د ډینامیک تحلیل طریقې¶

په دې برخه کې د دینامیک مسئلو د تحلیل هغه طریقې تشریح کېږي چې مستقیمه د وخت انتګرال‌ګیري کاروي. لاندې د ضمني او صریح طریقو فورمول‌بندي ښودل کېږي.

د حرکت د معادلې ډسکریټ کول (ګډ چوکاټ)¶

TBD (په راتلونکي پړاو کې به بشپړ متن ولیکل شي).

ضمني طریقه (Newmark-β طریقه)¶

د دینامیک مسئلو لپاره، د لاندې حرکت معادلې د حل په موخه مستقیمه د وخت انتګرال‌ګیري طریقه کارول شوې ده.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

دلته \(M\) د جرم ماتریس، \(C\) د میرایۍ ماتریس، \(Q\) د داخلي ځواک ویکتور، او \(F\) د بهرني ځواک ویکتور دی. د جرم ماتریس حتی په غیرخطی تحلیل کې هم د بدشکلي څخه خپلواک ثابت ګڼل کېږي.

د وخت زیاتوالی \(\Delta t\) په اوږدو کې د بې‌ځایه کېدل، سرعت او تعجیل بدلونونه د Newmark-\(\beta\) طریقې په وسیله، لکه په معادلو \(\eqref{eq:2.5.2}\) او \(\eqref{eq:2.5.3}\) کې، نږدې کېږي.

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

دلته \(\gamma\) او \(\beta\) د Newmark-\(\beta\) طریقې پارامترونه دي.

لکه څنګه چې ښه معلومه ده، که \(\gamma\) او \(\beta\) لاندې ارزښتونه ولري، طریقه په ترتیب سره د خطي تعجیل طریقه یا ذوزنقه‌يي قاعده سره برابره کېږي.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\)، \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (د خطي تعجیل طریقه)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\)، \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (ذوزنقه‌يي قاعده)

د معادلو \(\eqref{eq:2.5.2}\) او \(\eqref{eq:2.5.3}\) په \(\eqref{eq:2.5.1}\) کې په ځای کولو سره لاندې معادله ترلاسه کېږي.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

په ځانګړي ډول، د خطي مسئلې لپاره \(K_L\) خطي سختۍ ماتریس دی او \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\)؛ د دې اړیکې په پورته معادله کې په ځای کولو سره لاندې معادله ترلاسه کېږي.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

په هغو ځایونو کې چې تعجیل د هندسي سرحدي شرط په توګه ټاکل شوی وي، بې‌ځایه کېدل د معادلې \(\eqref{eq:2.5.2}\) څخه په لاندې ډول ترلاسه کېږي.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

په ورته ډول، په هغو ځایونو کې چې سرعت ټاکل شوی وي، بې‌ځایه کېدل د معادلې \(\eqref{eq:2.5.6}\) څخه په لاندې ډول ترلاسه کېږي.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

دلته، \(u_{is}(t+\Delta{t})\) په وخت \(t+\Delta{t}\) کې د نوډ بې‌ځایه کېدل دی، او \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) په وخت \(t+\Delta{t}\) کې د نوډ سرعت دی، \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) په وخت \(t+\Delta{t}\) کې د نوډ تعجیل دی، \(i\) د نوډ د ازادۍ درجې شمېره، او \(s\) د نوډ شمېره ده. د کتلې او میرایۍ د غړو چلند په لاندې ډول دی.

د جرم د برخې چلند¶

د جرم ماتریس په اصل کې د متمرکز جرم ماتریس په توګه کارول کېږي.

د میرایۍ د برخې چلند¶

د میرایۍ برخه د Rayleigh میرایي په توګه کارول کېږي چې په معادله \(\eqref{eq:2.5.8}\) کې ښودل شوې ده.

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

دلته \(R_m\) او \(R_k\) د Rayleigh میرایي پارامترونه دي.

هغه \(R_m\) او \(R_k\) چې په !DYNAMIC کارت کې ټاکل کېږي، په ټول ماډل یو شان پلي کېږي. که د هر مواد لپاره بېلابېل \(R_m\) او \(R_k\) اړین وي، د هماغه مواد د !MATERIAL بلاک دننه !DAMPING کارت وټاکئ. د !DAMPING لرونکي مواد عناصر د خپل د جرم ماتریس \(M_i\) او مماسي سختۍ ماتریس \(K_i\) څخه د \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) له مخې د عنصر میرایۍ ماتریس محاسبه کوي او په ټولیز میرایي ماتریس کې یې شاملوي. دا دنده یوازې د ضمني طریقې لپاره معتبره ده.

صریح طریقه (د مرکزي تفاضل طریقه)¶

صریح طریقه په وخت t کې د لاندې حرکت معادلې پر بنسټ ده.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

دلته په وختونو \(t + \Delta t\) او \(t - \Delta t\) کې بې‌ځایه کېدل د وخت \(t\) شاوخوا د Taylor پراختیا په وسیله څرګندېږي؛ تر \(\Delta t\) پورې د 2م-درجه غړو په ساتلو سره لاندې اړیکې ترلاسه کېږي.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]

\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

د معادلو \(\eqref{eq:2.5.3}\) او \(\eqref{eq:2.5.4}\) له تفاضل او مجموع څخه لاندې معادلې ترلاسه کېږي.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

د معادلو \(\eqref{eq:2.5.12}\) او \(\eqref{eq:2.5.13}\) په \(\eqref{eq:2.5.9}\) کې په ځای کولو سره لاندې معادله ترلاسه کېږي.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

په ځانګړي ډول، د خطي مسئلې لپاره \(Q(t) = K_L U(t)\) وي، نو پورته معادله لاندې بڼه اخلي.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

که د جرم ماتریس \(M\) د متمرکز جرم ماتریس او د میرایۍ ماتریس د تناسبي میرایۍ ماتریس \(C = R_m M\) په توګه وټاکل شي، معادله \(\eqref{eq:2.5.15}\) د هممهاله معادلې د حل اړتیا له منځه وړي.

له همدې امله، له معادلې \(\eqref{eq:2.5.15}\) څخه \(U(t+\Delta t)\) د لاندې معادلې په وسیله محاسبه کېدای شي.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

اړوند موضوعات¶

د تحلیل ډولونه — د ډینامیک تحلیل دندو عمومي کتنه او د کارونې توپیر
مراجع