Skip to content

د ټېنسور نښه‌لیک او ریاضي بنسټونه

په دې څپرکي کې د ټېنسور نښه‌لیک، شاخصي نښه‌لیک او Voigt نښه‌لیک هغه قواعد راټولېږي چې د FrontISTR د تیورۍ لارښود په راتلونکو څپرکو کې کارول کېږي. دلته یوازې هغه خالص نښه‌لیک قواعد بیانېږي چې د فزیکي کمیتونو له تعریفونو سره تړاو نه لري. هغه نښه‌لیک قواعد چې د پرله‌پسې منځني حرکت له حالت (مرجع حالت/اوسني حالت) سره تړلي وي، لکه د لویو او کوچنیو تورو کارول او د مادي او مکاني مشتقونو توپیر، په حرکت، بدلون او کرنش کې بیان شوي، چې هلته د حالت مفهوم معرفي کېږي.

د ټېنسور نښه‌لیک

د بولډ لیک په وسیله د ویکتور او ټېنسور نښه‌لیک

د لیکدود د اصل له مخې، سکالر کمیتونه او د ویکتورونو او ټېنسورونو مولفې په عادي لیک (\(\rho\)، \(x_i\) او ورته) ښودل کېږي، خو د ویکتور او ټېنسور کمیتونه په خپله په بولډ لیک (\(\boldsymbol{a}\)، \(\boldsymbol{E}\)، \(\boldsymbol{\sigma}\) او ورته) ښودل کېږي.

د Einstein د جمع کولو قرارداد

که په ځانګړي ډول بل څه ونه ویل شي، د Einstein د جمع کولو قرارداد کارول کېږي: کله چې یو شان شاخص په یوه جمله کې 2 ځله راشي، پر هماغه شاخص جمع ترسره کېږي. د بېلګې په توګه،

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

او د ټېنسورونو \(\boldsymbol{A}\) او \(\boldsymbol{B}\) د حاصل‌ضرب \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) د \(i,j\) مولفه داسې ده:

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

د شاخصونو د قرارداد له مخې، کله چې \(i, j, k, l, \ldots\) بې له بلې څرګندونې د شاخصونو په توګه وکارول شي، د آزادۍ له درجو سره تړلي شاخصونه معنا کوي (په 3 بعدونو کې \(1, 2, 3\)). همدارنګه، کله چې واړه یوناني توري \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) د شاخصونو په توګه وکارول شي، د عنصر له جوړوونکو نوډونو سره تړلي شاخصونه معنا کوي.

داخلي ضرب، ترانسپوز او ټېنسوري ضرب

د ټېنسور \(\boldsymbol{A}\) ترانسپوز په \(\boldsymbol{A}^T\) ښودل کېږي. د 2مې رتبې ټېنسورونو \(\boldsymbol{A}\) او \(\boldsymbol{B}\) داخلي ضرب (دوه‌ګونی انقباض) داسې لیکل کېږي:

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

د ویکتورونو \(\boldsymbol{a}\) او \(\boldsymbol{b}\) داخلي ضرب \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\) دی، او د هغوی ټېنسوري ضرب \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\) دی.

Voigt نښه‌لیک

تنش او کرنش د آزادۍ د درجو له مخې متقارن 2مې رتبې ټېنسورونه دي، او هغه ضریبونه چې د دوی ترمنځ خطي رابطه څرګندوي د 4مې رتبې ټېنسور جوړوي. په پروګرام کې د دې مستقیم کارول د محاسبوي لګښت او کوډ لیکلو له پلوه (څو-بعدي آرې او ژورې څوګونې حلقې) نامناسب دي. له همدې امله په عمومي محدودو عناصرو پروګرامونو کې له تقارن څخه په ګټې اخیستنې سره تنش او کرنش په ستوني ویکتورونو او د 4مې رتبې الاستیک ټېنسور په 2-بعدي ماتریس کې فشرده کېږي. دې ته Voigt نښه‌لیک ویل کېږي.

له دې وروسته، د ټېنسوري کمیت \(\boldsymbol{A}\) ماتریسي یا ویکتوري بڼه په \(\hat{A}\) ښودل کېږي، څو له اصلي ټېنسور څخه جلا وپېژندل شي.

د تنش او کرنش ویکتوري بڼه

د متقارن تنش ټېنسور \(\boldsymbol{\sigma}\) او کرنش ټېنسور \(\boldsymbol{\varepsilon}\) لپاره، په 2 بعدونو کې

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

او په 3 بعدونو کې

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

د پورته په څېر د ستوني ویکتورونو په توګه کارول کېږي. همدا قاعده پر مشتقو کمیتونو، لکه تغیراتو او تفاضلونو، هم پلي کېږي. پام وکړئ چې د کرنش د قصي مولفو لپاره د 2 ضریب شته (د تنش په خوا کې نشته). د همدې نامتقارن والي له امله د ټېنسور داخلي ضرب د ویکتور داخلي ضرب په بڼه په لنډ ډول داسې لیکل کېدای شي:

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

په پلي‌کولو کې د قصي کرنش د مولفو د 2 ضریب غلط اخیستل اسانه دي، نو باید تل د «په تنش کې نشته / په کرنش کې شته» قرارداد په پام کې ونیول شي. په مرجع حالت کې کمیتونو (2م Piola-Kirchhoff تنش \(\boldsymbol{S}\) او Green-Lagrange کرنش \(\boldsymbol{E}\)) ته هم عین همدا Voigt قرارداد پلي کېږي.

د 4مې رتبې ټېنسور ماتریسي بڼه

د تنش او کرنش د خطي رابطې \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) لپاره (په مولفه‌یي بڼه \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\))، د \(\boldsymbol{\varepsilon}\) له تقارن څخه په کار اخیستلو سره دا رابطه داسې بیا لیکل کېدای شي:

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

په 3 بعدونو کې، که \(\tilde{C}\) د 6×6 مادي ماتریس \(\hat{\tilde{C}}\) په توګه ترتیب شي، اصلي ټېنسوري رابطه داسې ښودل کېږي:

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

له دې وروسته په دې لارښود کې، که په ځانګړي ډول بل څه ونه ویل شي، مادي ماتریس په \(D\) (یا \(\hat{C}\)) ښودل کېږي. د همسان‌خوا خطي الاستیک لپاره د مشخصو مولفو په اړه خطي الاستیکیت وګورئ.

د تفاضلي عملګرو قراردادونه

متقارن ګرادیان عملګر

د ویکتوري میدان \(\boldsymbol{u}\) لپاره متقارن ګرادیان عملګر \(\nabla_S\) داسې تعریفېږي:

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

په مولفه‌یي بڼه، \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\) دی. د کوچنۍ بدشکلۍ کرنش \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) په همدې عملګر په لنډ ډول ښودل کېدای شي. په محدودې بدشکلۍ کې د ګرادیان د اخیستلو د حالت (مرجع/اوسني) توپیر په حرکت، بدلون او کرنش کې بیانېږي.

مادي زماني مشتق

د یوه کمیت \(A\) مادي زماني مشتق (هغه زماني مشتق چې هماغه مادي ټکی تعقیبوي) د پاسنۍ نقطې په وسیله \(\dot{A}\) ښودل کېږي:

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

سرعت او تعجیل هم له همدې قرارداد سره سم دي.

اړوند موضوعات