د تودوخې د ناپایدار هدایت تحلیل
د محدودو عناصرو میتود (Finite Element Method) په وسیله د جامد د تودوخې د هدایت تحلیل د وخت ډسکریټ کول او تکراري حل لاره ښودل کېږي. د پیوستار حاکمې معادلې او سرحدي شرطونو لپاره د تودوخې د هدایت معادله وګورئ.
ډسکریټ شوې معادله (د پیل ټکی)
کله چې د تودوخې د هدایت معادله (د تودوخې د هدایت معادله (gov_he_main)) د Galerkin میتود په وسیله ډسکریټ کول شي،
\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]
چېرې چې،
\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]
دلته \(K\)، \(M\)، \(F\) او \(N\) په ترتیب سره د تودوخې د هدایت ماتریس (چې د سرحدي ونډې د همرفت او تشعشع جملې هم پکې شاملې دي)، د جرم ماتریس، د حرارتي بار ویکتور او د شکل دندو ماتریس دي. د مادي ځانګړنو د نښو (\(\rho\)، \(c\)، \(k_x, k_y, k_z\)، \(Q\)، \(hc\)، \(hr\) او نورو) تعریفونه د د تودوخې د هدایت معادله مطابق دي.
د وخت ډسکریټ کول او تکراري حل
معادله \(\eqref{eq:2.4.8}\) غیرخطي او ناپایداره معادله ده. اوس وخت د backward Euler میتود په وسیله ډسکریټ کول کوو. که په \(t=t_0\) کې تودوخه معلومه وي، په \(t=t_0+\Delta t\) کې تودوخه د لاندې معادلې له مخې محاسبه کېږي.
\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]
د تودوخې ویکتور \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\) چې معادله \(\eqref{eq:2.4.13}\) په تقریبي ډول پوره کوي، ښه کوو ترڅو دقیقتر حل \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\) ترلاسه شي.
د دې لپاره، لومړی د تودوخې ویکتور په لاندې ډول څرګندوو.
\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]
د تودوخې د هدایت ماتریس او د تودوخې ویکتور حاصلضرب، د جرم ماتریس او نور مقدارونه په لاندې ډول تقریبي ښودل کېږي.
\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]
که معادلې \(\eqref{eq:2.4.14}\)، \(\eqref{eq:2.4.15}\) او \(\eqref{eq:2.4.16}\) په \(\eqref{eq:2.4.13}\) کې ځای پر ځای او د دوهم او لوړ نظم جملې حذف شي، لاندې معادله ترلاسه کېږي.
\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]
سربېره پر دې، د چپ لوري د ضریب ماتریس په لاندې معادله تقریبي ارزول کېږي.
\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]
دلته \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) د مماسي سختۍ ماتریس دی.
په پای کې، د لاندې معادلې په کارولو د تکراري محاسبې له لارې په \(t=t_0+\Delta t\) کې تودوخه محاسبه کېدای شي.
\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]
په ځانګړې توګه، په ثابت تحلیل کې تکراري محاسبه د لاندې معادلې په کارولو ترسره کېږي.
\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]
په ناپایدار تحلیل کې د وخت زیاتون \(\Delta t\) عموماً د ثبات له مخې په اندازه نه محدودېږي، ځکه د وخت ډسکریټ کول لپاره ضمني میتود کارول کېږي. خو که \(\Delta t\) ډېر لوی وي، د تکراري محاسبې د همګرایۍ لپاره د تکرارونو شمېر زیاتېږي. په عمومي ډول، که د وخت زیاتون \(\Delta t\) ډېر لوی وي، د تکرارونو شمېر زیاتېږي. په پیادهسازۍ کې د پاتېشونی ویکتور اندازه څارل کېږي؛ که همګرایي ورو وي \(\Delta t\) کمېږي، او که تکرارونه لږ وي \(\Delta t\) زیاتېږي. د جزیاتو لپاره ګام کنټرول وګورئ.
اړوند موضوعات