Skip to content

د Newton-Raphson میتود

خطي کول او د تکرار عودي رابطه

هغه غیرخطي معادله چې په د بهرني ځواک مجازی کار او د ټولیزې معادلې اسمبل کې ترلاسه شوې او د \(t_{n+1}\) په وخت کې د نوډونو د بې‌ځایه کېدنې \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) په اړه ده، د Newton-Raphson میتود په وسیله حل کېږي. تر \(t_n\) وخته د نوډونو بې‌ځایه کېدنه \(\boldsymbol{u}_n\) معلومه ګڼل کېږي، او د بې‌ځایه کېدنې زیاتوالی \(\Delta\boldsymbol{u}\) د نامعلوم متغیر په توګه نیول کېږي، څو

\[ \boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u} \]

وموندل شي. له دې وروسته د بهرني ځواک ویکتور له نوډي بې‌ځایه کېدنې سره تړاو له پامه غورځول کېږي، او د \(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{F}_{n+1}\) په فرض سره

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

حل کېږي.

په اوسني حل \(\Delta\boldsymbol{u}\) کې د مماسي سختۍ

\[ \boldsymbol{K} = \left. \frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{u}} \right|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}} \]

په کارولو سره غیرخطي معادله چې خطي شي، داسې ترلاسه کېږي:

\[ \boldsymbol{K}\, d\boldsymbol{u} + \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

که د \(i\)-م تکرار اصلاح \(d\boldsymbol{u}_i\) وي او د تکرار په پیل کې پاتې‌شوني ویکتور داسې ولیکل شي:

\[ \boldsymbol{R}_{i-1} = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) \]

نو د تکرار عودي رابطه دا بڼه اخلي:

\[ \boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}, \qquad \Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i \]

پاتې‌شونی \(\boldsymbol{R}_i\) هغه کمیت دی چې له توازن څخه د ځواک نابرابري څرګندوي.

د مماسي سختۍ ماتریس جوړښت

مماسي سختي \(\boldsymbol{K} = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}\) د هغه عنصر-داخلي ځواک ویکتور د نوډي بې‌ځایه کېدنې په نسبت د جزوي مشتق له لارې جوړېږي چې په د داخلي ځواک د مجازی کار ډسکریټ کول کې ترلاسه شوی؛ د هر عنصر د انتګرال دننه عبارت د عنصر پر ساحه انتګرال کېږي او ټولې پایلې سره راټولېږي. که د عنصر په کچه د انتګرال دننه عبارت \(\boldsymbol{K}^e_X\) (د مرجع حالت نښه‌لیک، TL میتود) یا \(\boldsymbol{K}^e_x\) (د اوسني حالت نښه‌لیک، UL میتود) وبلل شي، د عنصر مماسي سختي داسې ورکول کېږي:

\[ \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV \quad (\text{TL}), \qquad \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv \quad (\text{UL}) \]

لاندې د TL/UL لپاره د انتګرال دننه عبارتونو وروستۍ بڼې ښودل کېږي. دواړه د مادي سختۍ جملې (د لومړنۍ بې‌ځایه کېدنې جمله) او هندسي سختۍ جملې (د لومړني تنش جمله) په مجموعه وېشل کېږي.

د Total Lagrange میتود

په Total Lagrange میتود کې د 2م Piola-Kirchhoff تنش نرخ \(\dot{\boldsymbol{S}}\) او Green-Lagrange کرنش نرخ \(\dot{\boldsymbol{E}}\) ترمنځ خطي رابطه \(\dot{\boldsymbol{S}} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\dot{\boldsymbol{E}}\) فرض کېږي. دا د خطي الاستیک موادو (St.Venant-Kirchhoff موادو) او هایپرالاستیک موادو له تشکیلي قوانینو سره سمون لري، او په FrontISTR کې Total Lagrange میتود د همدې موادو لپاره کارول کېږي. په دې حالت کې د عنصر د مماسي سختۍ د انتګرال دننه عبارت په ټېنسوري بڼه داسې لیکل کېږي:

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_X\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \dot{\boldsymbol{S}}:\delta\boldsymbol{E} + \boldsymbol{S}:(\delta\boldsymbol{F}^T \dot{\boldsymbol{F}}) \]

د ښي لوري 1-مه جمله د مادي سختۍ جمله (د لومړنۍ بې‌ځایه کېدنې جمله) او 2-مه جمله د هندسي سختۍ جمله (د لومړني تنش جمله) ده.

د FrontISTR په پلي‌کولو کې، دا د انتګرال دننه عبارت د Voigt نښه‌لیک په کارولو په لاندې ماتریسي بڼه محاسبه کېږي:

\[ \boldsymbol{K}^e_X = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \tilde{\boldsymbol{C}}\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}) + \boldsymbol{F}_9^T\, \boldsymbol{S}_9\, \boldsymbol{F}_9 \]

هر ماتریس په لاندې ډول دی. \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}\) هغه B ماتریسونه دي چې په د داخلي ځواک د مجازی کار ډسکریټ کول کې معرفي شوي، او \(\tilde{\boldsymbol{C}}\) د تشکیلي ټېنسور \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) د Voigt نښه‌لیک له مخې \(6\times 6\) مادي سختۍ ماتریس دی (د ټېنسور نښه‌لیک او ریاضي بنسټونه). \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) هغه بیا-ترتیب ماتریسونه دي چې د هندسي سختۍ جمله د ماتریسي ضرب په بڼه ښيي. لومړی، د \(3\times 3\) 2مې رتبې ټېنسور \(\boldsymbol{A}\) د 9-مولفه ویکتور په بڼه د بیا ترتیب لپاره \([\,\cdot\,]\) داسې تعریفېږي:

\[ [\boldsymbol{A}] = (A_{11}, A_{21}, A_{31}, A_{12}, A_{22}, A_{32}, A_{13}, A_{23}, A_{33})^T \]

له دې تعریف سره، \(\boldsymbol{F}_9\) د بدشکلۍ د ګرادیان تغیر د \([\delta\boldsymbol{F}] = \boldsymbol{F}_9\, \delta\boldsymbol{u}^e\) په بڼه څرګندوي او یو \(9\times d n_e\) ماتریس دی. د عنصر نوډ \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) سره متناظر \(9\times d\) بلاک داسې دی:

\[ [\boldsymbol{F}_9]_\alpha = \begin{bmatrix} (\partial N_\alpha^e/\partial X_1)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_2)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_3)\, \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \qquad (\boldsymbol{I} \text{ د } 3\times 3 \text{ واحد ماتریس دی}) \]

دا بلاکونه د عنصر د نوډونو په ترتیب افقي سره اېښودل کېږي او \(\boldsymbol{F}_9 = [[\boldsymbol{F}_9]_1, \ldots, [\boldsymbol{F}_9]_{n_e}]\) جوړوي. \(\boldsymbol{S}_9\) داسې ټاکل شوی چې له دې سره په ترکیب کې د هندسي سختۍ جمله د \(\delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{F}_9^T \boldsymbol{S}_9 \boldsymbol{F}_9\, \dot{\boldsymbol{u}}^e\) په بڼه څرګنده شي؛ دا یو \(9\times 9\) ماتریس دی:

\[ \boldsymbol{S}_9 = \begin{bmatrix} S_{11} \boldsymbol{I} & S_{12} \boldsymbol{I} & S_{13} \boldsymbol{I} \\ S_{21} \boldsymbol{I} & S_{22} \boldsymbol{I} & S_{23} \boldsymbol{I} \\ S_{31} \boldsymbol{I} & S_{32} \boldsymbol{I} & S_{33} \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \]

دی.

د Updated Lagrange میتود

په Updated Lagrange میتود کې د نسبي Kirchhoff تنش ټېنسور د Jaumann نرخ \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) او د بدشکلۍ د نرخ ټېنسور \(\boldsymbol{D}\) ترمنځ خطي رابطه \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\) فرض کېږي. دا د هایپو‌الاستیک تشکیلي قانون هغه بڼه ده چې د خطي الاستیک، الاستوپلاستیک او کریپ موادو لپاره ګډه ده، او په FrontISTR کې Updated Lagrange میتود د همدې موادو لپاره کارول کېږي. په دې حالت کې د عنصر د مماسي سختۍ د انتګرال دننه عبارت، چې په اوسني حالت کې ښودل شوی، په ټېنسوري بڼه داسې لیکل کېږي:

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_x\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}:\delta\boldsymbol{A}_{(L)} + \boldsymbol{\sigma}:(\delta\boldsymbol{F}_t^T\, \boldsymbol{L}) \]

دلته \(\boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}\) د Truesdell نرخ، \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) د Almansi کرنش خطي برخه، \(\boldsymbol{F}_t = \partial\boldsymbol{u}/\partial\boldsymbol{x}\) د اوسني حالت په نسبت د بې‌ځایه کېدنې ګرادیان، او \(\boldsymbol{L}\) د سرعت ګرادیان ټېنسور دی. د ښي لوري 1-مه جمله د مادي سختۍ جمله او 2-مه جمله د هندسي سختۍ جمله ده.

د FrontISTR په پلي‌کولو کې، دا د انتګرال دننه عبارت د Voigt نښه‌لیک په کارولو په لاندې ماتریسي بڼه محاسبه کېږي:

\[ \boldsymbol{K}^e_x = \boldsymbol{b}^T\, (\tilde{\boldsymbol{C}} - \boldsymbol{G})\, \boldsymbol{b} + \boldsymbol{f}_9^T\, \boldsymbol{\sigma}_9\, \boldsymbol{f}_9 \]

\(\boldsymbol{b}\) هغه B ماتریس دی چې په اوسني حالت کې جوړ شوی (د داخلي ځواک د مجازی کار ډسکریټ کول). \(\boldsymbol{\sigma}_9, \boldsymbol{f}_9\) د TL میتود لپاره له تعریف شوو \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) څخه په دې بدلونونو ترلاسه کېږي: د 2م PK تنش \(\boldsymbol{S}\) پر ځای Cauchy تنش \(\boldsymbol{\sigma}\)، او د مرجع حالت ګرادیان \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) پر ځای د اوسني حالت ګرادیان \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) کارول کېږي.

\(\boldsymbol{G}\) د Cauchy تنش پورې تړلی اصلاحي ماتریس دی چې د هایپو‌الاستیک تشکیلي قانون \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\) د Truesdell نرخ پر بنسټ تشکیلي قانون په توګه د مماسي سختۍ له چوکاټ سره سازګاروي. دا د 4مې رتبې ټېنسور مولفې \(G_{ijkl} = \delta_{il}\sigma_{kj} + \delta_{jl}\sigma_{ik}\) په \(6\times 6\) Voigt بڼه کې په ترتیبولو سره داسې ترلاسه کېږي:

\[ \boldsymbol{G} = \begin{bmatrix} 2\sigma_{11} & 0 & 0 & \sigma_{12} & 0 & \sigma_{31} \\ 0 & 2\sigma_{22} & 0 & \sigma_{12} & \sigma_{23} & 0 \\ 0 & 0 & 2\sigma_{33} & 0 & \sigma_{23} & \sigma_{31} \\ \sigma_{12} & \sigma_{12} & 0 & \tfrac{\sigma_{11}+\sigma_{22}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} \\ 0 & \sigma_{23} & \sigma_{23} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{22}+\sigma_{33}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} \\ \sigma_{31} & 0 & \sigma_{31} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{33}+\sigma_{11}}{2} \end{bmatrix} \]

دی.

د ټولیز سختۍ ماتریس اسمبل

ټولیزه مماسي سختي \(\boldsymbol{K}\) د عنصر سختي \(\boldsymbol{K}^e\) د نوډونو د هرې جوړې لپاره په \(d\times d\) بلاکونو \(\boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta}\) وېشي، او د 2مې رتبې ټېنسور د اسمبل مجموعه \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) کاروي چې په د عنصر-نوډي فزیکي کمیتونو اسمبل کې معرفي شوې ده:

\[ \boldsymbol{K}_{i_gi_h} = \sum_{(e,\alpha,\beta) \in \mathcal{E}^2(i_g, i_h)} \boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta} \]

ترلاسه شوې پایلې په داسې ماتریس کې اېښودل کېږي چې قطار یې \(i_g\) او ستون یې \(i_h\) وي. په پلي‌کولو کې مجموعه \(\mathcal{E}^2\) په څرګند ډول نه جوړېږي؛ پر ځای یې اړوند بلاکونه د عنصر په حلقه کې مستقیم جمع کېږي. دا یو مربع ماتریس دی چې بعد یې د هر نوډ د آزادۍ درجې \(\times\) د ټولو نوډونو شمېر \(n_g\) دی، خو ځکه چې له هغو نوډونو پرته چې د عناصرو له لارې سره نښتي وي نورې مولفې \(0\) دي، نو د سپارس ماتریس په بڼه ساتل کېږي.

د TL او UL میتودونو د عنصر سختۍ، د مرجع حالت د بدلون (د نوډونو مختصات او د B ماتریس د جوړولو سرچینه) او د \(\boldsymbol{G}\) ماتریس د شتون یا نه‌شتون پرته، یوه بڼه لري. له همدې امله FrontISTR دواړه په یوه ګډ سبروټین کې پلي کوي.

د تکرار الګوریتم

د پورته مطالبو په راټولولو سره، د تکرار په پیل کې \(\Delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) ټاکل کېږي او لومړنی پاتې‌شونی \(\boldsymbol{R}_0 = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n)\) محاسبه کېږي. بیا په \(i\)-م تکرار کې لاندې کړنلار ترسره کېږي.

  1. په اوسني بې‌ځایه کېدنه \(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\) کې مماسي سختي \(\boldsymbol{K}_i = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}}\) د د مماسي سختۍ ماتریس جوړښت د کړنلارې له مخې محاسبه کړئ.
  2. د هندسي سرحدي شرایطو د پلي کولو لپاره، د بې‌ځایه کېدنې د قید لرونکو آزادۍ درجو لپاره د مماسي سختۍ ماتریس او پاتې‌شوني ویکتور بدل کړئ، څو \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i, \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) ترلاسه شي (د هندسي سرحدي شرطونو پروسس).
  3. خطي معادله \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) حل کړئ او اصلاح \(d\boldsymbol{u}_i\) ومومئ. دا کړنلار ډېری وخت د تکراري محاسبې د محاسبوي لګښت لویه برخه جوړوي.
  4. د بې‌ځایه کېدنې زیاتوالی د \(\Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i\) په توګه تازه کړئ، او د هغې له مخې د داخلي ځواک ویکتور \(\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) او پاتې‌شونی \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) محاسبه کړئ.
  5. د همګرایۍ شرط وڅېړئ او که پوره شوی وي تکرار پای ته ورسوئ. د پاتې‌شوني \(\boldsymbol{R}_i\) په هغو آزادۍ درجو کې چې هندسي سرحدي شرایط پرې لګېدلي وي، د قید عکس‌العمل ځواک سره متناظر مولفې راڅرګندېږي؛ نو د ارزونې شاخص له \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) څخه، د دغو مولفو تر ایستلو وروسته، جوړېږي. مشخص شاخصونه او حدونه په د همګرایۍ معیار کې بیان شوي. که همګرایي ترلاسه نه شي او د تکرار اعظمي حد ته ورسېږي، تکرار ناکام ګڼل کېږي.

کله چې تکرار همګرا شي، هماغه وخت \(\Delta\boldsymbol{u}\) له \(\boldsymbol{u}_n\) سره جمع کېږي، څو د \(t_{n+1}\) په وخت کې تجمعي بې‌ځایه کېدنه \(\boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\) ترلاسه شي، او بیا بل وختي ګام ته ځي.

اړوند موضوعات