د فریکونسۍ د غبرګون تحلیل¶

د مسئلې ترتیب¶

د فریکونسۍ د غبرګون تحلیل هغه تحلیل دی چې کله بهرنی ځواک په هارمونیک ډول د وخت سره بدلېږي، د سیستم د ثابت حالت د غبرګون دامنه او فاز د فریکونسۍ په ډومېن کې ارزوي. ځکه چې د حرکت معادلې د بې‌میرایی او میرایي حالتونو لپاره بېلابېل چوکاټونه لري، په دې څپرکي کې لومړی له بې‌میرایی آزاد ارتعاش څخه ځانګړی مود راایستل کېږي او بیا د همدغه مودي بنسټ په کارولو د میرایي هارمونیک غبرګون پراخول ښودل کېږي.

بې‌میرایی آزاد ارتعاش او ځانګړی مود¶

که میرایي په پام کې ونه نیول شي، د حرکت معادله په لاندې ډول ده.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

که دا د هر ځانګړی مود له مخې پراخه کړو،

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

ترلاسه کېږي. د دې په معادله \(\eqref{eq:2.6.1}\) کې په ځای کولو سره،

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

ترلاسه کېږي. د دې عمومي ځانګړی ارزښت مسئلې عددي حل لارې (انتقال شوی معکوس تکرار او Lanczos میتود) په د مودونو تحلیل کې تشریح شوي دي. دلته د ترلاسه شویو طبیعي فریکونسیو او ځانګړی مود هغو ځانګړنو ته کتنه کېږي چې د هارمونیک غبرګون په راتلونکې پراختیا کې کارول کېږي.

د طبیعي فریکونسۍ حقیقي‌والی¶

دا چې طبیعي فریکونسي حقیقي ده، په لاندې ډول ثابتېږي. \(\omega_j^2 = \lambda_j\) وټاکئ؛ د معادلې \(\eqref{eq:2.6.3}\) د مختلط مزدوج په اخیستو سره معادله \(\eqref{eq:2.6.4}\) ترلاسه کېږي.

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

که دا په \(\overline{U}_J^T\) ضرب شي،

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

ترلاسه کېږي. له معادلې \(\eqref{eq:2.6.5}\) څخه،

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

ترلاسه کېږي. دلته د جرم ماتریس مثبت معین او متقارن دی، نو د غیرصفر ځانګړی ویکتور لپاره

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

صدق کوي. له همدې امله،

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

ترلاسه کېږي، او \(\omega_j^2 = \lambda_j\) حقیقي عدد دی.

د ځانګړی مود متعامدوالی او نرمالول¶

اوس دوه بېلابېل مود په پام کې ونیسئ.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

له دې څخه،

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

ترلاسه کېږي، او که ځانګړی ارزښت بېلابېل وي،

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

ترلاسه کېږي. یعنې بېلابېل ځانګړی مود د جرم ماتریس په نسبت متعامد دي. د هماغه مود لپاره، د جرم ماتریس په نسبت نرمالول (معادله \(\eqref{eq:2.6.12}\)) محاسبه او کارول اسانه کوي.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

د میرایي لاندې هارمونیک غبرګون¶

اوس د میرایي په پام کې نیولو سره د فریکونسۍ د غبرګون تحلیل فورمول‌بندي ښودل کېږي. اړونده د حرکت معادله په \(\eqref{eq:2.6.13}\) کې ده.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

دلته د میرایي جمله Rayleigh ډول فرض شوې او د \(\eqref{eq:2.6.14}\) په څېر ښودل کېږي.

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

د مودونو تحلیل څخه د ترلاسه شویو ځانګړی ویکتور په کارولو، د بې‌ځایه کېدو ویکتور په وخت t کې د معادلې \(\eqref{eq:2.6.15}\) په څېر پراخېدای شي.

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

په دې حالت کې، که د بهرني ځواک جمله د هارمونیک نوسانګر په بڼه وي،

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

نو \(b_{j}(t)\) ټاکل کېږي. ځکه چې د حرکت معادله \(\eqref{eq:2.6.13}\) د جبري ارتعاش بڼه اخلي،

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

صدق کوي. د \(b_{j}(t)\) د پراختیا ضریب حقیقي او موهومي برخې د معادلو \(\eqref{eq:2.6.18}i\) او \(\eqref{eq:2.6.19}\) په بڼه ترلاسه کېږي.

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]

\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

ترلاسه کېږي.

اړوند موضوعات¶

د مودونو تحلیل — د بنسټیزې ځانګړی ارزښت مسئلې فورمول‌بندي
د ډینامیک تحلیل طریقې — د وخت په ډومېن کې ډینامیک تحلیل
د تحلیل ډول — د فریکونسۍ د غبرګون تحلیل د دندې لنډیز