حرکت، بدلون او کرنش¶

مرجع ترتیب او اوسنی ترتیب¶

د ترتیب تعریف¶

د دې لپاره چې توپیر وشي فزیکي کمیت د کوم وخت د شکل پر بنسټ تشریح کېږي، په دې لارښود کې دوه ډوله ترتیبونه کارول کېږي.

مرجع ترتیب (بنسټیز ترتیب): د تحلیل د پیل، یعنې وخت \(0\)، له تغییرشکل مخکې شکل؛ دې ته لومړنی ترتیب هم ویل کېږي. په مرجع ترتیب کې نقطه د مادي مختصاتو \(\boldsymbol{X}\) په وسیله ښودل کېږي، حجم یې \(V\) او سطحه یې \(S\) ده.
اوسنی ترتیب (اوسنی حالت): په وخت \(t\) کې له تغییرشکل وروسته شکل. په اوسني ترتیب کې نقطه د فضایي مختصاتو \(\boldsymbol{x}\) په وسیله ښودل کېږي، حجم یې \(v\) او سطحه یې \(s\) ده.

حرکت د دغو دوو ترتیبونو ترمنځ د نګاشت \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\) په توګه څرګندېږي، او بې‌ځایه‌کېدل د \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) په توګه تعریفېږي.

پر ترتیب متکي د نښو قاعده (لوی/کوچني توري)¶

د نښې د لویوالي له مخې څرګندوو چې فزیکي کمیت کوم ترتیب پورې تړاو لري.

د مرجع ترتیب کمیتونه په لویو تورو ښودل کېږي، لکه \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\).
د اوسني ترتیب کمیتونه په کوچنیو تورو ښودل کېږي، لکه \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\).
هغه کمیتونه چې پر دواړو ترتیبونو پورې تړلي وي، لکه د لومړي Piola-Kirchhoff تنش \(\boldsymbol{P}\)، د دودیزې نښې له مخې لیکل کېږي او په متن کې یې هر ځل وضاحت کېږي.
د کوچني تغییرشکل په تیورۍ کې د دواړو ترتیبونو توپیر له منځه ځي، نو یوازې کوچني توري، لکه \(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)، کارول کېږي.

د مرجع ترتیب ګرادیان او د اوسني ترتیب ګرادیان¶

فضایي مشتق د کوم ترتیب په نسبت اخیستل کېږي، د دې له مخې نښه او معنا بدلېږي.

د مرجع ترتیب ګرادیان \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): د مادي مختصاتو په نسبت ګرادیان. بېلګه: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
د اوسني ترتیب ګرادیان \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): د فضایي مختصاتو په نسبت ګرادیان. بېلګه: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

دواړه د \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) په اړیکه تړل کېږي. د وخت مشتق قاعده، یعنې مادي وختي مشتق \(\dot{(\cdot)}\)، په د ټېنسور نښه‌لیک او ریاضي بنسټونه کې وګورئ.

د حرکت بیان¶

د حرکت نګاشت او مادي/فضایي بیان¶

که پیوسته جسم په وخت \(0\) کې د موقعیت \(\boldsymbol{X}\) په نښه شویو مادي نقطو مجموعه وګڼل شي، حرکت مادي نقطه \(\boldsymbol{X}\) په وخت \(t\) کې له موقعیت \(\boldsymbol{x}\) سره د تړونکي نګاشت \(\phi\) په وسیله داسې ښودل کېږي:

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

کله چې مرجع ترتیب لومړنی ترتیب وي، \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\) دی.

د خپلواک متغیر د انتخاب له مخې دوه ډوله بیانونه شته.

مادي بیان (Lagrange بیان): فزیکي کمیت د \((\boldsymbol{X}, t)\) تابع په توګه ښيي. په جامدو میخانیک کې، ځکه مرجع ترتیب ثابت شکل دی، دا طبیعي انتخاب دی.
فضایي بیان (Euler بیان): فزیکي کمیت د \((\boldsymbol{x}, t)\) تابع په توګه ښيي. په سیالاتو میخانیک کې معیاري بیان دی.

د FrontISTR جوړښتي تحلیل اساساً پر مادي بیان ولاړ دی، خو په Updated Lagrange میتود کې اوسنی ترتیب د نوي مرجع ترتیب په توګه کارول کېږي، نو د فضایي بیان کمیتونه هم ورسره کارېږي.

بې‌ځایه‌کېدل، سرعت او تعجیل¶

بې‌ځایه‌کېدل \(\boldsymbol{u}\) د مخکینۍ برخې په شان \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) تعریفېږي. د اندازې په اړه هېڅ کوچنی‌والي فرض نه کېږي او محدود تغییرشکل هم پکې شامل دی. د سرعت او تعجیل ویکتورونه، د مادي نقطې په ثابت ساتلو سره، د \(\boldsymbol{u}\) د مادي وخت مشتق په توګه تعریفېږي:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

په دې ډول تعریفېږي.

د تغییرشکل ګرادیان او د تغییرشکل ټېنسورونه¶

د تغییرشکل ګرادیان ټېنسور¶

د محدود تغییرشکل په پیوسته‌جسم میخانیک کې بنسټیز کمیت د تغییرشکل ګرادیان ټېنسور \(\boldsymbol{F}\) دی. دا یو خطي نګاشت دی چې د مرجع ترتیب کوچنۍ کرښه \(d\boldsymbol{X}\) د اوسني ترتیب کوچنۍ کرښې \(d\boldsymbol{x}\) ته وړي، او د مادي مختصاتو په نسبت د حرکت نګاشت د ګرادیان په توګه تعریفېږي:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

یعنې \(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\). په بې‌تغییرشکله حالت کې \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\) دی. \(\boldsymbol{F}\) د کرنش او تنش په تعریف او د ترتیبونو ترمنځ د فزیکي کمیتونو په بدلون کې پراخ کارول کېږي.

د حجم د بدلون نسبت¶

د مرجع ترتیب د کوچني حجم \(dV\) او د اوسني ترتیب د کوچني حجم \(dv\) نسبت ته د حجم د بدلون نسبت \(J\) ویل کېږي:

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

د پیوسته جسم د راګرځېدنې له مخې \(J > 0\) فرض کېږي. د جرم د ساتنې قانون د \(\rho_0 = J\rho\) په توګه لیکل کېږي.

ښی او چپ Cauchy-Green د تغییرشکل ټېنسورونه¶

ځکه د تغییرشکل ګرادیان \(\boldsymbol{F}\) د صلب جسم دوران هم لري، د خالص تغییرشکل د اندازې لپاره داسې کمیتونه کارول کېږي چې صلب دوران ترې حذف شوی وي. ښی Cauchy-Green د تغییرشکل ټېنسور \(\boldsymbol{C}\) د مرجع ترتیب لپاره او چپ Cauchy-Green د تغییرشکل ټېنسور \(\boldsymbol{b}\) د اوسني ترتیب لپاره داسې تعریفېږي:

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

دواړه متقارن ټېنسورونه دي او یو شان ځانګړي ارزښتونه لري، چې د اصلي اوږدېدو نسبتونو مربع دي. د هایپرالاستیک کرنش انرژۍ د تابع اصلي نامتغیرونه د همدې ټېنسورونو په وسیله تعریفېږي.

د کرنش ټېنسورونه¶

Green-Lagrange د کرنش ټېنسور¶

د مرجع ترتیب پر بنسټ د کرنش د اندازې په توګه Green-Lagrange د کرنش ټېنسور \(\boldsymbol{E}\) داسې تعریفېږي:

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

دا متقارن ټېنسور په مرجع ترتیب کې د کوچنیو ویکتورونو د داخلي حاصل‌ضرب بدلون ښيي، د صلب دوران پر وړاندې نامتغیر دی، او په بې‌تغییرشکله حالت کې \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) وي. که \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) وکارول شي:

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

ترلاسه کېږي، چې د بې‌ځایه‌کېدو د ګرادیان د لومړۍ او دویمې درجې عبارتونو مجموعه ده؛ دویمه درجه عبارت هندسي غیرخطيتوب څرګندوي. په Total Lagrange میتود کې دا د تنش مزدوجې جوړې \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) برخه ده.

Almansi د کرنش ټېنسور¶

د اوسني ترتیب پر بنسټ د کرنش د اندازې په توګه Almansi د کرنش ټېنسور \(\boldsymbol{e}\) داسې تعریفېږي:

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

دا له Green-Lagrange کرنش سره د \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\)، یعنې پل‌بک، په اړیکه تړل کېږي.

د کوچني کرنش ټېنسور¶

کله چې د بې‌ځایه‌کېدو ګرادیان کوچنی وي (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\))، د Green-Lagrange کرنش د دویمې درجې عبارت له پامه غورځول کېدای شي. همدارنګه د دوو ترتیبونو توپیر له منځه ځي، نو په فضایي مختصاتو کې د ګرادیان په کارولو د کوچني کرنش ټېنسور \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ترلاسه کېږي:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

د FrontISTR په خطي سټاټیک تحلیل، د مودونو تحلیل، د فریکونسۍ د غبرګون تحلیل او خطي ډینامیک تحلیل کې همدا کرنش اندازه کارول کېږي. په محدود تغییرشکل تحلیل کې Total Lagrange میتود \(\boldsymbol{E}\) کاروي، او Updated Lagrange میتود د اوسني ترتیب پر بنسټ د تغییرشکل د نرخ ټېنسور \(\boldsymbol{D}\) کاروي.