Skip to content

د درې‌بعدي جامدو عناصرو د شکل دندې

په د شکل دندې او محدود عنصر نږدې‌والی کې معرفي شوې د شکل دنده \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) دلته د هغو درې‌بعدي جامدو عناصرو لپاره تشریح کېږي چې FrontISTR یې په پیوسته‌جسم تحلیل کې کاروي. په دې فصل کې شپږ ډولونه شامل دي: د څلورمخیز لومړۍ/دویمې درجې عناصر (341 او 342)، د مثلثي منشور لومړۍ/دویمې درجې عناصر (351 او 352)، او د شپږمخیز لومړۍ/دویمې درجې عناصر (361 او 362). د HEC-MW مېش په بڼه کې د نوډونو ترتیب او د مخونو شمېرې لپاره د دندو په مرجع کې د عناصرو کتابتون وګورئ.

د دغو شکل دندو او د یاکوبین له ټاکونکي څخه د عنصر انتګرال د جوړولو کړنلاره په عددي انتګرال‌ګیري کې بیان شوې ده. د 361 لپاره B-bar، F-bar او ناسازګار فورمول‌بندي، او همدارنګه د بیم او شیل عناصرو د شکل دندې په د لوړ-فعالیت عنصر فورمول‌بندي کې تشریح شوي دي.

طبیعي مختصات او د داخلي نوډونو ترتیب

د شکل دندې د هر عنصر په طبیعي مختصاتو \(\boldsymbol{r}\) کې تعریفېږي. د درې‌بعدي جامدو عناصرو لپاره، د عنصر د هندسې له مخې لاندې درې ډوله طبیعي مختصاتي سیستمونه کارول کېږي.

  • شپږمخیز (361 او 362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\)، \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • څلورمخیز (341 او 342): حجمي مختصات \((L_1, L_2, L_3, L_4)\)، \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\)، \(L_i \ge 0\). د خپلواکو متغیرونو په توګه \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) اخلو، او \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\) ټاکو.
  • مثلثي منشور (351 او 352): د لاندې مثلث حجمي مختصات \((\xi, \eta)\)، چې \(0 \le \xi, \eta\) او \(\xi + \eta \le 1\) دي، له محوري مختصات \(\zeta \in [-1, 1]\) سره یوځای کېږي او \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) جوړوي. مرستندویه مقدار \(a = 1 - \xi - \eta\) د لاندې مخ د درېیم حجمي مختصات په توګه کارول کېږي.

په لومړۍ درجه عناصرو کې د عنصر د نوډونو شمېرې د HEC-MW د ننوت بڼې او د FrontISTR د داخلي بڼې ترمنځ یو شان دي. په دویمه درجه عناصرو کې د څنډو د منځنیو نوډونو د ترتیب قاعده په دواړو بڼو کې توپیر لري. FrontISTR د ننوت لپاره د HEC-MW بڼه مني، چې لومړی کونجي نوډونه په دوراني ترتیب او بیا د 1-2، 2-3، … څنډو منځني نوډونه راځي؛ خو د عنصر د کتابتون د شکل دندو تطبیق بل داخلي ترتیب فرض کوي.

دا توپیر د مېش له لوستلو سمدستي وروسته د hecmw2fstr_mesh_conv په وسیله حل کېږي، چې د هر عنصر نوډونه بیا مرتبوي. د درې‌بعدي جامدو عناصرو له ډلې لاندې دوه ډولونه بدلېږي.

د عنصر ډول د بدلون جدول منځپانګه
342 (دویمه درجه څلورمخیز) Table342 10 نوډونه په \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\) ترتیبوي
352 (دویمه درجه مثلثي منشور) Table352 15 نوډونه په \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\) ترتیبوي

بیا ترتیبول مستقیماً په هغه ارې کې ترسره کېږي چې د عنصر د اتصال معلومات ساتي، نو له دې وروسته د عنصر کتابتون ټولې غوښتنې د FrontISTR داخلي نوډي ترتیب کاروي. د دویمې درجې شپږمخیز عنصر 362 لپاره د HEC-MW او FrontISTR داخلي منځنیو نوډونو ترتیب یو شان دی، نو د بدلون جدول نه لري. د پایلو د لیکلو پر مهال برعکس بدلون fstr2hecmw_mesh_conv اجرا کېږي او ترتیب بېرته HEC-MW بڼې ته اوړي. له همدې امله کارن د ننوت او وتون دواړو لپاره یوازې د HEC-MW بڼه په پام کې نیسي. لاندې د شکل دندو د نوډونو شمېرې د بدلون وروسته د FrontISTR داخلي بڼې شمېرې دي.

د لومړۍ درجې عناصرو د شکل دندې

د لومړۍ درجې څلورمخیز عنصر (341) د شکل دندې پخپله حجمي مختصات دي:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

د لومړۍ درجې مثلثي منشور عنصر (351) د شکل دندې د لاندې مثلث د خطي شکل دندو (\(a, \xi, \eta\)) او د محوري لوري د خطي شکل دندو (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)) حاصل‌ضرب دي:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

د لومړۍ درجې شپږمخیز عنصر (361) د شکل دندې د درې واړو محوري لورو د خطي شکل دندو ټېنسوري حاصل‌ضرب دي:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

دلته \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) د نوډ \(\alpha\) طبیعي مختصاتي ارزښتونه ښيي، چې هره مؤلفه یې \(\pm 1\) ده.

د دویمې درجې عناصرو د شکل دندې

د دویمې درجې څلورمخیز عنصر (342) د شکل دندې په څلورو کونجي نوډونو او د څنډو په شپږو منځنیو نوډونو وېشل کېږي:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

منځني نوډونه 5 تر 10 پورې په ترتیب سره د 1-2، 2-3، 1-3، 1-4، 2-4 او 3-4 څنډو له منځنیو نقطو سره سمون لري.

د دویمې درجې مثلثي منشور عنصر (352) د شکل دندې له شپږو کونجي نوډونو، د مثلثي مخونو د څنډو له شپږو منځنیو نوډونو، او د محوري څنډو له درېیو منځنیو نوډونو جوړې دي:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

منځني نوډونه 7 تر 9 د لاندې مثلث (\(\zeta = -1\)) د څنډو منځنیو نقطو سره، 10 تر 12 د پورته مثلث (\(\zeta = +1\)) د څنډو منځنیو نقطو سره، او 13 تر 15 د محوري څنډو له منځنیو نقطو سره سمون لري.

د دویمې درجې شپږمخیز عنصر (362) د Serendipity کورنۍ 20-نوډي عنصر دی. د نوډ \(\alpha\) طبیعي مختصاتي ارزښتونه \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) وبولو. د کونجي نوډونو لپاره (\(\alpha = 1, \ldots, 8\)، چې هره مؤلفه یې \(\pm 1\) ده):

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

د څنډو د منځنیو نوډونو لپاره (\(\alpha = 9, \ldots, 20\)، چې له درېیو طبیعي مختصاتو څخه یو یې \(0\) او دوه نور یې \(\pm 1\) دي)، هغه نوډ چې \(\xi_\alpha = 0\) وي، یعنې څنډه د \(\xi\) محور په لوري وي، داسې ورکول کېږي:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

د هغو منځنیو نوډونو لپاره چې څنډه یې د \(\eta\) یا \(\zeta\) محور په لوري ده، هم په همدې ډول اړوند طبیعي مختصات په مربع عبارت کې حذف کېږي.

اړوند موضوعات