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Formulações avançadas de elementos

A formulação padrão baseada em deslocamentos apresentada em Formulação de elementos sólidos tridimensionais, quando aplicada a materiais quase incompressíveis ou estruturas de parede fina dominadas pela flexão, pode apresentar uma rigidez artificialmente excessiva denominada locking (locking volumétrico e locking de corte). Para evitar este problema, o FrontISTR disponibiliza os métodos B-bar e F-bar, que substituem apenas a componente volumétrica da matriz B ou do gradiente de deformação, elementos incompatíveis que introduzem graus de liberdade internos, elementos mistos u-p que tratam a pressão como um campo desconhecido independente e elementos de casca MITC e elementos de viga especializados em estruturas de placa e viga.

Este capítulo organiza, ao nível do elemento, as formulações destes elementos avançados e elementos estruturais.

Método B-bar

Quando um elemento hexaédrico linear de 8 nós é utilizado para um material quase incompressível, a deformação dentro de um elemento entra em conflito com a restrição de volume constante, originando uma rigidez excessiva denominada locking volumétrico. O método B-bar substitui, entre as componentes da matriz B, as que contribuem para a dilatação volumétrica pelos valores avaliados no centro do elemento, aliviando a sobrerrestrição [Hughes1980].

No centro do elemento \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\), seja \(\bar{\boldsymbol{B}}\) a matriz B calculada a partir das derivadas espaciais das funções de forma; no ponto de integração \(\boldsymbol{r}\), seja \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) a matriz B normal. Na relação deslocamento–deformação para o nó \(\alpha\) e o grau de liberdade \(i\), às componentes de deformação volumétrica \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\)

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

adiciona-se esta correção, enquanto para as componentes de corte \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) se utiliza a matriz \(\boldsymbol{B}\) normal. A rigidez do elemento e o vetor de forças internas são montados utilizando a matriz B-bar assim obtida.

No FrontISTR, esta formulação é disponibilizada exclusivamente para o elemento hexaédrico linear de 8 nós (ID de elemento 361, Sistema de numeração dos elementos) e é compatível com o regime de pequenas deformações, com a formulação lagrangiana total e com a formulação lagrangiana atualizada.

Método F-bar

Em deformações finitas, a alteração de volume atua de forma não linear através do gradiente de deformação \(\boldsymbol{F}\); por isso, o método F-bar [deSouzaNeto1996] aplica, ao nível do gradiente de deformação, uma medida contra o locking volumétrico equivalente ao método B-bar.

No centro do elemento \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\), seja \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) a razão volumétrica do gradiente de deformação, e seja \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) a razão volumétrica do gradiente de deformação no ponto de integração; o gradiente de deformação no ponto de integração é substituído por

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Deste modo, \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), e a razão volumétrica em todo o elemento é uniformizada para o valor no centro do elemento. A avaliação das tensões e a construção da matriz deformação–deslocamento utilizam o \(\bar{\boldsymbol{F}}\) após a substituição; na rigidez do elemento, a matriz tangente é montada incluindo os termos adicionais associados a esta substituição.

No FrontISTR, o método F-bar é implementado exclusivamente para o elemento hexaédrico linear de 8 nós e pode ser aplicado a pequenas deformações e a geometrias não lineares com a formulação lagrangiana total ou a formulação lagrangiana atualizada.

Elementos incompatíveis

O elemento hexaédrico linear de 8 nós não possui os graus de liberdade de deformação necessários para modos de flexão e apresenta locking de flexão em problemas dominados pela flexão. Para colmatar esta limitação, o elemento incompatível [Taylor1976] introduz modos de deslocamento adicionais no interior do elemento.

Além dos deslocamentos nodais do elemento \(\boldsymbol{u}^e\), são introduzidos graus de liberdade de modo incompatível \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\), existentes apenas no interior do elemento, correspondentes a 3 direções × 3 modos por elemento, aproximando-se o campo de deslocamentos por

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

As funções de forma incompatíveis são tomadas, nas coordenadas naturais \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), como \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) e \(M_3 = 1 - \zeta^2\). Embora não garantam continuidade na fronteira do elemento, acrescentam no interior do elemento um espaço capaz de reproduzir as deformações dos modos de flexão.

A rigidez do elemento é montada na forma de decomposição em blocos entre graus de liberdade externos e internos

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

e, depois, os graus de liberdade internos são eliminados por condensação estática, com \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), obtendo-se a rigidez do elemento apenas para os graus de liberdade externos

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

que é enviada para a montagem global.

No FrontISTR, o elemento incompatível é implementado exclusivamente para o elemento hexaédrico linear de 8 nós (C3D8IC) e é compatível com o regime de pequenas deformações, com a formulação lagrangiana total e com a formulação lagrangiana atualizada.

Elementos mistos U-P

Enquanto os métodos B-bar e F-bar corrigem a componente volumétrica dentro do quadro baseado em deslocamentos, o elemento misto u-p (U-P) introduz a pressão \(\lambda\) como um campo desconhecido independente do deslocamento, constituindo uma formulação mista [Bathe1996]. Em materiais quase incompressíveis (como materiais semelhantes à borracha, com coeficiente de Poisson extremamente próximo de 0.5, ou metais após deformação plástica), tentar satisfazer a restrição de volume constante apenas com o campo de deslocamentos provoca locking volumétrico; a introdução da pressão como variável independente relaxa esta restrição.

A tensão é decomposta numa componente desviadora e na pressão, escrevendo-se

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Aqui, \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) é a matriz elástica desviadora obtida removendo da matriz elástica a componente volumétrica proporcional ao módulo volumétrico \(K\). A pressão \(\lambda\) e a deformação volumétrica \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) estão relacionadas pela condição de restrição através da compressibilidade \(\alpha^{-1} = 1/K\)

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

A discretização que toma o deslocamento \(\boldsymbol{u}\) e a pressão \(\lambda\) como incógnitas conduz ao sistema de equações do elemento

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

Aqui, \(\mathbf{K}_{uu}\) contém a componente elástica desviadora e, em deformações finitas, a rigidez geométrica; \(\mathbf{K}_{up}\) é a matriz que acopla a deformação volumétrica e a pressão; e \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) é o termo de estabilização da pressão (\(\boldsymbol{N}_p\) é a função de forma da pressão). Como os graus de liberdade de pressão ficam confinados ao interior do elemento,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

são condensados estaticamente nesta forma, enviando-se para a montagem global apenas a rigidez efetiva dos graus de liberdade externos (deslocamento).

No FrontISTR, o elemento U-P é implementado exclusivamente para o elemento hexaédrico linear de 8 nós, com um grau de liberdade de pressão por elemento (constante no interior do elemento). É compatível com o regime de pequenas deformações, com a formulação lagrangiana total e com a formulação lagrangiana atualizada; na formulação lagrangiana atualizada, a tensão desviadora é atualizada com uma taxa objetiva de tensão (tipo Jaumann/Hughes-Winget) e, em seguida, a pressão \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) é imposta a partir do valor obtido pela condensação estática.

Elementos de casca

Para estruturas de placa e casca de parede fina utilizam-se elementos de casca baseados na teoria de placas e cascas de Reissner-Mindlin. À medida que a espessura diminui, os elementos de placa e casca de baixa ordem baseados em deslocamentos sobrestimam a deformação transversal de corte através de um mecanismo semelhante ao locking volumétrico (locking de corte), fazendo a rigidez dos modos de flexão aumentar de forma divergente. O método MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] evita este problema reamostrando apenas as componentes de deformação de corte em pontos de ligação predefinidos no interior do elemento e interpolando novamente os valores amostrados no elemento.

Os nós dos elementos de casca MITC são nós da superfície média sobre uma superfície curva, e cada nó possui 6 graus de liberdade, constituídos por 3 componentes de translação e 3 componentes de rotação associadas à normal da superfície média. A rigidez do elemento é avaliada por integração de Gauss tridimensional, combinando as coordenadas naturais da superfície média com a direção da espessura; a espessura da placa \(h\) é fornecida como atributo do elemento durante o cálculo da lei constitutiva.

O FrontISTR disponibiliza MITC3 (ID de elemento 731), MITC4 (741) e MITC9 (743), tratados numa única camada da superfície média, bem como elementos de casca em camadas MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 nós, 3 graus de liberdade por nó) e MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 nós, 3 graus de liberdade por nó), com duas camadas de nós através da espessura. Nos elementos de casca em camadas, os graus de liberdade nodais são apenas as 3 componentes de translação, e os modos de flexão equivalentes aos graus de liberdade de rotação são representados pela disposição em duas camadas.

Elementos de viga

Os membros lineares, como vigas e estruturas porticadas, são discretizados com elementos de viga. Os elementos de viga representam a deformação no interior da secção através de constantes de secção e descrevem o alongamento, a flexão e a torção apenas pelas translações e rotações dos nós situados no eixo da viga.

Cada nó de um elemento de viga possui seis graus de liberdade: três componentes translacionais e três componentes rotacionais. A rigidez do elemento é obtida formando, num sistema de coordenadas local definido pelo eixo do elemento e pelo eixo de referência especificado nos dados da secção, matrizes de rigidez em forma fechada para alongamento, flexão em duas direções e torção e, em seguida, transformando-as para o sistema de coordenadas global. Como dados da secção são especificados a área da secção transversal \(A\), em torno dos eixos locais \(y\) e \(z\) os segundos momentos de área \(I_y\) e \(I_z\), e a constante de torção; juntamente com o módulo de Young \(E\) e o módulo de corte \(G\) obtido a partir do módulo de Young e do coeficiente de Poisson, constituem os respetivos coeficientes de rigidez.

Para a flexão, estão disponíveis a viga de Bernoulli-Euler, que pressupõe que a secção permanece perpendicular ao eixo da viga após a deformação e despreza a deformação de corte, e a viga de Timoshenko, que considera a deformação de corte. No elemento de viga de 2 nós 611, podem ser selecionadas ambas; a viga de Bernoulli-Euler é a opção predefinida. Para a viga de Timoshenko, sendo \(L\) o comprimento do elemento, os coeficientes que representam a contribuição da deformação de corte

\[ \Phi_y = \frac{12 E I_z}{G A_s L^2}, \qquad \Phi_z = \frac{12 E I_y}{G A_s L^2} \]

são incluídos nos coeficientes de rigidez dos respetivos planos de flexão. Por exemplo, o coeficiente de rigidez para a deflexão na direção local \(y\) é \(12 E I_z / \{ L^3 (1 + \Phi_y) \}\). \(A_s\) é a área de corte. Como os dados de secção do FrontISTR não incluem \(A_s\) separadamente, toma-se \(A_s = A\). Isto equivale a adotar um fator de correção de corte igual a 1. Fazendo \(\Phi_y = \Phi_z = 0\), obtém-se a rigidez da viga de Bernoulli-Euler.

O elemento 641 é um elemento de graus de liberdade mistos que representa uma viga com dois nós que possuem graus de liberdade translacionais e dois nós que possuem graus de liberdade rotacionais; é formulado como uma viga de Bernoulli-Euler.

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