Verificação com modelos de geometria simples¶

Análise estática elástica¶

Nesta verificação, é usada uma viga em balanço discretizada em malha como mostrado na Figura 9.1.1. Foram realizadas análises para sete casos, de exA a exG, variando-se as condições de carregamento conforme mostrado na Figura 9.1.2. O caso exG possui as mesmas condições de carregamento de exA, mas é um caso de verificação que utiliza um solver direto.

Os resultados da verificação de cada condição de carga são apresentados nas Tabelas 9.1.1 a 9.1.7.

Figura 9.1.1 Exemplo de malha de uma viga em balanço (elementos hexaédricos)

	(a) exA,G: carga concentrada
	(b) exD: gravidade
	(c) exB: carga distribuída na superfície
	(d) exE: força centrífuga
	(e) exC: carga volumétrica
	(f) exF: carga térmica

Figura 9.1.2 Condições de verificação do modelo de viga em balanço

Tabela 9.1.1 exA: Resultados da verificação do problema de carga concentrada

Tabela 9.1.2 exB: Resultados da verificação do problema de carga distribuída na superfície

Tabela 9.1.3 exC: Resultados da verificação do problema de carga volumétrica

Tabela 9.1.4 exD: Resultados da verificação do problema de gravidade

Tabela 9.1.5 exE: Resultados da verificação do problema de força centrífuga

Tabela 9.1.6 exF: Resultados da verificação do problema de carga térmica

Tabela 9.1.7 exG: Resultados da verificação do método direto (problema de carga concentrada)

Análise estática não linear¶

(2-1) exnl1: Análise geometricamente não linear¶

O modelo de verificação do caso exI é idêntico aos modelos dos casos exA a exG. A Figura 9.1.3 mostra um esquema do modelo de verificação. É realizada uma análise geometricamente não linear deste modelo. Os resultados da verificação são apresentados na Tabela 9.1.8.

O cálculo não linear é realizado para a carga de referência \(P = 1.0\ \mathrm{kgf}\), com incremento de carga de \(0.1P\) ao longo de 10 etapas de carga.

Figura 9.1.3 Modelo de verificação

Tabela 9.1.8 exI: Resultados da verificação (histórico da deflexão máxima)

(2-2) exnl2: Análise de deformação elastoplástica¶

Este problema de verificação baseia-se no Test NL1 da NAFEMS (National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.)), e realiza uma análise de deformação elastoplástica incorporando não linearidade geométrica e várias leis de encruamento. A Figura 9.1.4 mostra o modelo de análise.

Figura 9.1.4 Modelo de análise de deformação elastoplástica

(1) Condições de verificação

(2) Condições de contorno

Todos os nós não listados aqui são totalmente restringidos. A solução teórica deste problema é a seguinte.

Em comparação, os resultados do cálculo são os seguintes.

Análise de contato (1)¶

Este problema de verificação baseia-se no problema de patch test de contato CGS-4 do National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), e testa a função de contato com deslizamento finito e atrito. A Figura 9.1.5 mostra o modelo de análise.

Figura 9.1.5 Modelo de análise de contato

A condição de equilíbrio deste problema é a seguinte.

Na fase de atrito aderente, a força de atrito é

e, na fase de atrito com deslizamento, é

Obtém-se, assim, a relação acima.

A comparação entre os resultados do cálculo e a solução analítica é a seguinte.

Análise de contato (2): problema de contato de Hertz¶

Nesta verificação, é analisado o problema de contato de Hertz entre um cilindro de comprimento infinito e um plano infinito. O raio do cilindro é \(R = 8\ \mathrm{mm}\), e o módulo de Young \(E\) e o coeficiente de Poisson \(\mu\) do corpo deformável são, respectivamente, \(1100\ \mathrm{MPa}\) e \(0.0\). Supõe-se ainda que a área de contato seja suficientemente pequena em comparação com o raio do cilindro e, considerando também a simetria do problema, a análise é realizada com um modelo de um quarto do cilindro.

Figura 9.1.6 Modelo de análise do problema de contato de Hertz

(1) Resultados da verificação do raio de contato¶

A fórmula teórica para calcular o raio de contato é a seguinte:

onde

Obtém-se, assim, a expressão acima. Nas presentes condições de cálculo, quando a pressão é \(F=100\), o raio de contato é \(a=1.36\).

A Figura 9.1.7 mostra as forças nodais equivalentes nos pontos de contato. O raio de contato é obtido extrapolando essa distribuição de forças nodais.

Figura 9.1.7 Distribuição das forças nodais equivalentes nos pontos de contato

(2) Resultados da verificação da tensão de cisalhamento máxima¶

Na solução teórica, na posição de contato

a tensão de cisalhamento máxima é

Essa é a tensão de cisalhamento máxima teórica. Nas presentes condições de cálculo,

Esse é o valor teórico nas condições de cálculo consideradas. Em comparação, foi obtido o resultado de cálculo

O cálculo, por sua vez, fornece o valor indicado acima.

Figura 9.1.8 Distribuição da tensão de cisalhamento (valor máximo = 15.6)

(3) Análise modal¶

Os modelos de verificação dos casos exJ e exK são idênticos aos modelos dos casos exA a exG. A Figura 9.1.9 mostra um esquema do modelo de verificação. É realizada uma análise modal deste modelo. São calculadas as três primeiras frequências naturais. O caso exJ utiliza um solver iterativo, enquanto o caso exK utiliza um solver direto. Os resultados da verificação são apresentados nas Tabelas 9.1.9 a 9.1.12.

Figura 9.1.9 Modelo de verificação

As frequências naturais da viga em balanço são obtidas pelas seguintes equações.

Primeira frequência natural

Segunda frequência natural

Terceira frequência natural

As propriedades do modelo de verificação são apresentadas na tabela a seguir.

Portanto, as três primeiras frequências naturais são as seguintes:

Tabela 9.1.9 exJ: Resultados da verificação pelo método iterativo (primeira frequência natural)

Tabela 9.1.10 exJ: Resultados da verificação pelo método iterativo (segunda frequência natural)

Nota: nos modelos tridimensionais, os dois primeiros modos são degenerados. Portanto, a terceira frequência natural calculada é apresentada na tabela como a segunda frequência natural.

Tabela 9.1.11 exK: Resultados da verificação pelo método direto (primeira frequência natural)

Tabela 9.1.12 exK: Resultados da verificação pelo método direto (segunda frequência natural)

Nota: nos modelos tridimensionais, os dois primeiros modos são degenerados. Portanto, a terceira frequência natural calculada é apresentada na tabela como a segunda frequência natural.

(4) Análise de condução de calor¶

As condições comuns das análises de condução de calor em regime estacionário são mostradas na Figura 9.1.10. As condições individuais dos casos de verificação exM a exT são mostradas na Figura 9.1.11. A discretização da malha é equivalente à utilizada em exA.

As Tabelas 9.1.13 a 9.1.20 apresentam as distribuições de temperatura obtidas em cada caso.

Dependência da condutividade térmica em relação à temperatura

Figura 9.1.10 Condições de verificação da análise de condução de calor em regime estacionário

exM: material linear
exN: problema de temperatura prescrita
exO: problema de fluxo de calor concentrado
exP: problema de fluxo de calor distribuído
exQ: problema de transferência de calor por convecção
exR: problema de transferência de calor por radiação
exS: problema de geração volumétrica de calor
exT: problema de gap interno

Figura 9.1.11 Condições de análise de cada caso de verificação

Tabela 9.1.13 exM: Resultados da verificação do cálculo em regime estacionário com material linear

Tabela 9.1.14 exN: Resultados da verificação do problema de temperatura prescrita

Tabela 9.1.15 exO: Resultados da verificação do problema de fluxo de calor concentrado

Tabela 9.1.16 exP: Resultados da verificação do problema de fluxo de calor distribuído

Tabela 9.1.17 exQ: Resultados da verificação do problema de transferência de calor por convecção

Tabela 9.1.18 exR: Resultados da verificação do problema de transferência de calor por radiação

Tabela 9.1.19 exS: Resultados da verificação do problema de geração volumétrica de calor

Tabela 9.1.20 exT: Resultados da verificação do problema de gap interno

Análise dinâmica linear¶

Em exW, é realizada uma análise dinâmica linear da mesma viga em balanço do item (1). A Figura 9.1.12 mostra as condições de verificação. Para a mesma discretização de malha, é verificado o efeito do incremento de tempo sobre os resultados. São utilizados os métodos de integração temporal implícito e explícito, com os tipos de elemento 361 e 342. Os resultados da verificação são apresentados na Tabela 9.1.22 e nas Figuras 9.1.13 a 9.1.15.

Modelo de análise

Histórico temporal da força externa F

A solução teórica para o deslocamento do ponto de excitação é a seguinte:

onde

Figura 9.1.12 Condições de verificação da análise dinâmica linear

Condições de verificação:

Tabela 9.1.21 Condições de verificação da análise dinâmica linear (continuação)

Tabela 9.1.22 exW: Resultados da verificação da análise dinâmica linear da viga em balanço

Figura 9.1.13 Diagrama de deformação e distribuição da tensão equivalente da viga em balanço

(a) Tipo de elemento 361: método implícito

(b) Tipo de elemento 361: método explícito

Figura 9.1.14 Histórico temporal do deslocamento do ponto de excitação \(u_z\)

(a) Tipo de elemento 342: método implícito

(b) Tipo de elemento 342: método explícito

Figura 9.1.15 Histórico temporal do deslocamento do ponto de excitação \(u_z\)

Análise de resposta em frequência¶

Nesta verificação, realiza-se uma análise de resposta em frequência de uma viga em balanço, e os resultados são verificados por comparação com os de um software comercial de uso geral. O modelo de análise e as condições de verificação são mostrados abaixo.

Condições de análise:

Figura 9.1.16 Modelo de análise (elementos tetraédricos de primeira ordem: 126 elementos, 55 nós)

São mostradas as cinco primeiras frequências naturais obtidas pela análise modal e a resposta em frequência no ponto de excitação.

Figura 9.1.17 Dependência da frequência da amplitude de deslocamento do ponto de excitação