Skip to content

د مجازي کار اصل

په تنش او د بقا قوانین کې راایستل شوې د تعادل معادلې او سرحدي شرطونو پر بنسټ، د پیوستار میخانیک د سرحد-ارزښت مسئلې کمزوری فورم، یعنې د مجازي کار اصل، راایستل کېږي. د محدودو عناصرو ډسکریټ کول له همدې کمزوری فورم څخه پیلېږي. په دې څپرکي کې د اوسني ترتیب بڼه (د Cauchy تنش او د Almansi کرنش خطي برخې په وسیله) او د مرجع ترتیب بڼه (د دوهم Piola-Kirchhoff تنش او Green-Lagrange کرنش په وسیله) دواړه وړاندې کېږي، د دوی برابروالی ښودل کېږي او بیا کوچنۍ بدشکلۍ ته د راګرځېدو حالت تاییدېږي.

د تعادل معادله او سرحدي شرطونه

پر واحد جرم پر پیوستار عمل کوونکې حجمي قوه \(\boldsymbol{g}\) وټاکئ او هغه جسم په پام کې ونیسئ چې په اوسني ترتیب کې ساحه \(\Omega\) نیسي. سرحد \(\Gamma\) په داسې هندسي سرحد وېشل کېږي چې بې‌ځایه‌کېدل \(\bar{\boldsymbol{u}}\) پرې ټاکل شوي، یعنې \(\Gamma_B\)، او داسې میخانیکي سرحد چې سطحي قوه \(\bar{\boldsymbol{t}}\) پرې ټاکل شوې، یعنې \(\Gamma_t\)؛ \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) او \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). په ثابت مسئله کې د تنش او ساتنې قوانینو د خوځښت مقدار د ساتنې قانون اینرشیا جمله حذف کېږي او

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ \Omega \]

د تعادل معادله ترلاسه کېږي. سرحدي شرطونه

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

په دې ډول ورکول کېږي. له دې وروسته د مجازي کار اصل د تعادل معادلې او میخانیکي سرحدي شرط \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) د کمزوری فورم په توګه راایستل کېږي. هندسي شرط \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) د ازمېښتي تابع په انتخاب کې شاملېږي.

په اوسني ترتیب کې کمزوری فورم

په کمزوری فورم کې د نامعلوم بې‌ځایه‌کېدل مجاز فضا او د ازمایښتي تابع فضا په ترتیب سره

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]

تعریفېږي. دلته \(d\) فضایي بعد، \(H^1(\Omega)\) د Sobolev فضا ده چې تر لومړي کمزوری مشتق پورې د مربع-انتګرال وړ وي، او \(\delta\) د تغیر نښه ده. په اوسني ترتیب کې \(\Omega\) له بدشکلۍ وروسته ساحه ده؛ په عددي حل کې دا عموماً مرجع ترتیب یا معلوم منځګړی ترتیب ته بېرته راکاږنه کېږي.

که د تعادل معادله په وزن \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) ضرب او د Gauss د تباعد قضیه او میخانیکي سرحدي شرط پلي شي، د اوسني ترتیب د مجازي کار اصل داسې کېږي:

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

دلته \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) د Almansi کرنش ټېنسور خطي برخه ده،

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

تعریفېږي. تغیر یې \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\) دی. یعنې \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) داسې موندل کېږي چې د هر \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) لپاره د مجازي کار معادله پوره کړي. چپ لوری د داخلي ځواک مجازي کار او ښی لوری د ټاکلي سطحه سطحي‌قوه او حجمي قوه خارجي مجازي کار دی.

ځکه دا معادله په بدشکل شوي (اوسني) ترتیب کې لیکل شوې، عملي حل کې لومړنی ترتیب \(\Omega_0\) (مرجع ترتیب) یا معلوم منځګړی ترتیب د مرجع په توګه غوره کېږي او معادله افزایشي فورم ته اړول کېږي. د مرجع ترتیب ټاکلو (Total Lagrange / Updated Lagrange) او د زیاتون تجزیه لپاره د افزایشي تحلیل چوکاټ وګورئ.

په لومړنی ترتیب کې کمزوری فورم

هغه جسم په پام کې ونیسئ چې په مرجع ترتیب کې ساحه \(\Omega_0\) نیسي او سرحد یې \(\Gamma_0\) په \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\) وېشل شوی. کله چې د اوسني ترتیب بڼه مرجع ترتیب ته بېرته راکاږنه شي، د تنش-کرنش مزدوجه جوړه د دوهم Piola-Kirchhoff تنش \(\boldsymbol{S}\) او Green-Lagrange کرنش \(\boldsymbol{E}\) وي. په دې صورت کې د لومړنی ترتیب د مجازي کار اصل

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

لیکلی شو. دلته \(\rho_0\) د مرجع ترتیب د جرم کثافت ده او د جرم ساتنه \(\rho_0 = J\rho\) له مخې د اوسني ترتیب د جسم-قوه بیان سره برابره ده.

د اوسني او لومړنی ترتیب بڼو برابروالی

د دواړو بڼو داخلي مجازي کار د بدلون ګرېډینټ \(\boldsymbol{F}\) او حجمي نسبت \(J = \det \boldsymbol{F}\) د بدلون له لارې برابر دی؛ یعنې،

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

خارجي ځواک جملې هم د جرم ساتنه او سطحه-قوه بدلون له مخې برابرې دي. نو د اوسني او لومړنی ترتیب د مجازي کار معادلې د یوه اصل دوه بېلابېل ترتیب بیانونه دي. هغه حل چې مرجع ترتیب کاروي Total Lagrange او هغه چې اوسنی (تېر همګرا) ترتیب کاروي Updated Lagrange میتود سره سمون لري.

کوچنۍ بدشکلۍ ته راګرځېدل

د کوچنۍ بدشکلۍ فرضیو \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) او \(J \approx 1\) لاندې د اوسني او مرجع ترتیب توپیر له منځه ځي؛ دوهم PK تنش Cauchy تنش ته نږدې کېږي (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\))، او Green-Lagrange کرنش او د Almansi کرنش خطي برخه دواړه کوچني کرنش \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ته راګرځي.

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

په دې حالت کې د مجازي کار اصل د Cauchy تنش \(\boldsymbol{\sigma}\) او کوچني کرنش \(\boldsymbol{\varepsilon}\) کمزوری فورم ته

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

راګرځي. دا هغه کمزوری فورم دی چې د کوچنۍ بدشکلۍ او خطي الاستیک سټاټیک تحلیل ډسکریټ کول کې مستقیم کارول کېږي. په خطي الاستیک سټاټیک تحلیل (مقدمه/ضمیمه) کې له همدې فورم څخه د عنصر سختي \(\boldsymbol{K}^e\) او سراسري معادله \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\) تر راټولونه پورې تشریح شوې ده.

که خطي الاستیک ساختماني قانون \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) ځای پر ځای او په Voigt نښه‌لیک کې \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) ولیکل شي، کمزوری فورم

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

بڼه اخلي.

اړوند موضوعات