د مودونو تحلیل¶

عمومي ځانګړی ارزښت مسئله¶

د پیوستار د آزاد ارتعاش د تحلیل لپاره جوړښت په فضا کې ډسکریټ کېږي او لکه په شکل 2.3.1 کې، د متمرکزو جرمونو لرونکي څو-آزادۍ-درجو سیستم په توګه ماډل کېږي. د بې‌میرایی آزاد ارتعاش مسئلې حاکمه معادله (د حرکت معادله) لاندې ده.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

دلته $u$ د عمومي بې‌ځایه‌کېدو ویکتور، $M$ د جرم ماتریس او $K$ د سختۍ ماتریس دی. طبیعي زاوي فریکونسي $\omega$ وټاکئ، $a$ او $b$ داسې دلخواه ثابتونه ونیسئ چې دواړه یوځای صفر نه وي، او $x$ ویکتور ونیسئ. تابع

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

تعریف کړئ. د هغې دوهم مشتق داسې دی:

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

معادله $\eqref{eq:2.3.2}$ او معادله $\eqref{eq:2.3.3}$ په معادله $\eqref{eq:2.3.1}$ کې ځای پر ځای کولو سره

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

پورتنۍ معادله ترلاسه کېږي.

د غیرصفر ارتعاش لپاره $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ په عیني ډول صفر نه دی، نو

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

پورتنۍ اړیکه ترلاسه کېږي. بیا که $\lambda=\omega^2$ وټاکل شي،

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

پورتنۍ معادله ترلاسه کېږي.

ضریب $\lambda$ ته ځانګړی ارزښت، ویکتور $x$ ته ځانګړی ویکتور او په معادله $\eqref{eq:2.3.5}$ ښودل شوې مسئلې ته عمومي ځانګړی ارزښت مسئله ویل کېږي.

طبیعي زاوي فریکونسي $\omega$ له ځانګړي ارزښت $\lambda=\omega^2$ څخه ترلاسه کېږي، او اړوند ځانګړی ویکتور $x$ د ارتعاش مود ښيي.

د بې‌میرایی آزاد ارتعاش د څو-آزادۍ-درجو سیستم بېلګه

شکل 2.3.1 د بې‌میرایی آزاد ارتعاش د څو-آزادۍ-درجو سیستم بېلګه

د ماتریس ځانګړنې او فرضیې¶

د مخکینۍ برخې د عمومي ځانګړي ارزښت مسئلې $Kx=\lambda Mx$ لپاره، دا لارښود فرض کوي چې اړوند ماتریسونه متقارن دي. د مختلطو ماتریسونو لپاره دا هرمیشني ماتریس او د حقیقي ماتریسونو لپاره متقارن ماتریس ته برابر دی.

که $k_{ij}$ د ماتریس $K$ د $ij$ عنصر وي، هرمیشني ځانګړنه داسې ښودل کېږي:

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

پورتنۍ معادله. دلته $\bar{k}_{ji}$ د $k_{ji}$ مختلط مزدوج دی. د حقیقي ماتریسونو لپاره دا اړیکه $k_{ij}=k_{ji}$ کېږي.

حقیقي متقارن ماتریس $H$ هغه وخت مثبت معین دی چې د هر غیرصفر ویکتور $x$ لپاره

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

پورتنۍ نامساوات پوره شي. په دې حالت کې د $H$ ټول ځانګړي ارزښتونه مثبت دي.

په جوړښتي ځانګړي ارزښت مسئله کې د جرم ماتریس $M$ عموماً مثبت معین ګڼل کېږي. خو د سختۍ ماتریس $K$ د قیدونو له مخې نیمه مثبت معین کېدای شي او د صلب-جسم مودونو اړوند صفر ځانګړي ارزښتونه لرلای شي.

د شیفټ شوي معکوس تکرار میتود¶

د محدودو عناصرو په جوړښتي تحلیل کې عموماً ټولو ځانګړو ارزښتونو ته اړتیا نشته؛ یوازې څو ټیټ‌رتبه ځانګړي ارزښتونه اکثره کافي وي. HEC-MW د لویو مسئلو لپاره طرحه شوی، نو لوی او ډېر نري ماتریسونه لري چې ګڼ صفر عناصر لري. له همدې امله مهمه ده چې د ټیټ‌رتبه مودونو ځانګړي ارزښتونه د دغو ځانګړنو په پام کې نیولو سره په اغېزمن ډول محاسبه شي.

د شیفټ $\sigma$ لپاره، که $-\sigma$ ځانګړی ارزښت نه وي او $K+\sigma M$ نامنفرد وي، معادله $\eqref{eq:2.3.5}$ داسې بدلېدای شي:

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

دا بدلون ځانګړی ویکتور $x$ نه بدلوي او ځانګړی ارزښت $\lambda$ په $1/(\lambda+\sigma)$ اړوي.

نو هر څومره چې $\lambda$ $-\sigma$ ته نږدې وي، د بدل شوي ځانګړي ارزښت مطلق ارزښت هومره لوی وي. په جوړښتي ځانګړي ارزښت مسئله کې $\lambda \geq 0$ او $\sigma \geq 0$ دي، نو تر ټولو ټیټ ځانګړی ارزښت په هغه ځانګړي ارزښت اوړي چې تر ټولو لوی مطلق ارزښت لري. د دې ځانګړنې په کارولو او په معادله $\eqref{eq:2.3.8}$ کې د داسې تکراري میتود په تطبیق سره چې لومړی د لوی مطلق ارزښت ځانګړو ارزښتونو ته همګرا کېږي، ټیټ‌رتبه ځانګړي ارزښتونه په پورته کېدونکي ترتیب اغېزمن موندل کېدای شي.

دې میتود ته د شیفټ شوي معکوس تکرار میتود ویل کېږي.

د قیدونو لرونکو تحلیلونو لپاره FrontISTR $\sigma = 0$ ټاکي، او معادله $\eqref{eq:2.3.8}$ په $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$ بدلېږي؛ یعنې بې‌شیفټه معکوس تکرار. په بې‌قیده آزاد–آزاد تحلیل کې $K$ منفرد دی، ځکه د صلب-جسم مودونو اړوند صفر ځانګړي ارزښتونه لري؛ $\sigma$ ته مثبت ارزښت ورکول $K+\sigma M$ نامنفرد کوي. د $\sigma$ ارزښت په !EIGEN کې د SIGMA له لارې ټاکل کېږي.

Lanczos میتود¶

د انتخاب دلیل (له Jacobi میتود سره پرتله)¶

Jacobi میتود یو مشهور کلاسیک میتود دی.

دا میتود هغه وخت اغېزمن دی چې ماتریس کوچنی او ډک وي. خو د HEC-MW ماتریسونه لوی او نري دي، نو Jacobi میتود نه کارول کېږي؛ پر ځای یې Lanczos تکراري میتود کارول کېږي.

الګوریتم او ځانګړنې¶

دا میتود چې C. Lanczos په 1950مو کلونو کې وړاندیز کړ، د ماتریس د درې‌قطري کولو الګوریتم دی او لاندې ځانګړنې لري.

تکراري میتود دی او محاسبه د ماتریس د نري‌والي په ساتلو ترسره کولای شي.
عملیات یې تر ډېره د ماتریس–ویکتور ضربونه دي، نو د موازي‌کولو لپاره مناسب دی.
د محدودو عناصرو له مېش سره تړلي هندسي ساحه‌وېش لپاره مناسب دی.
د موندل کېدونکو ځانګړو ارزښتونو شمېر یا د مودونو حد په محدودولو سره اغېزمنه محاسبه کوي.

Lanczos میتود له یوه لومړني ویکتور څخه پیلېږي، پرله‌پسې متعامد ویکتورونه جوړوي او د Krylov فرعي‌فضا بنسټ ترلاسه کوي.

په محدود دقت حساب کې د ګردونې تېروتنه ویکتورونه له متعامدوالي ایستلای شي. د دې اغېز د کمولو لپاره د FrontISTR پلي‌کونه هر ویکتور د مخکې ترلاسه شوو Lanczos بنسټیزو ویکتورونو پر وړاندې بیا متعامدوي.

هندسي مانا (Krylov فرعي‌فضا)¶

په معادله $\eqref{eq:2.3.8}$ کې د لاندې متغیر بدلونونو په پلي کولو سره

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

مسئله داسې بیا لیکل کېدای شي:

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

پورتنۍ معادله ترلاسه کېږي.

د هر مناسب غیرصفر ویکتور $q_0$ لپاره،

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

هغه فضا چې دا ویکتورونه یې غځوي

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

Krylov فرعي‌فضا بلل کېږي.

Lanczos میتود د دې Krylov فرعي‌فضا بنسټ په پرله‌پسې ډول جوړوي.

FrontISTR د جرم ماتریس $M$ پورې اړوند لاندې داخلي ضرب کاروي

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

ترڅو بنسټ متعامد-نورمال کړي. په لاندې شکلونو کې ښودل شوي داخلي ضرب $\langle x,y\rangle$ او نورم $\|x\|$ د FrontISTR په محاسبو کې په ترتیب سره د همدې $M$-داخلي ضرب او اړوند $M$-نورم په توګه

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

تعبیرېږي.

پر هر مناسب ویکتور $q_0$ د ماتریس $A$ ټاکلی خطي بدلون تطبیق کړئ، لکه په شکل 2.3.2 کې.

$د ماتریس $A$ په وسیله د $q_0$ خطي بدلون$

شکل 2.3.2 د ماتریس $A$ په وسیله د $q_0$ خطي بدلون

بدل شوی ویکتور په هغه فضا کې متعامد کېږي چې له اصلي ویکتور سره یې جوړوي. په مشخص ډول، د Gram-Schmidt متعامدول لکه په شکل 2.3.3 کې ترسره کېږي. ترلاسه شوی ویکتور $r_1$ وبولئ؛ نورمال کول یې $q_1$ ورکوي.

$ویکتور $q_1$ چې له $q_0$ سره متعامد دی$

شکل 2.3.3 ویکتور $q_1$ چې له $q_0$ سره متعامد دی

په همدې کړنلار له $q_1$ څخه $q_2$ ترلاسه کېږي. دلته $q_2$ له $q_1$ او $q_0$ دواړو سره متعامد دی، لکه په شکل 2.3.4 کې.

$ویکتور $q_2$ چې له $q_1$ او $q_0$ سره متعامد دی$

شکل 2.3.4 ویکتور $q_2$ چې له $q_1$ او $q_0$ سره متعامد دی

په دې ډول Lanczos میتود د Krylov فرعي‌فضا متعامد-نورمال بنسټ په پرله‌پسې ډول جوړوي. په تیوري کې د ځانګړي ارزښت مسئلې تقارن اجازه ورکوي چې دا تکرار د وروستیو بنسټیزو ویکتورونو په کارولو د درې‌حدي تکراري اړیکې په توګه ولیکل شي.

خو د FrontISTR پلي‌کونه، په محدود دقت حساب کې د متعامدوالي د له منځه تلو د کمولو لپاره، هر ویکتور د مخکې ترلاسه شوو Lanczos بنسټیزو ویکتورونو پر وړاندې د $M$-داخلي ضرب په کارولو بیا متعامدوي.

درې‌قطري کول¶

د FrontISTR په Lanczos تکرار کې بنسټیز ویکتورونه د مخکینۍ برخې له $M$-داخلي ضرب سره متعامد-نورمال کېږي، نو

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

پورتنۍ اړیکه پوره کېږي.

د معادلې $\eqref{eq:2.3.10}$ د ماتریس $A$ په کارولو، تیوریکي Lanczos تکرار داسې دی:

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

چې د پورتنۍ درې‌حدي تکراري اړیکې په توګه ښودل کېږي.

لومړی $\alpha_i$ داسې تعریف کړئ:

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

بیا لنډمهالی پاتې‌شونی داسې تعریف کړئ:

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

لکه پورته چې ښودل شوي.

په محدود دقت حساب کې د متعامدوالي د له منځه تلو د کمولو لپاره، د FrontISTR پلي‌کونه $\tilde{r}_{i+1}$ د مخکې ترلاسه شوو Lanczos بنسټیزو ویکتورونو پر وړاندې د $M$-داخلي ضرب په کارولو بیا متعامدوي. که $r_{i+1}$ له بیا متعامدولو وروسته پاتې‌شونی وي، نو

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

پورتنۍ اړیکې پوره کېږي.

د Lanczos تکرار له لارې ترلاسه شوي $m$ بنسټیز ویکتورونه په لاندې ډول راټول کړئ:

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

بیا د Lanczos له محدود شمېر تکرارونو وروسته

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

پورتنۍ اړیکه پوره کېږي.

دلته $e_m$ یو $m$-بعدي واحد ویکتور دی چې یوازې $m$-م جز یې 1 دی، او

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

یو متقارن درې‌قطري ماتریس دی.

نو د درې‌قطري ماتریس $T_m$ د ځانګړو ارزښتونو په محاسبه کولو سره د اصلي لویې ځانګړي ارزښت مسئلې ځانګړي ارزښتونه اټکل کېدای شي.

اړوند موضوعات¶

د فریکونسۍ د غبرګون تحلیل — د مودونو تحلیل پایلو په کارولو د فریکونسۍ غبرګون
د تحلیل ډولونه — د مودونو تحلیل د دندو عمومي کتنه