي ځواک ته اسمبل په د بهرني ځواک مجازی کار او د ټولیزې معادلې اسمبل کې تشریح شوی.

اړوند موضوعات