عددي انتګرال‌ګیري¶

په د داخلي ځواک د مجازی کار ډسکریټ کول او د بهرني ځواک مجازی کار او د ټولیزې معادلې اسمبل کې ترلاسه شوي د عنصر داخلي ځواک ویکتورونه \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) او د عنصر د سختۍ ماتریس \(\boldsymbol{K}^e\) د عنصر پر ساحه \(\Omega^e\) یا \(\Omega^e_0\) د انتګرالونو په بڼه وي. FrontISTR دا انتګرالونه د Gauss د انتګرال‌ګیرۍ د فورمولونو په وسیله عددي ارزوي.

د Gauss د انتګرال‌ګیرۍ فورمول او د متغیر بدلون¶

د Gauss د انتګرال‌ګیرۍ فورمول د معیاري ساحې \(\Xi\) پر سر انتګرال، د انتګرال په نقطو \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) کې د انتګرال کېدونکې تابع د ارزښتونو او وزنونو \(w_i\) په خطي مجموعې سره نږدې کوي. د عنصر پر ساحه \(\Omega^e\) د دې فورمول کارول د نګاشت \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\) له لارې د متغیر بدلون غواړي، او

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

لیکل کېدای شي. \(n_q\) د انتګرال نقطو شمېر دی او \(J_{\xi_i}\) د بدلون د Jacobian ټاکونکی دی. معیاري ساحه \(\Xi\) د عنصر د ډول له مخې ټاکل کېږي (د شپږمخیز عنصر لپاره \([-1,1]^3\)، او د مثلث، څلورمخیز او منشوري عنصر لپاره اړوند مرجع شکلونه)، او د انتګرال نقطې \(\boldsymbol{\xi}_i\) او وزنونه \(w_i\) په عددي جدولونو کې ورکول کېږي. سطحي انتګرالونه هم د عنصر د سطحې له 2‌بعدي معیاري ساحې څخه د نګاشت له لارې په همدې بڼه محاسبه کېږي.

لاندې د FrontISTR عام د انتګرال نقطو شمېرونه ښودل شوي دي (له عنصر ډولونو سره د اړیکې لپاره د عنصر شمېرې سیستم او د شکل دندو کتابتون وګورئ).

د عنصر ډول	د انتګرال‌ګیرۍ فورمول	د انتګرال نقطو شمېر
4-نوډه څلورمخیز (`tet4n`)	1-نقطه‌ییز فورمول	1
10-نوډه څلورمخیز (`tet10n`)	4-نقطه‌ییز فورمول	4
6-نوډه مثلثي منشور (`prism6n`)	2-نقطه‌ییز فورمول	2
15-نوډه مثلثي منشور (`prism15n`)	9-نقطه‌ییز فورمول	9
8-نوډه شپږمخیز (`hex8n`)	2×2×2 Gauss-Legendre	8
20-نوډه شپږمخیز (`hex20n`)	3×3×3 Gauss-Legendre	27
4-نوډه څلورضلعي (`quad4n`)	2×2 Gauss-Legendre	4
8-نوډه څلورضلعي (`quad8n`)	3×3 Gauss-Legendre	9
3-نوډه مثلث (`tri3n`)	1-نقطه‌ییز فورمول	1
6-نوډه مثلث (`tri6n`)	3-نقطه‌ییز فورمول	3

د شپږمخیز، څلورضلعي او خطي عناصرو لپاره د هر محور په لوري د Gauss-Legendre فورمولونو ټنسوري حاصل کارول کېږي. مثلثي، څلورمخیز او مثلثي منشوري عناصر د سیمپلېکس شکلونو لپاره ځانګړي فورمولونه کاروي، یعنې داسې نقطه‌يي ترتیبونه چې په مرجع شکل کې پولینوم په دقیق ډول انتګرال کوي.

د عنصر انتګرال ته تطبیق¶

د عنصر په انتګرال کې طبیعي مختصات \(\boldsymbol{r}\) د معیاري ساحې د مختصاتو په توګه کارول کېږي (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\))، او فزیکي مختصاتو ته نګاشت د شکل‌تابعو په وسیله د نوډي مختصاتو له منځګړیتوب څخه ترلاسه کېږي. د مرجع ترتیب د انتخاب (د افزایشي تحلیل چوکاټ) له مخې لاندې توپیر کارول کېږي.

بشپړ لاګرېنجین میتود (په مرجع ترتیب \(\Omega^e_0\) کې انتګرال): نګاشت او Jacobian په لاندې ډول دي

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

او د عنصر داخلي ځواک او د سختۍ ماتریس په لاندې ډول نږدې کېږي

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

\(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) ټول د انتګرال په نقطه \(\boldsymbol{r}_i\) کې ارزول کېږي.

تازه شوی لاګرېنجین میتود (په اوسني ترتیب \(\Omega^e\) کې انتګرال): نګاشت او Jacobian په لاندې ډول دي

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

او

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

په دې ډول نږدې کېږي.

د دواړو فورمول‌بندیو یوازینی توپیر دا دی چې د نګاشت د ننوتلو نوډي مختصات \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) دي که \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\)؛ د انتګرال نقطې، وزنونه او د انتګرال د نقطو د تکراري کړۍ جوړښت ګډ دی.

بشپړه انتګرال‌ګیري او کمه انتګرال‌ګیري¶

هغه انتګرال‌ګیري چې دومره د انتګرال نقطې کاروي چې د انتګرال کېدونکې تابع د پولینوم درجه په دقیق ډول انتګرال کړي، بشپړه انتګرال‌ګیري بلل کېږي؛ او هغه چې تر دې یوه درجه لږې د انتګرال نقطې کاروي، کمه انتګرال‌ګیري بلل کېږي. کمه انتګرال‌ګیري د برشي او حجمي قفل کېدل د کمولو لپاره کارول کېږي، خو د آورګلاس مودونو په څېر کاذبو بدشکلۍ مودونو لپاره کنټرول غواړي. د هر عنصر ډول لپاره د انتګرال نقطو شمېر او د بشپړې/کمې انتګرال‌ګیرۍ انتخاب په د عنصر شمېرې سیستم او د شکل دندو کتابتون او د لوړ-فعالیت عنصر فورمول‌بندي کې تشریح کېږي.

اړوند موضوعات¶

د شکل دندو فضایي مشتق — د Jacobian محاسبه
د داخلي ځواک د مجازی کار ډسکریټ کول — د عددي انتګرال‌ګیرۍ هدف
د لوړ-فعالیت عنصر فورمول‌بندي — د کمې انتګرال‌ګیرۍ کارونه