Skip to content

د بهرني ځواک مجازی کار او د ټولیزې معادلې اسمبل

په د داخلي ځواک د مجازی کار ډسکریټ کول کې د کمزورې بڼې چپ لاس د عنصر د داخلي ځواک ویکتور \(\boldsymbol{q}^e\) (UL میتود) یا \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL میتود) ته راټول شو. په دې فصل کې د بهرني ځواک له مجازی کار څخه د عنصر د نوډي بهرني ځواک ویکتور \(\boldsymbol{F}^e\) معرفي کېږي. بیا د عنصر نوډي فزیکي کمیتونه د ټولیزو نوډ شمیرو له مخې بیا مرتب او اسمبل کېږي، او په پای کې هغه غیرخطي معادلو سیستم ترلاسه کېږي چې FrontISTR یې د غیرخطي جوړښتي تحلیل پر مهال د نوډي بې‌ځایه‌کېدو لپاره حل کوي.

د بهرني ځواک د مجازی کار عنصري وېش

د د مجازي کار اصل ښی لاس د حجمي ځواک (جسمي ځواک) او په میخانیکي سرحد کې د ټاکل شوي سطحي ځواک له بهرني مجازی کار څخه جوړ دی، او د هر عنصر له مخې وېشل کېدای شي. په د شکل دندې او محدود عنصر نږدې‌والی کې د بې‌ځایه‌کېدو انټرپولېشن د ماتریس په بڼه لیکلو لپاره، د نوډ \(\alpha\) د شکل دنده \(N_\alpha^e\) په قطري ډول په \(d \times d\) بلاک \(\boldsymbol{N}_\alpha\) کې ایښودل کېږي، او دا بلاکونه په افقي ډول د \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) په توګه ترتیبېږي، څو \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) وي. که دا د مرجع ترتیب په بهرني مجازی کار کې ځای پر ځای شي:

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

ترلاسه کېږي. دلته د عنصر نوډي بهرني ځواک ویکتور د \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) په توګه ترتیب شوی. په دې توګه د بهرني ځواک مجازی کار د داخلي ځواک د برخې په شان د «عنصر نوډي ویکتور × ازمایښتي دنده» بڼه اخلي. که په اوسني ترتیب کې ولیکل شي، د \(dV \to dv\)، \(\rho_0 \to \rho\) او \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\) په بدلون همدا بڼه پاتې کېږي.

د عنصر نوډي فزیکي کمیتونو اسمبل

د هر عنصر نوډي کمیتونه \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) د ټولیزو نوډ شمیرو له مخې په ټولیز ویکتور کې راټولېږي. که د عنصر \(\Omega^e\) د داخلي نوډ شمېرې \(\alpha\) ته اړونده ټولیزه نوډ شمېره داسې وښودل شي:

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

نو د عنصر نوډي کمیت د ټولیز نوډي کمیت له اړوندې مؤلفې سره برابر وي، لکه \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\). ځکه نوډ \(i_g\) عموماً د څو عناصرو ترمنځ ګډ وي، د ټولیزې نوډ شمېرې \(i_g\) لپاره د هغو \((e, \alpha)\) جوړو مجموعه داسې تعریفوو:

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

او که \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\) ولیکل شي، د ټولو \(n_g\) نوډونو لپاره نوډي داخلي ځواک او ټولیز داخلي ځواک ویکتور داسې ترلاسه کېږي:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

\(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) په نوډ \(i_g\) کې د عنصر نوډي داخلي ځواکونو محصله ده؛ که بهرنی ځواک نه وي او تعادل موجود وي، ارزښت یې \(\boldsymbol{0}\) وي. په UL میتود کې هم په همدې کړنلاره \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\) ترلاسه کېږي. ځکه د ارزښت له مخې \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\) دي، له دې وروسته، پرته له هغو ځایونو چې توپیر اړین وي، \(\boldsymbol{Q}\) کارول کېږي. ټولیز بهرني ځواک ویکتور \(\boldsymbol{F}\) هم په همدې راټولونه ترلاسه کېږي.

په تطبیق کې \(\mathcal{E}(i_g)\) صریح نه جوړېږي؛ پر ځای یې د عنصر په لوپ کې اړوندې مؤلفې ته ارزښت ورزیاتېږي.

ټولیز داخلي ځواک ویکتور Q په 0 پیل کړئ: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (د عناصرو شمېر)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

ټولیز بهرني ځواک ویکتور \(\boldsymbol{F}\) هم په همدې کړنلاره جوړېږي. دې عمل ته، چې د عنصر نوډي فزیکي کمیتونه د ټولیزو نوډ شمیرو له مخې نمبر شوي ویکتور یا ماتریس ته زیات او پکې زیرمه کوي، اسمبل (assemble) ویل کېږي. د دوو نوډ شمیرو د دویم‌رتبې ټېنسور، لکه د کلکوالي ماتریس، لپاره مجموعه \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) کارول کېږي او ورته اسمبل ترلاسه کېږي. د مشخص جوړښت لپاره مماسي سختۍ ماتریس وګورئ.

هغه غیرخطي معادله چې باید حل شي

د داخلي او بهرني ځواک اسمبل شوې پایلې په د مجازي کار اصل کې ځای پر ځای کېږي. ځکه اړیکه د هر هغه ازمایښتي تابع \(\delta\boldsymbol{u}^n\) لپاره باید صدق وکړي چې هندسي سرحدي شرطونه پوره کوي:

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

ترلاسه کېږي. د افزایشي تحلیل (د افزایشي تحلیل چوکاټ) په متن کې د وخت شاخص \(_{n+1}\) بېرته راوړو او د ټولیز نوډي ویکتور پورته شاخص \(^n\) حذف کړو، نو حل کېدونکې معادله:

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

ده. د وخت \(t_{n+1}\) نوډي بې‌ځایه‌کېدل \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) د موندلو ډسکریټ شوې سرحدي مسئله په دې راکمېږي چې دغه غیرخطي معادله د هندسي سرحدي شرطونو سره حل شي. د معادلې خطي‌کول او د مماسي سختۍ ماتریس جوړښت په مماسي سختۍ ماتریس، او تکراري حل په د Newton-Raphson میتود کې تشریح شوی.

اړوند موضوعات