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Integração numérica

Os vetores de forças internas dos elementos \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) e a matriz de rigidez do elemento \(\boldsymbol{K}^e\) obtidos em Discretização do trabalho virtual interno e Trabalho virtual das forças externas e montagem das equações globais assumem a forma de integrais sobre o domínio do elemento \(\Omega^e\) ou \(\Omega^e_0\). O FrontISTR avalia-os numericamente utilizando quadratura de Gauss.

Quadratura de Gauss e mudança de variáveis

A quadratura de Gauss aproxima uma integral sobre o domínio de referência \(\Xi\) por uma combinação linear dos valores do integrando nos pontos de integração \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) e dos pesos \(w_i\). A sua aplicação ao domínio do elemento \(\Omega^e\) implica uma mudança de variáveis através da aplicação \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\), obtendo-se

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

onde \(n_q\) é o número de pontos de integração e \(J_{\xi_i}\) é o determinante do Jacobiano da transformação. O domínio de referência \(\Xi\) é definido para cada tipo de elemento (para um hexaedro, \([-1,1]^3\); para triângulos, tetraedros e prismas, as formas de referência correspondentes), e os pontos de integração \(\boldsymbol{\xi}_i\) e os pesos \(w_i\) são fornecidos em tabelas numéricas. As integrais de superfície são tratadas da mesma forma, mapeando uma face do elemento a partir de um domínio de referência bidimensional.

Apresentam-se abaixo números representativos de pontos de integração utilizados pelo FrontISTR (para a correspondência com os tipos de elemento, consulte Sistema de numeração dos elementos e biblioteca de funções de forma).

Tipo de elemento Regra de quadratura Número de pontos de integração
Tetraedro de 4 nós (tet4n) Regra de 1 ponto 1
Tetraedro de 10 nós (tet10n) Regra de 4 pontos 4
Prisma triangular de 6 nós (prism6n) Regra de 2 pontos 2
Prisma triangular de 15 nós (prism15n) Regra de 9 pontos 9
Hexaedro de 8 nós (hex8n) Gauss-Legendre 2×2×2 8
Hexaedro de 20 nós (hex20n) Gauss-Legendre 3×3×3 27
Quadrilátero de 4 nós (quad4n) Gauss-Legendre 2×2 4
Quadrilátero de 8 nós (quad8n) Gauss-Legendre 3×3 9
Triângulo de 3 nós (tri3n) Regra de 1 ponto 1
Triângulo de 6 nós (tri6n) Regra de 3 pontos 3

Para elementos hexaédricos, quadriláteros e de linha, são utilizados produtos tensoriais da regra de Gauss-Legendre em cada direção de coordenadas. Triângulos, tetraedros e prismas triangulares utilizam regras específicas adequadas a geometrias do tipo simplex (disposições de pontos que integram exatamente polinómios sobre o próprio triângulo).

Aplicação à integração dos elementos

Na integração dos elementos, as coordenadas naturais \(\boldsymbol{r}\) são utilizadas como coordenadas do domínio de referência (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), e a aplicação para as coordenadas físicas é dada pela interpolação das coordenadas nodais utilizando as funções de forma. Consoante a escolha da configuração de referência (Estrutura da análise incremental), são utilizadas as formulações seguintes.

Método de Lagrange total (integração sobre a configuração de referência \(\Omega^e_0\)): a aplicação e o Jacobiano são

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

e a força interna do elemento e a matriz de rigidez são aproximadas por

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Todas as grandezas \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) são avaliadas no ponto de integração \(\boldsymbol{r}_i\).

Método de Lagrange atualizado (integração sobre a configuração atual \(\Omega^e\)): a aplicação e o Jacobiano são

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

e

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

são utilizadas como aproximações.

A única diferença entre as duas formulações é se as coordenadas nodais fornecidas à aplicação são \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) ou \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); os pontos de integração, os pesos e a estrutura do ciclo dos pontos de integração são comuns.

Integração completa e integração reduzida

A integração que utiliza pontos de integração suficientes para integrar exatamente o grau polinomial do integrando é denominada integração completa, enquanto a integração que utiliza um nível menos de pontos de integração é denominada integração reduzida. A integração reduzida é utilizada para aliviar o locking de corte e volumétrico, mas exige o tratamento de modos de deformação espúrios, como os modos de hourglass. O número de pontos de integração para cada tipo de elemento e a escolha entre integração completa e reduzida são abordados em Sistema de numeração dos elementos e biblioteca de funções de forma e nas secções seguintes, e em Formulações avançadas de elementos.

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