د فزیکي کمیتونو د نښو لړ
دا پاڼه د هغو فزیکي کمیتونو نښې لست کوي چې د FrontISTR په نظري لارښود کې کارول کېږي. د نښهلیک د قواعدو (د ویکتورونو او ټېنسورونو غټ توري، د Einstein د اختصار قاعده، او Voigt نښهلیک) لپاره د ټېنسور نښهلیک او ریاضي بنسټونه وګورئ.
ترتیب او مختصاتي سیستم
| نښه | تشریح |
| \(\boldsymbol{X}\) | په مرجع ترتیب (لومړني ترتیب) کې د مادي ټکي د موقعیت ویکتور (مادي مختصات) |
| \(\boldsymbol{x}\) | په اوسني ترتیب کې د مادي ټکي د موقعیت ویکتور (فضايي مختصات) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | د حرکت نګاشت: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | هغه ساحه چې جسم یې په مرجع ترتیب کې نیسي |
| \(\Omega\) | هغه ساحه چې جسم یې په اوسني ترتیب کې نیسي |
| \(\Gamma_0\) | د \(\Omega_0\) پوله |
| \(\Gamma\) | د \(\Omega\) پوله |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | هندسي (بېځایه کېدو) پوله: د اوسني او مرجع ترتیب پولې چې \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) پرې ټاکل کېږي |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | میخانیکي پوله: د اوسني او مرجع ترتیب پولې چې \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (یا \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) پرې ټاکل کېږي |
| \(\boldsymbol{n}\) | په اوسني ترتیب کې د سطحې بهر لوري واحد نورمال ویکتور |
| \(\boldsymbol{N}\) | په مرجع ترتیب کې د سطحې بهر لوري واحد نورمال ویکتور |
| \(t\) | وخت |
قاعده: د مرجع ترتیب فزیکي کمیتونو ته غټ توري یا فرعي نښه \(0\)، او د اوسني ترتیب کمیتونو ته واړه توري کارول کېږي.
وخت او زیاتونه (زیاتونیز تحلیل)
| نښه | تشریح |
| \(\Delta t\) | د وخت زیاتونه: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | په وخت \(t\) کې فزیکي کمیت (مخکینی پورتهلیک). بېلګه: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) په وخت \(t\) کې Cauchy تنش دی |
| \(^{t}\Omega\) | په وخت \(t\) کې د اوسني ترتیب ساحه |
| \(^{t}\Gamma\) | په وخت \(t\) کې د اوسني ترتیب پوله |
قاعده: په زیاتونیز تحلیل کې تر وخت \(t\) پورې حالت معلوم ګڼل کېږي او د \(t + \Delta t\) حالت د نامعلوم په توګه حل کېږي. که د وخت څرګندول اړین نه وي، مخکینی پورتهلیک پرېښودل کېږي. هغه فورمولبندي چې مرجع ترتیب یې بنسټیز ترتیب \(\Omega_0\) وي Total Lagrange میتود، او هغه چې د زیاتون په پیل کې اوسنی ترتیب \(^{t}\Omega\) مرجع اخلي Updated Lagrange میتود بلل کېږي.
بېځایه کېدل، سرعت، تعجیل او حجمي قوه
| نښه | تشریح |
| \(\boldsymbol{u}\) | د بېځایه کېدو ویکتور: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | په هندسي پوله \(\Gamma_B\) کې ټاکل شوی بېځایه کېدل |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | مجازي بېځایه کېدل (ازمایښتي تابع): په \(\Gamma_B\) کې \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | د سرعت ویکتور: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | د تعجیل ویکتور: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | حجمي قوه (د واحد کتلې پر سر) |
| \(\boldsymbol{t}\) | د سطحي قوې ویکتور (د واحد مساحت پر سر): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | په میخانیکي پوله \(\Gamma_t\) کې ټاکل شوې سطحي قوه (Neumann ډاټا) |
تفاضلي عملګرونه
| نښه | تشریح |
| \(\dot{(\cdot)}\) | مادي وختي مشتق (د هماغه مادي ټکي د تعقیب وختي مشتق): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | د مرجع ترتیب ګرادیان (د مادي مختصاتو \(\boldsymbol{X}\) په نسبت): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | د اوسني ترتیب ګرادیان (د فضايي مختصاتو \(\boldsymbol{x}\) په نسبت): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | متقارن ګرادیان عملګر: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
یادونه: \(\nabla_X\) او \(\nabla_x\) د \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) له لارې تړاو لري. بېفرعينښې \(\nabla\) هغه وخت کارول کېږي چې ترتیب له سیاقه معلوم وي، یا لکه د کوچني بدلون په حالت کې چې توپیر له منځه ځي.
د بدلون ټېنسورونه
| نښه | تشریح |
| \(\boldsymbol{F}\) | د بدلون ګرادیان ټېنسور: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | د حجم د بدلون نسبت: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | ښی Cauchy-Green بدلون ټېنسور: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | چپ Cauchy-Green بدلون ټېنسور: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | د سرعت ګرادیان ټېنسور: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | د بدلون د نرخ ټېنسور (د \(\boldsymbol{L}\) متقارن برخه): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | د سپین ټېنسور (د \(\boldsymbol{L}\) ضد متقارن برخه): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
د کرنش ټېنسورونه
| نښه | تشریح |
| \(\boldsymbol{E}\) | Green-Lagrange کرنش ټېنسور (مرجع ترتیب): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Almansi کرنش ټېنسور (اوسنی ترتیب): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | د Almansi کرنش ټېنسور خطي برخه (په اوسني ترتیب کې متقارن بېځایه کېدو ګرادیان): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | د کوچني کرنش ټېنسور (خطي تقریب): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
یادونه: \(\boldsymbol{E}\) په Total Lagrange میتود او \(\boldsymbol{D}\) په Updated Lagrange میتود کې تر ډېره کارول کېږي.
د تنش ټېنسورونه
| نښه | تشریح |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Cauchy تنش ټېنسور (حقیقي تنش، اوسنی ترتیب): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | لومړی Piola-Kirchhoff تنش ټېنسور (اسمي تنش): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | دوهم Piola-Kirchhoff تنش ټېنسور (مرجع ترتیب، متقارن): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
د تنش د ټېنسورونو ترمنځ د تبدیل اړیکې:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
قاعده: په Total Lagrange میتود کې جوړه \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) او په Updated Lagrange میتود کې جوړه \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\) کارول کېږي.
کثافت او کتله
| نښه | تشریح |
| \(\rho\) | په اوسني ترتیب کې د کتلې کثافت |
| \(\rho_0\) | په مرجع ترتیب کې د کتلې کثافت |
د کتلې د ساتنې قانون: \(\rho_0 = J\rho\).
د موادو ثابتونه (خطي الاستیک جسم)
| نښه | تشریح |
| \(E\) | Young موډول (طولي الاستیک موډول) |
| \(\nu\) | د Poisson نسبت |
| \(\lambda\) | د Lamé لومړی ثابت: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | د Lamé دوهم ثابت (شیر موډول): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | الاستیک ټېنسور (څلورم رتبه): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\)، اجزا \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (یا \(\hat{\tilde{C}}\)) | د موادو ماتریس (Voigt نښهلیک، په درې بعدونو کې \(6\times6\)): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
د همسانخوا خطي الاستیک جسم د الاستیک ټېنسور اجزا:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
هایپرالاستیک مواد
| نښه | تشریح |
| \(W(\boldsymbol{C})\) | د الاستیک پوتانسیل تابع (د کرنش انرژۍ د کثافت تابع) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | د ښي Cauchy-Green ټېنسور \(\boldsymbol{C}\) اصلي ناورداوې |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | د \(\boldsymbol{C}\) کمې شوې ناورداوې (د حجمي بدلون برخه جلا شوې) |
| \(C_1, C_2\) | د Mooney-Rivlin موډل مادي ثابتونه |
| \(D\) | د حجمي الاستیکتوب مادي ثابت |
الاستوپلاستیک مواد
| نښه | تشریح |
| \(\boldsymbol{D}^e\) | د بدلون د نرخ ټېنسور الاستیکه برخه |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | د بدلون د نرخ ټېنسور پلاستیکه برخه |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | د تسلیم تابع |
| \(\kappa\) | داخلي متغیر چې پلاستیک حالت څرګندوي (همسانخوا سختېدو متغیر) |
| \(\lambda^p\) | پلاستیک ضریب (د پلاستیک کرنش د نرخ ضریب): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | پلاستیک پوتانسیل (په تړلي جریان قانون کې \(\Theta = F\)) |
| \(\bar{\sigma}\) | معادل تنش (لکه von Mises تنش) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | معادل پلاستیک کرنش |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | د همسانخوا سختېدو تابع |
د تکمیلي شرط: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\)، \(\lambda^p \geq 0\)، \(F \leq 0\).
د محدودو عناصرو میتود
| نښه | تشریح |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | د اوسني او مرجع ترتیب ساحې چې د محدودو عناصرو وېش یې نږدې کوي: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | په اوسني او مرجع ترتیب کې د عنصر ساحه |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | د عنصر د پولې هغه برخه چې میخانیکي پولې پورې اړه لري |
| \(\boldsymbol{r}\) | طبیعي مختصات (د عنصر محلي مختصات) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | په طبیعي مختصاتو کې هغه ټکی چې د نوډ \(\alpha\) سره متناظر دی |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | د عنصر \(e\) د نوډ \(\alpha\) شکل دنده |
| \(n_e\) | د عنصر د جوړوونکو نوډونو شمېر |
| \(n_g\) | د ټولو نوډونو شمېر |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | د عنصر د نوډ \(\alpha\) مختصات او بېځایه کېدل |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | د عنصر د نوډونو د مختصاتو او بېځایه کېدو ویکتورونه: لکه \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | د ټولو نوډونو د مختصاتو او بېځایه کېدو ویکتورونه (د نوډ شمېر → د آزادۍ درجې په ترتیب) |
| \(\boldsymbol{B}\) | د کرنش–بېځایه کېدو د اړیکې ماتریس (B ماتریس) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | د شکل دندو ماتریس: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) یو \(d \times d\) بلاک دی چې د نوډ \(\alpha\) شکل دنده \(N_\alpha^e\) په قطر کې ږدي، او \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | د عنصر د سختوالي ماتریس |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | د عنصر د سختوالي د ماتریس د انتګرال لاندې عبارتونه (په مرجع او اوسني ترتیب کې): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL میتود)، \(\boldsymbol{q}^e\) (UL میتود) | د عنصر د داخلي قوې ویکتور |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | پر عنصر-نوډ \(\alpha\) واردېدونکې نوډي بهرنی قوه او د عنصر نوډي بهرنیو قوو ویکتور: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | د ټول سیستم د داخلي او بهرني قوې ویکتورونه: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\)؛ \(\boldsymbol{F}\) هم په همدې ډول |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | په عمومي نوډ \(i_g\) کې نوډي داخلي او بهرنی قوه (د \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) نوډي بلاک) |
| \(\boldsymbol{K}\) | د ټول سیستم مماسي سختوالي ماتریس: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). د \(3\times 3\) بلاکونو \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) ماتریس چې په \(i_g\) قطار او \(i_h\) ستون کې ځای پر ځای کېږي |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | د Newton-Raphson تکرار د پاتېشوني ویکتور: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | د Newton-Raphson تکرار د سمون اندازه (په \(i\)-م تکرار کې د خطي معادلې \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) له حل څخه ترلاسه کېږي) |
| \(i_g\) | د عمومي نوډ شمېر (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | د عنصر \(e\) د محلي نوډ شمېر \(\alpha\) سره متناظر عمومي نوډ: \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | د عمومي نوډ \(i_g\) سره متناظر د \((e, \alpha)\) جوړو مجموعه: \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). په اسمبلۍ کې کارول کېږي |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | د عمومي نوډونو جوړې \((i_g, i_h)\) سره متناظر د \((e, \alpha, \beta)\) درېګونو مجموعه: د سختوالي د ماتریس په اسمبلۍ کې کارول کېږي |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | د عنصر د جوړوونکو نوډونو اړوند فرعي نښې |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | د آزادۍ درجو اړوند فرعي نښې (په درې بعدونو کې \(1, 2, 3\)) |
لوړ-فعالیتي او ساختماني عناصر
| نښه | تشریح |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | په B-bar میتود کې د حجمي برخې اصلاح شوی د کرنش–بېځایه کېدو ماتریس (حجمي برخه د عنصر په مرکز کې ارزول شوي B ماتریس سره بدلېږي) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | په F-bar میتود کې د حجمي برخې اصلاح شوی د بدلون ګرادیان: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | د عنصر په مرکز \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\) کې ارزول شوي بدلون ګرادیان حجمي نسبت: \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | په ناسازګار مود عنصر کې د داخلي آزادۍ درجو ویکتور (د اضافي بېځایه کېدو مودونو ضریبونه چې د عنصر پر پوله دوام نه تضمینوي) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | د ناسازګار مود شکل دنده: \(M_1=1-\xi^2\)، \(M_2=1-\eta^2\)، \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | د شیل عنصر ضخامت |
| \(A\) | د بیم عنصر د مقطع مساحت |
| \(I\) | د بیم عنصر د مقطع دوهم مومنټ |
| \(G\) | د شیر الاستیک موډول: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
اړوند موضوعات