Skip to content

د هندسي سرحدي شرطونو پروسس

هغه خطي معادله \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) چې د د Newton-Raphson میتود په هر تکرار کې حل کېږي، لا هندسي سرحدي شرطونه، یعنې د بې‌ځایه‌کېدو قیدونه، نه لري. په دې فصل کې ښودل کېږي چې د هغو آزادۍ درجو لپاره چې د بې‌ځایه‌کېدو قید \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) ورکړل شوی، د کلکوالي ماتریس \(\boldsymbol{K}\) او پاتې‌شوني ویکتور \(\boldsymbol{R}\) څنګه بدل شي څو د تکرار وروسته بې‌ځایه‌کېدل ټاکلي قید ارزښت ته ورسېږي. څو-ټکي قیدونه (MPC) او د تماس غیرخطي قیدونه په جلا لارو پروسس کېږي؛ د هغوی لپاره څو-ټکي قید او تماس وګورئ.

د بې‌ځایه‌کېدو قید د نامعلوم متغیر په توګه ساتل

د هندسي سرحدي شرط لرونکي نوډ بې‌ځایه‌کېدل نور حقیقي نامعلوم نه دي، بلکې ټاکلي ارزښت \(\bar{u}_i\) ته ثابت شوي دي. دا ارزښتونه د ثابتونو په توګه له خطي معادلې \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) څخه حذف کېدای شي. خو FrontISTR قید شوې آزادۍ درجې هم د نورو آزادۍ درجو په شان د اصلاح ویکتور \(d\boldsymbol{u}\) کې ساتي، او قید د \(\boldsymbol{K}\) او \(\boldsymbol{R}\) په بدلولو پلي کوي.

په دې طریقه د ضریب ماتریس ابعاد او د آزادۍ درجو ترتیب د قید په شتون یا نه‌شتون نه بدلېږي. نو د متغیر له حذف وروسته د تشو قطارونو او ستنو د بیا بسته کولو اړتیا نه وي. ځکه دا بیا بسته کول د نري ماتریس په تطبیق کې پېچلي دي، FrontISTR هغه طریقه کاروي چې یوازې ضریب ماتریس او ښی لاس تازه کوي.

د Newton-Raphson د اصلاح مقدار هدف

د قید شوې آزادۍ درجې \(i\) لپاره، د Newton-Raphson په تکرار کې د اصلاح مقدار \(du_i\) باید لاندې هدف پوره کړي:

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{لومړی تکرار}) \\ 0 & (\text{له دویم تکرار څخه وروسته}) \end{cases} \]

د دې لپاره \(\boldsymbol{K}\) او \(\boldsymbol{R}\) بدلېږي. په دې توګه په لومړي تکرار کې د بې‌ځایه‌کېدو افزایشي مقدار د قید ارزښت \(\bar{u}_i\) ته رسېږي، او په ورپسې تکرارونو کې اصلاح \(0\) کېږي او قید ارزښت ساتل کېږي.

د ماتریس او پاتې‌شوني ویکتور د بدلون کړنلاره

پورته هدف د خطي معادلې \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) د بڼې له ساتلو سره په لاندې دوو بدلونونو پوره کېږي.

  1. د \(i\) قطار قطري کول: د \(du_i\) ضریب، یعنې قطري مؤلفه \(K_{ii}\)، په \(1\) بدله کړئ، ټول نور ضریبونه \(K_{ij}\ (j \not= i)\) په \(0\) بدل کړئ، او ښی لاس \(R_i \to d\bar{u}_i\) کړئ. په دې سره د \(i\) قطار معادله \(du_i = d\bar{u}_i\) کېږي.
  2. له \(j(\not= i)\) قطار څخه ښي لاس ته انتقال: که په قطار \(j(\not= i)\) کې \(K_{ji} \not= 0\) وي، عبارت \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) ښي لاس ته انتقال کړئ. یعنې له ښي لاس څخه \(K_{ji} d\bar{u}_i\) کم کړئ او د \(du_i\) ضریب \(K_{ji}\) په \(0\) بدل کړئ.

په مؤلفوي بڼه، د بدلون مخکې او وروسته معادلې داسې دي:

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]
\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

بدل شوی ضریب ماتریس او ښی لاس په ترتیب سره \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\) وبولو. وروستۍ خطي معادله چې باید حل شي:

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

ده. که څو قید شوې آزادۍ درجې وي، پورته 1 او 2 بدلونونه د هرې قید شوې آزادۍ درجې \(i\) لپاره په ترتیب تطبیقېږي.

په نري ماتریس کې د پروسس محدوده

په تطبیق کې ضریب ماتریس \(\boldsymbol{K}\) په نري بڼه ساتل کېږي، نو د مخکینۍ برخې په دویم ګام کې د \(j(\not= i)\) قطار پروسس یوازې هغو قطارونو ته اړتیا لري چې په \(i\) ستن کې غیرصفر مؤلفه لري. دا هغه آزادۍ درجې دي چې د عناصرو له لارې له قید شوې آزادۍ درجې \(i\) سره نښتي وي. د نه‌نښلو آزادۍ درجو لپاره \(K_{ji} = 0\) دی، نو ښی لاس د انتقال له امله نه بدلېږي. په دې محدودیت سره د ټولو نوډونو پر ځای یوازې محلي عملیات د قید پروسس بشپړوي.

اړوند موضوعات