Análise modal¶

Problema generalizado de autovalores¶

Para analisar a vibração livre de um meio contínuo, realiza-se a discretização espacial e modela-se o sistema como um sistema de múltiplos graus de liberdade com massas concentradas, conforme mostrado na Figura 2.3.1. Para um problema de vibração livre não amortecida, a equação governante (equação do movimento) é a seguinte.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Aqui, $u$ é o vetor de deslocamentos generalizados, $M$ é a matriz de massa e $K$ é a matriz de rigidez. Seja $\omega$ a frequência angular natural, sejam $a$ e $b$ constantes arbitrárias que não sejam simultaneamente nulas e seja $x$ um vetor. Define-se a função

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Sua segunda derivada é

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Substituindo a Equação $\eqref{eq:2.3.2}$ e a Equação $\eqref{eq:2.3.3}$ na Equação $\eqref{eq:2.3.1}$, obtém-se

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

Assim, obtém-se a relação acima.

Para uma vibração não trivial, $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ não é identicamente nulo. Portanto,

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

obtém-se a relação acima. Assim, fazendo $\lambda=\omega^2$, resulta

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

Assim, obtém-se a equação acima.

O escalar $\lambda$ é denominado autovalor, o vetor $x$ é denominado autovetor e o problema expresso pela Equação $\eqref{eq:2.3.5}$ é denominado problema generalizado de autovalores.

A frequência angular natural $\omega$ é obtida a partir do autovalor $\lambda=\omega^2$, e o autovetor correspondente $x$ representa um modo de vibração.

Exemplo de sistema de múltiplos graus de liberdade para vibração livre não amortecida

Figura 2.3.1 Exemplo de sistema de múltiplos graus de liberdade para vibração livre não amortecida

Propriedades e hipóteses das matrizes¶

Para o problema generalizado de autovalores $Kx=\lambda Mx$ obtido na seção anterior, este manual pressupõe que as matrizes consideradas são simétricas. No caso de matrizes complexas, isso corresponde a matrizes hermitianas; no caso de matrizes reais, a matrizes simétricas.

Seja $k_{ij}$ o elemento $ij$ da matriz $K$. A propriedade hermitiana é expressa por

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

em que $\bar{k}_{ji}$ é o conjugado complexo de $k_{ji}$. Para matrizes reais, essa relação se torna $k_{ij}=k_{ji}$.

Uma matriz real simétrica $H$ é definida positiva se, para todo vetor não nulo $x$,

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

a desigualdade acima é satisfeita. Nesse caso, todos os autovalores de $H$ são positivos.

Em um problema estrutural de autovalores, a matriz de massa $M$ normalmente é tratada como definida positiva. Por outro lado, dependendo das condições de restrição, a matriz de rigidez $K$ pode ser semidefinida positiva e pode ter autovalores nulos correspondentes a modos de corpo rígido.

Iteração inversa com deslocamento¶

Na análise estrutural prática pelo método dos elementos finitos, em geral não são necessários todos os autovalores; frequentemente bastam alguns autovalores de baixa ordem. O HEC-MW foi concebido para problemas de grande escala, nos quais as matrizes são grandes e extremamente esparsas, com muitos elementos nulos. Portanto, é importante calcular com eficiência os autovalores dos modos de baixa ordem levando em conta essas características.

Para um deslocamento $\sigma$, se $-\sigma$ não for um autovalor e $K+\sigma M$ for não singular, a Equação $\eqref{eq:2.3.5}$ poderá ser transformada da seguinte forma.

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Essa transformação mantém o autovetor $x$ inalterado e mapeia o autovalor $\lambda$ em $1/(\lambda+\sigma)$.

Consequentemente, quanto mais próximo $\lambda$ estiver de $-\sigma$, maior será o valor absoluto do autovalor transformado. Em um problema estrutural de autovalores, $\lambda \geq 0$ e $\sigma \geq 0$; portanto, o menor autovalor é mapeado no autovalor de maior valor absoluto. Aproveitando essa propriedade, ao aplicar à Equação $\eqref{eq:2.3.8}$ um método iterativo que tende a convergir primeiro para autovalores de grande valor absoluto, os autovalores de baixa ordem podem ser obtidos com eficiência em ordem crescente.

Esse método é denominado iteração inversa com deslocamento.

Em análises com restrições, o FrontISTR define $\sigma = 0$, e a Equação $\eqref{eq:2.3.8}$ se torna $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$, isto é, uma iteração inversa sem deslocamento. Em uma análise livre-livre sem restrições, $K$ é singular porque possui autovalores nulos correspondentes a modos de corpo rígido; atribuir um valor positivo a $\sigma$ regulariza $K+\sigma M$. O valor de $\sigma$ é especificado por SIGMA em !EIGEN.

Método de Lanczos¶

Motivação para o uso (comparação com o método de Jacobi)¶

O método de Jacobi é um método clássico bem conhecido.

Ele é eficaz quando a matriz é pequena e densa. No entanto, como as matrizes tratadas pelo HEC-MW são grandes e esparsas, o método de Jacobi não é adotado; em seu lugar, utiliza-se o método iterativo de Lanczos.

Algoritmo e características¶

Proposto por C. Lanczos na década de 1950, esse método é um algoritmo para tridiagonalizar uma matriz e apresenta as seguintes características.

É um método iterativo e permite realizar o cálculo mantendo a matriz esparsa.
Suas operações consistem principalmente em produtos matriz-vetor, o que o torna adequado à paralelização.
É adequado à decomposição geométrica de domínio associada a malhas de elementos finitos.
Permite realizar cálculos eficientes limitando o número de autovalores ou o intervalo de modos a serem obtidos.

O método de Lanczos parte de um vetor inicial, constrói sucessivamente vetores ortogonais e obtém uma base para um subespaço de Krylov.

Na aritmética de precisão finita, erros de arredondamento podem fazer com que os vetores percam a ortogonalidade. Para reduzir esse efeito, a implementação do FrontISTR reortogonaliza cada vetor em relação aos vetores da base de Lanczos já obtidos.

Interpretação geométrica (subespaço de Krylov)¶

Aplicando as seguintes mudanças de variável à Equação $\eqref{eq:2.3.8}$,

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

o problema pode ser reescrito como

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

Assim, obtém-se a equação acima.

Para um vetor arbitrário não nulo $q_0$,

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

o espaço gerado por esses vetores,

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

é denominado subespaço de Krylov.

O método de Lanczos constrói sucessivamente uma base para esse subespaço de Krylov.

O FrontISTR utiliza o seguinte produto interno associado à matriz de massa $M$

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

para ortonormalizar a base. O produto interno $\langle x,y\rangle$ e a norma $\|x\|$ mostrados nas figuras a seguir são interpretados, nos cálculos do FrontISTR, como esse produto interno associado a $M$ e a correspondente norma associada a $M$

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

respectivamente.

Aplica-se ao vetor arbitrário $q_0$ a transformação linear definida pela matriz $A$, conforme mostrado na Figura 2.3.2.

$Transformação linear de $q_0$ pela matriz $A$$

Figura 2.3.2 Transformação linear de $q_0$ pela matriz $A$

O vetor transformado é ortogonalizado no espaço gerado por ele e pelo vetor original. Especificamente, realiza-se a ortogonalização de Gram-Schmidt mostrada na Figura 2.3.3. Seja $r_1$ o vetor resultante; sua normalização fornece $q_1$.

$Vetor $q_1$ ortogonal a $q_0$$

Figura 2.3.3 Vetor $q_1$ ortogonal a $q_0$

O mesmo procedimento fornece $q_2$ a partir de $q_1$. Nesse caso, $q_2$ é ortogonal tanto a $q_1$ quanto a $q_0$, conforme mostrado na Figura 2.3.4.

$Vetor $q_2$ ortogonal a $q_1$ e a $q_0$$

Figura 2.3.4 Vetor $q_2$ ortogonal a $q_1$ e a $q_0$

Dessa forma, o método de Lanczos constrói sucessivamente uma base ortonormal do subespaço de Krylov. Em teoria, a simetria do problema de autovalores permite expressar essa iteração como uma recorrência de três termos que utiliza os vetores de base mais recentes.

No entanto, a implementação do FrontISTR reortogonaliza cada vetor em relação aos vetores da base de Lanczos já obtidos usando o produto interno associado a $M$, para reduzir a perda de ortogonalidade causada pela aritmética de precisão finita.

Tridiagonalização¶

Na iteração de Lanczos do FrontISTR, os vetores de base são ortonormalizados em relação ao produto interno associado a $M$ descrito na seção anterior, de modo que

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

a relação acima é satisfeita.

Usando a matriz $A$ da Equação $\eqref{eq:2.3.10}$, a iteração teórica de Lanczos é expressa por

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

a recorrência de três termos acima.

Primeiro, define-se $\alpha_i$ por

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

Em seguida, define-se o resíduo provisório como

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

Assim, fica definido o resíduo provisório.

Para reduzir a perda de ortogonalidade causada pela aritmética de precisão finita, a implementação do FrontISTR reortogonaliza $\tilde{r}_{i+1}$ em relação aos vetores da base de Lanczos já obtidos, usando o produto interno associado a $M$. Se $r_{i+1}$ for o resíduo após a reortogonalização, então

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

as relações acima são satisfeitas.

Agrupando os $m$ vetores de base obtidos pela iteração de Lanczos em

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

após um número finito de iterações de Lanczos, tem-se

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

a relação acima.

Aqui, $e_m$ é o vetor unitário de dimensão $m$ cuja componente $m$-ésima é 1, e

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

é uma matriz tridiagonal simétrica.

Assim, os autovalores do problema original de grande escala podem ser aproximados calculando-se os autovalores da matriz tridiagonal $T_m$.

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