Skip to content

تنش او د بقا قوانین

په دې څپرکي کې د تنش ټېنسور تعریفونه او خپلمنځي اړیکې، او همدارنګه هغه تعادل معادلې او د تنش تقارن راټولوو چې د کتلې، خطي مومنټم او زاويي مومنټم د بقا له قوانینو څخه ترلاسه کېږي. 3 ډوله تنش ټېنسورونه (Cauchy تنش \(\boldsymbol{\sigma}\)، 1م Piola-Kirchhoff تنش \(\boldsymbol{P}\)، او 2م Piola-Kirchhoff تنش \(\boldsymbol{S}\)) د دې له مخې معرفي کېږي چې د مرجع سطحې او قوې ویکتور لپاره کوم حالت کارول کېږي. د حالت، حرکت او د بدلون ګرادیان د تعریفونو لپاره حرکت، بدلون او کرنش، او د نښو د لړ لپاره د فزیکي کمیتونو د نښو لړ وګورئ.

د Cauchy تنش ټېنسور

په اوسني حالت کې د \(\boldsymbol{x}\) په نقطه کې پر یوه کوچنۍ سطحه (مساحت \(d\Gamma\) او دباندې واحد نرمال \(\boldsymbol{n}\)) واردېدونکې قوه \(d\boldsymbol{f}\) وبولو، او د سطحې د قوې ویکتور \(\boldsymbol{t}\) د واحد مساحت پر سر د قوې په توګه، یعنې \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\)، تعریف کړو. \(\boldsymbol{t}\) هم په موقعیت \(\boldsymbol{x}\) او هم په نرمال \(\boldsymbol{n}\) پورې تړاو لري. پر یوه کوچني څلوروجهی د مومنټم د بقا قانون له پلي کولو څخه \(\boldsymbol{t}\) د \(\boldsymbol{n}\) په نسبت خطي کېږي، او داسې د 2مې درجې ټېنسور \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) شته چې

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

د هر \(\boldsymbol{n}\) لپاره رښتیا وي (د Cauchy د تنش قضیه). دې ټېنسور \(\boldsymbol{\sigma}\) ته Cauchy تنش ټېنسور ویل کېږي، او ځکه چې د اوسني حالت د هندسې پر بنسټ د واحد مساحت پر سر قوه څرګندوي، حقیقي تنش هم بلل کېږي. مؤلفه \(\sigma_{ij}\) په اوسني حالت کې د \(x_j\) محور ته پر عمودي کوچنۍ سطحه د واحد مساحت پر سر د عمل کوونکې قوې \(x_i\)-مؤلفه څرګندوي.

لکه څنګه چې وروسته د زاويي مومنټم د بقا له قانون څخه څرګندېږي، Cauchy تنش یو متقارن ټېنسور دی:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

نو په 3 بعدونو کې 6 خپلواک مؤلفې (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)) لري. د Voigt په بڼه د تنش ویکتور کول پر همدې تقارن ولاړ دي؛ د ټېنسور نښه‌لیک او ریاضي بنسټونه وګورئ. Cauchy تنش په FrontISTR کې د Updated Lagrange طریقې د هندسي غیرخطي تحلیل او د کوچني بدلون تحلیل د تنش د وتۍ لپاره کارول کېږي.

1م او 2م Piola-Kirchhoff تنش

په محدود بدلون کې ډېر ځله دا اسانه وي چې تنش د مرجع حالت د سطحې او ویکتورونو له مخې څرګند شي؛ له همدې امله 2 ډوله Piola-Kirchhoff تنش ټېنسورونه معرفي کېږي. د مرجع حالت د کوچنۍ سطحې مساحت \(d\Gamma_0\) او دباندې واحد نرمال \(\boldsymbol{N}\) وبولو.

1م Piola-Kirchhoff تنش (1م PK تنش، نومي تنش) \(\boldsymbol{P}\) د داسې تنش ټېنسور په توګه تعریفېږي چې د اوسني حالت قوه \(d\boldsymbol{f}\) د مرجع حالت پر کوچنۍ سطحه واردوي:

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

د Nanson فورمول \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) او د Cauchy د تنش له قضیې څخه له Cauchy تنش سره دا اړیکه ترلاسه کېږي:

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

1م PK تنش عموماً نامتقارن ټېنسور دی.

2م Piola-Kirchhoff تنش (2م PK تنش) \(\boldsymbol{S}\) د داسې تنش ټېنسور په توګه تعریفېږي چې د اوسني حالت قوه \(d\boldsymbol{f}\) لومړی د \(\boldsymbol{F}^{-1}\) په وسیله مرجع حالت ته راکاږي او بیا یې د مرجع حالت پر کوچنۍ سطحه واردوي:

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

دلته هم د قوې ویکتور او هم د عمل سطحه د مرجع حالت په کمیتونو څرګندېږي؛ دا ټېنسور د صلب-جسم دوران پر وړاندې ثابت او متقارن دی. له 1م PK تنش سره اړیکه او له Cauchy تنش سره د تبدیل فورمولونه دا دي:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

2م PK تنش د هایپرالاستیک د کرنش-انرژۍ تابع \(W(\boldsymbol{C})\) څخه د \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) په توګه ترلاسه کېږي، او په Total Lagrange طریقه کې د Green-Lagrange کرنش \(\boldsymbol{E}\) سره د تنش-کار-همغږي جوړې \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) په توګه کارول کېږي.

د مرجع حالت او تقارن اړیکې په لاندې جدول کې ښودل شوي. د کوچني بدلون په حد کې (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\)، \(J \to 1\)) 3 واړه تنشونه سره یو شان کېږي.

د تنش ټېنسور مرجع سطحه د قوې ویکتور تقارن کارونه
Cauchy تنش \(\boldsymbol{\sigma}\) اوسنی حالت \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\) اوسنی حالت \(d\boldsymbol{f}\) متقارن Updated Lagrange طریقه او د کوچني بدلون تحلیل
1م PK تنش \(\boldsymbol{P}\) مرجع حالت \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) اوسنی حالت \(d\boldsymbol{f}\) عموماً نامتقارن په مرجع حالت کې د تعادل معادله
2م PK تنش \(\boldsymbol{S}\) مرجع حالت \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) مرجع حالت \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\) متقارن Total Lagrange طریقه او هایپرالاستیکیت

د کتلې او مومنټم د بقا قوانین او د تعادل معادله

که په اوسني حالت کې د کتلې کثافت \(\rho\) او په مرجع حالت کې یې کثافت \(\rho_0\) وي، نو د کتلې د بقا قانون \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\) د حجم د عنصر د تبدیل \(dv = J\, dV\) په کارولو سره دې محلي بڼې ته

\[ \rho_0 = J \rho \]

راکمېږي.

د واحد کتلې پر سر جسمي قوه \(\boldsymbol{g}\) او تعجیل \(\boldsymbol{a}\) ونیسئ. د مومنټم د بقا قانون (د Euler د حرکت 1م قانون) ته د Cauchy د تنش قضیه او د Gauss دیورجنس قضیه په پلي کولو سره، په اوسني حالت کې د تعادل معادلې (د حرکت معادلې) محلي بڼه ترلاسه کېږي:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

د Nanson فورمول او \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) په کارولو سره چې دا د مرجع حالت په انتګرال کې ولیکل شي، په مرجع حالت کې لاندې محلي بڼه ترلاسه کېږي:

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

دواړه بڼې د تنش د تبدیل قانون او \(\rho_0 = J\rho\) له مخې معادل دي. که د اینرشیا غړی له پامه وغورځول شي،

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

د ساکن تعادل معادلې ترلاسه کېږي، چې د FrontISTR د سټاټیک تحلیلونو (خطي او غیرخطي) د پیل معادلې دي.

د زاويي مومنټم د بقا قانون او د تنش تقارن

د زاويي مومنټم د بقا قانون (د Euler د حرکت 2م قانون) د مومنټم د بقا له تعادل معادلې سره یوځای کولو سره، د Cauchy تنش ټېنسور تقارن ترلاسه کېږي:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

او په 3 بعدونو کې 6 خپلواکې مؤلفې پاتې کېږي. د تبدیل فورمول \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) د دواړو خواوو ټرانسپوز او د \(\boldsymbol{F}\) غیرتکینتوب ښيي چې 2م PK تنش هم متقارن دی:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

او 6 خپلواکې مؤلفې لري. خو 1م PK تنش \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) عموماً متقارن نه دی؛ یوازې اړیکه \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (یعنې \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) متقارن دی) رښتیا وي، او 9 خپلواکې مؤلفې لري.

دغه تقارنونه د Voigt په بڼه د تنش د 6-مؤلفه ویکتور کولو بنسټ جوړوي. د Voigt د لیکدود قواعدو او مادي ماتریس د جوړښت لپاره د ټېنسور نښه‌لیک او ریاضي بنسټونه او خطي الاستیکیت وګورئ.

اړوند موضوعات