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Formulações avançadas de elementos

A formulação padrão baseada em deslocamentos apresentada em Formulação de elementos sólidos 3D apresenta rigidez artificial excessiva, conhecida como travamento (travamento volumétrico ou travamento por cisalhamento), quando aplicada a materiais quase incompressíveis ou a estruturas de paredes finas dominadas por flexão. Para evitar isso, o FrontISTR fornece os métodos B-bar e F-bar, que substituem apenas a parte volumétrica da matriz B ou do gradiente de deformação; elementos incompatíveis com graus de liberdade internos; elementos mistos u-p, que tratam a pressão como um campo desconhecido independente; e elementos de casca MITC e elementos de viga especializados em estruturas de placas e vigas.

Este capítulo resume, elemento por elemento, as formulações desses elementos avançados e elementos estruturais.

Método B-bar

Quando um elemento hexaédrico linear de 8 nós é usado para um material quase incompressível, o campo de deformações dentro de um elemento pode entrar em conflito com a restrição de volume constante, produzindo rigidez excessiva conhecida como travamento volumétrico. O método B-bar reduz essa sobrerrestrição substituindo os componentes da matriz B que contribuem para a expansão volumétrica por valores avaliados no centro do elemento [Hughes1980].

No centro do elemento \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\), seja \(\bar{\boldsymbol{B}}\) a matriz B calculada a partir das derivadas espaciais das funções de forma; no ponto de integração \(\boldsymbol{r}\), seja \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) a matriz B usual. Na relação deslocamento-deformação para o nó \(\alpha\) e o grau de liberdade \(i\), os componentes de deformação volumétrica \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) são modificados adicionando-se

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

Para os componentes de cisalhamento \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\), utiliza-se a \(\boldsymbol{B}\) usual. A rigidez do elemento e o vetor de forças internas são montados usando a matriz B-bar resultante.

O FrontISTR fornece essa formulação especificamente para o elemento hexaédrico linear de 8 nós (ID de elemento 361; consulte Sistema de numeração dos elementos), e ela pode ser aplicada às formulações de pequenas deformações, Lagrangiana Total e Lagrangiana Atualizada.

Método F-bar

Em deformações finitas, a variação volumétrica entra de forma não linear por meio do gradiente de deformação \(\boldsymbol{F}\). O método F-bar [deSouzaNeto1996] aplica, no nível do gradiente de deformação, um tratamento do travamento volumétrico análogo ao método B-bar.

No centro do elemento \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\), seja \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) a razão de volume do gradiente de deformação avaliado nesse ponto, e seja \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) a razão de volume em um ponto de integração. O gradiente de deformação no ponto de integração é substituído por

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Isso fornece \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), de modo que a razão de volume em todo o elemento é igualada ao valor no centro do elemento. O \(\bar{\boldsymbol{F}}\) substituído é usado para a avaliação das tensões e a construção da matriz deformação-deslocamento, e a rigidez tangente do elemento inclui os termos adicionais associados a essa substituição.

O FrontISTR implementa o método F-bar especificamente para o elemento hexaédrico linear de 8 nós, e ele pode ser aplicado tanto a pequenas deformações quanto às formulações geométricas não lineares Lagrangiana Total / Lagrangiana Atualizada.

Elementos incompatíveis

O elemento hexaédrico linear de 8 nós não possui os modos de deformação necessários à flexão e apresenta travamento por flexão em problemas dominados por flexão. Elementos incompatíveis [Taylor1976] introduzem modos adicionais de deslocamento dentro do elemento para compensar essa deficiência.

Além dos deslocamentos nodais do elemento \(\boldsymbol{u}^e\), são introduzidos graus de liberdade de modo incompatível \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\), existentes apenas dentro do elemento, como 3 direções × 3 modos por elemento, e o campo de deslocamentos é aproximado como

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Para as coordenadas naturais \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), as funções de forma incompatíveis são tomadas como \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) e \(M_3 = 1 - \zeta^2\). Elas não garantem continuidade entre os contornos dos elementos, mas acrescentam um espaço interno capaz de reproduzir as deformações associadas aos modos de flexão.

A rigidez do elemento é inicialmente montada em forma de blocos de graus de liberdade externos/internos

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Após a montagem nessa forma, a condensação estática elimina os graus de liberdade internos usando \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), produzindo a rigidez do elemento envolvendo apenas os graus de liberdade externos

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

que é passada para a montagem global.

O FrontISTR implementa o elemento incompatível especificamente para o elemento hexaédrico linear de 8 nós (C3D8IC), e ele pode ser aplicado às formulações de pequenas deformações, Lagrangiana Total e Lagrangiana Atualizada.

Elementos mistos U-P

Enquanto os métodos B-bar e F-bar corrigem o componente volumétrico dentro de uma formulação baseada em deslocamentos, o elemento misto u-p (U-P) usa uma formulação mista [Bathe1996] que introduz a pressão \(\lambda\) como um campo desconhecido independente do deslocamento. Para materiais quase incompressíveis, como materiais do tipo borracha com coeficiente de Poisson extremamente próximo de 0.5 ou metais após deformação plástica, impor a restrição de volume constante usando apenas o campo de deslocamentos causa travamento volumétrico; tratar a pressão como variável independente relaxa essa restrição.

A tensão é separada em componentes desviador e de pressão como

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Aqui, \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) é a matriz elástica desviadora obtida removendo da matriz elástica a parte volumétrica proporcional ao módulo volumétrico \(K\). A pressão \(\lambda\) e a deformação volumétrica \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) são relacionadas pela restrição por meio da compressibilidade \(\alpha^{-1} = 1/K\)

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

A discretização com o deslocamento \(\boldsymbol{u}\) e a pressão \(\lambda\) como incógnitas produz o sistema acoplado do elemento

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

onde \(\mathbf{K}_{uu}\) contém a contribuição elástica desviadora e, para deformações finitas, a rigidez geométrica; \(\mathbf{K}_{up}\) acopla deformação volumétrica e pressão; e \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) é o termo de estabilização da pressão (\(\boldsymbol{N}_p\) é a função de forma da pressão). Como os graus de liberdade de pressão são internos ao elemento,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

a condensação estática é realizada nessa forma, e a rigidez efetiva envolvendo apenas os graus de liberdade externos (deslocamentos) é passada para a montagem global.

O FrontISTR implementa o elemento U-P especificamente para o elemento hexaédrico linear de 8 nós, com um grau de liberdade de pressão por elemento (constante dentro do elemento). Ele pode ser aplicado às formulações de pequenas deformações, Lagrangiana Total e Lagrangiana Atualizada. Na formulação Lagrangiana Atualizada, a tensão desviadora é atualizada usando uma taxa objetiva de tensão (tipo Jaumann/Hughes-Winget), e então a pressão \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) é imposta usando o valor obtido pela condensação estática.

Elementos de casca

Elementos de casca baseados na teoria de placas/cascas de Reissner-Mindlin são usados para estruturas de placas e cascas de paredes finas. À medida que a espessura diminui, elementos de placa/casca de baixa ordem baseados em deslocamentos superestimam a deformação de cisalhamento transversal por um mecanismo análogo ao travamento volumétrico (travamento por cisalhamento), fazendo a rigidez dos modos de flexão aumentar excessivamente. O método MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] evita esse problema reamostrando apenas os componentes de deformação por cisalhamento em pontos de ligação predefinidos no elemento e interpolando esses valores amostrados novamente sobre o elemento.

Os nós de um elemento de casca MITC ficam na superfície média, e cada nó possui seis graus de liberdade: três componentes translacionais e três componentes rotacionais em torno do sistema de coordenadas normal à superfície média. A rigidez do elemento é avaliada por integração gaussiana tridimensional nas coordenadas naturais da superfície média e na direção da espessura, e a espessura \(h\) é fornecida como propriedade do elemento durante a avaliação constitutiva.

O FrontISTR fornece MITC3 (ID de elemento 731), MITC4 (741) e MITC9 (743), representados por uma única camada na superfície média, bem como os elementos de casca em camadas MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 nós, 3 graus de liberdade por nó) e MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 nós, 3 graus de liberdade por nó), cujos nós são dispostos em duas camadas ao longo da espessura. Nos elementos de casca em camadas, os graus de liberdade nodais consistem apenas em três componentes translacionais, enquanto os modos de flexão correspondentes aos graus de liberdade rotacionais são representados pela disposição em duas camadas.

Elementos de viga

Membros lineares, como vigas e estruturas de pórticos, são discretizados com elementos de viga. Os elementos de viga representam a deformação no interior da seção por constantes de seção e descrevem o alongamento, a flexão e a torção somente pelas translações e rotações dos nós situados no eixo da viga.

Cada nó de um elemento de viga possui seis graus de liberdade: três componentes translacionais e três componentes rotacionais. A rigidez do elemento é obtida formando, em um sistema de coordenadas local definido pelo eixo do elemento e pelo eixo de referência especificado nos dados da seção, matrizes de rigidez em forma fechada para alongamento, flexão em duas direções e torção e, em seguida, transformando-as para o sistema de coordenadas global. Como dados da seção são especificados a área da seção transversal \(A\), em torno dos eixos locais \(y\) e \(z\) os segundos momentos de área \(I_y\) e \(I_z\), e a constante de torção; juntamente com o módulo de Young \(E\) e o módulo de cisalhamento \(G\) obtido a partir do módulo de Young e do coeficiente de Poisson, eles constituem os respectivos coeficientes de rigidez.

Para a flexão, há a viga de Bernoulli-Euler, que supõe que a seção permaneça perpendicular ao eixo da viga após a deformação e despreza a deformação por cisalhamento, e a viga de Timoshenko, que considera a deformação por cisalhamento. No elemento de viga de 2 nós 611, ambas podem ser selecionadas; a viga de Bernoulli-Euler é a opção padrão. Para a viga de Timoshenko, sendo \(L\) o comprimento do elemento, os coeficientes que representam a contribuição da deformação por cisalhamento

\[ \Phi_y = \frac{12 E I_z}{G A_s L^2}, \qquad \Phi_z = \frac{12 E I_y}{G A_s L^2} \]

são incluídos nos coeficientes de rigidez dos respectivos planos de flexão. Por exemplo, o coeficiente de rigidez para a deflexão na direção local \(y\) é \(12 E I_z / \{ L^3 (1 + \Phi_y) \}\). \(A_s\) é a área de cisalhamento. Como os dados de seção do FrontISTR não possuem \(A_s\) separadamente, adota-se \(A_s = A\). Isso equivale a adotar um fator de correção de cisalhamento igual a 1. Fazendo \(\Phi_y = \Phi_z = 0\), obtém-se a rigidez da viga de Bernoulli-Euler.

O elemento 641 é um elemento de graus de liberdade mistos que representa uma viga com dois nós que possuem graus de liberdade translacionais e dois nós que possuem graus de liberdade rotacionais; sua formulação é a de uma viga de Bernoulli-Euler.

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