Lista de símbolos das grandezas físicas
Esta página apresenta os símbolos das grandezas físicas utilizados no manual teórico do FrontISTR. Para as convenções de notação (notação a negrito para vetores e tensores, convenção de soma de Einstein e notação de Voigt), consulte Notação tensorial e fundamentos matemáticos.
Configurações e sistemas de coordenadas
| Símbolo | Descrição |
| \(\boldsymbol{X}\) | Vetor posição de um ponto material na configuração de referência (inicial) (coordenadas materiais) |
| \(\boldsymbol{x}\) | Vetor posição de um ponto material na configuração atual (coordenadas espaciais) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | Mapeamento do movimento: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | Domínio ocupado pelo corpo na configuração de referência |
| \(\Omega\) | Domínio ocupado pelo corpo na configuração atual |
| \(\Gamma_0\) | Fronteira de \(\Omega_0\) |
| \(\Gamma\) | Fronteira de \(\Omega\) |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | Fronteira geométrica (deslocamento): fronteira na configuração atual/de referência em que é prescrito \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | Fronteira mecânica: fronteira na configuração atual/de referência em que é prescrito \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (ou \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) |
| \(\boldsymbol{n}\) | Vetor normal unitário exterior a uma superfície na configuração atual |
| \(\boldsymbol{N}\) | Vetor normal unitário exterior a uma superfície na configuração de referência |
| \(t\) | Tempo |
Convenção: As grandezas físicas na configuração de referência são indicadas por letras maiúsculas ou pelo índice inferior \(0\), enquanto as grandezas na configuração atual são indicadas por letras minúsculas.
Tempo e incrementos (análise incremental)
| Símbolo | Descrição |
| \(\Delta t\) | Incremento temporal: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | Grandeza física no instante \(t\) (índice superior esquerdo). Exemplo: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) é a tensão de Cauchy no instante \(t\) |
| \(^{t}\Omega\) | Domínio da configuração atual no instante \(t\) |
| \(^{t}\Gamma\) | Fronteira da configuração atual no instante \(t\) |
Convenção: Na análise incremental, o estado até ao instante \(t\) é considerado conhecido, e o estado no instante \(t + \Delta t\) é resolvido como incógnita. O índice superior esquerdo é omitido quando não é necessário indicar explicitamente o tempo. Uma formulação que utiliza a configuração de referência \(\Omega_0\) como referência é denominada formulação Lagrangiana total, enquanto uma formulação que utiliza a configuração atual \(^{t}\Omega\) no início do incremento como referência é denominada formulação Lagrangiana atualizada.
Deslocamento, velocidade, aceleração e força volúmica
| Símbolo | Descrição |
| \(\boldsymbol{u}\) | Vetor de deslocamento: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | Deslocamento prescrito na fronteira geométrica \(\Gamma_B\) |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | Deslocamento virtual (função de teste): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) em \(\Gamma_B\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | Vetor velocidade: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | Vetor aceleração: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | Força volúmica (por unidade de massa) |
| \(\boldsymbol{t}\) | Vetor de tração (por unidade de área): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | Tração prescrita na fronteira mecânica \(\Gamma_t\) (dados de Neumann) |
Operadores diferenciais
| Símbolo | Descrição |
| \(\dot{(\cdot)}\) | Derivada temporal material (derivada temporal seguindo o mesmo ponto material): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | Gradiente na configuração de referência (gradiente em relação às coordenadas materiais \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | Gradiente na configuração atual (gradiente em relação às coordenadas espaciais \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | Operador gradiente simétrico: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
Nota: \(\nabla_X\) e \(\nabla_x\) estão relacionados por \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Um gradiente sem índice, \(\nabla\), é utilizado quando a configuração é clara pelo contexto ou quando a distinção desaparece, como em problemas de pequenas deformações.
| Símbolo | Descrição |
| \(\boldsymbol{F}\) | Tensor gradiente de deformação: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | Razão volumétrica: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | Tensor de deformação de Cauchy-Green à direita: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | Tensor de deformação de Cauchy-Green à esquerda: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | Tensor gradiente de velocidade: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | Tensor da taxa de deformação (parte simétrica de \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | Tensor de rotação (parte antissimétrica de \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
| Símbolo | Descrição |
| \(\boldsymbol{E}\) | Tensor de deformação de Green-Lagrange (configuração de referência): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Tensor de deformação de Almansi (configuração atual): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Parte linear do tensor de deformação de Almansi (gradiente simétrico do deslocamento na configuração atual): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | Tensor de deformação infinitesimal (aproximação linear): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
Nota: \(\boldsymbol{E}\) é utilizado principalmente na formulação Lagrangiana total, enquanto \(\boldsymbol{D}\) é utilizado principalmente na formulação Lagrangiana atualizada.
Tensores de tensão
| Símbolo | Descrição |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Tensor de tensão de Cauchy (tensão verdadeira, configuração atual): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | Primeiro tensor de tensão de Piola-Kirchhoff (tensão nominal): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | Segundo tensor de tensão de Piola-Kirchhoff (configuração de referência, simétrico): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
Relações de conversão entre os tensores de tensão:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
Convenção: A formulação Lagrangiana total utiliza o par \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), enquanto a formulação Lagrangiana atualizada utiliza o par \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).
Densidade e massa
| Símbolo | Descrição |
| \(\rho\) | Densidade de massa na configuração atual |
| \(\rho_0\) | Densidade de massa na configuração de referência |
Conservação da massa: \(\rho_0 = J\rho\).
Constantes do material (elasticidade linear)
| Símbolo | Descrição |
| \(E\) | Módulo de Young |
| \(\nu\) | Coeficiente de Poisson |
| \(\lambda\) | Primeira constante de Lamé: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | Segunda constante de Lamé (módulo de corte): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | Tensor de elasticidade (quarta ordem): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), componentes \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (ou \(\hat{\tilde{C}}\)) | Matriz de material (notação de Voigt, \(6\times6\) em 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
Componentes do tensor de elasticidade para um material elástico linear isotrópico:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
Materiais hiperelásticos
| Símbolo | Descrição |
| \(W(\boldsymbol{C})\) | Função potencial elástico (função densidade de energia de deformação) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | Invariantes principais do tensor de Cauchy-Green à direita \(\boldsymbol{C}\) |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | Invariantes reduzidos de \(\boldsymbol{C}\) (variação volumétrica separada) |
| \(C_1, C_2\) | Constantes de material do modelo de Mooney-Rivlin |
| \(D\) | Constante de material relacionada com a elasticidade volumétrica |
Materiais elastoplásticos
| Símbolo | Descrição |
| \(\boldsymbol{D}^e\) | Componente elástica do tensor da taxa de deformação |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | Componente plástica do tensor da taxa de deformação |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | Função de cedência |
| \(\kappa\) | Variável interna que representa o estado plástico (variável de endurecimento isotrópico) |
| \(\lambda^p\) | Multiplicador plástico (multiplicador da taxa de deformação plástica): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | Potencial plástico (\(\Theta = F\) para uma regra de escoamento associada) |
| \(\bar{\sigma}\) | Tensão equivalente (por exemplo, tensão de von Mises) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | Deformação plástica equivalente |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | Função de endurecimento isotrópico |
Condição de complementaridade: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
Método dos elementos finitos
| Símbolo | Descrição |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | Domínios nas configurações atual e de referência aproximados pela discretização por elementos finitos: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | Domínio do elemento nas configurações atual e de referência |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | Parte da fronteira do elemento pertencente à fronteira mecânica |
| \(\boldsymbol{r}\) | Coordenadas naturais (coordenadas locais do elemento) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | Ponto em coordenadas naturais correspondente ao nó \(\alpha\) |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | Função de forma correspondente ao nó \(\alpha\) do elemento \(e\) |
| \(n_e\) | Número de nós que constituem um elemento |
| \(n_g\) | Número total de nós globais |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | Coordenadas e deslocamento do nó \(\alpha\) do elemento |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | Vetores de coordenadas nodais e de deslocamentos do elemento: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), etc. |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | Vetores globais de coordenadas nodais e de deslocamentos (ordenados por número de nó e depois por grau de liberdade) |
| \(\boldsymbol{B}\) | Matriz da relação deformação-deslocamento (matriz B) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | Matriz das funções de forma: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) é um bloco \(d \times d\) com a função de forma \(N_\alpha^e\) do nó \(\alpha\) na diagonal, e \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | Matriz de rigidez do elemento |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | Integrandos da matriz de rigidez do elemento (expressos nas configurações de referência e atual): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (formulação TL), \(\boldsymbol{q}^e\) (formulação UL) | Vetor de força interna do elemento |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | Força externa nodal que atua no nó \(\alpha\) do elemento e vetor de forças externas nodais do elemento: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | Vetor global de forças internas e vetor global de forças externas: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); de forma semelhante para \(\boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | Força interna nodal e força externa nodal no nó global \(i_g\) (blocos nodais de \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)) |
| \(\boldsymbol{K}\) | Matriz de rigidez tangente global: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matriz formada colocando o bloco \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) na linha \(i_g\), coluna \(i_h\) |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Vetor residual na iteração de Newton-Raphson: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Correção na iteração de Newton-Raphson (obtida resolvendo a equação linear \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) na iteração \(i\)) |
| \(i_g\) | Número do nó global (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | Número do nó global correspondente ao número de nó local \(\alpha\) do elemento \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | Conjunto de pares \((e, \alpha)\) correspondentes ao número de nó global \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Utilizado nas operações de montagem |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | Conjunto de tuplos \((e, \alpha, \beta)\) correspondentes ao par de números de nós globais \((i_g, i_h)\); utilizado na montagem da matriz de rigidez |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | Índices dos nós que constituem um elemento |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | Índices dos graus de liberdade (\(1, 2, 3\) em 3D) |
Elementos avançados e elementos estruturais
| Símbolo | Descrição |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | Matriz da relação deformação-deslocamento com a parte volumétrica modificada pelo método B-bar (a componente volumétrica é substituída pela matriz B avaliada no centro do elemento) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | Gradiente de deformação com a parte volumétrica modificada pelo método F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | Razão volumétrica do gradiente de deformação avaliado no centro do elemento \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | Vetor de graus de liberdade internos de um elemento de modo incompatível (coeficientes de modos de deslocamento adicionais que não impõem continuidade na fronteira do elemento) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | Funções de forma dos modos incompatíveis: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | Espessura do elemento de casca |
| \(A\) | Área da secção transversal de um elemento de viga |
| \(I\) | Segundo momento de área da secção transversal de um elemento de viga |
| \(G\) | Módulo de corte: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
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