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Métodos de análise dinâmica

Esta secção descreve os métodos de análise de problemas dinâmicos utilizando integração direta no tempo. Apresentam-se abaixo as formulações dos métodos implícito e explícito.

Discretização da equação de movimento (formulação comum)

TBD (a concluir na fase seguinte).

Método implícito (método de Newmark-β)

Para problemas dinâmicos, aplica-se um método de integração direta no tempo para resolver a equação de movimento apresentada abaixo.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Aqui, \(M\) é a matriz de massa, \(C\) é a matriz de amortecimento, \(Q\) é o vetor de forças internas e \(F\) é o vetor de forças externas. Assume-se que a matriz de massa permanece constante independentemente da deformação, mesmo em análise não linear.

As variações do deslocamento, da velocidade e da aceleração ao longo do incremento de tempo \(\Delta t\) são aproximadas pelo método de Newmark-\(\beta\), como se mostra na Eq. \(\eqref{eq:2.5.2}\) e na Eq. \(\eqref{eq:2.5.3}\).

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Aqui, \(\gamma\) e \(\beta\) são parâmetros do método de Newmark-\(\beta\).

Como é bem conhecido, os valores seguintes de \(\gamma\) e \(\beta\) correspondem, respetivamente, ao método da aceleração linear e à regra trapezoidal.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (método da aceleração linear)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (regra trapezoidal)

Substituindo a Eq. \(\eqref{eq:2.5.2}\) e a Eq. \(\eqref{eq:2.5.3}\) na Eq. \(\eqref{eq:2.5.1}\), obtém-se a equação seguinte.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

Em particular, para um problema linear, \(K_L\) é a matriz de rigidez linear e \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Substituindo esta relação na equação acima, obtém-se a equação seguinte.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

Nos locais em que a aceleração é prescrita como condição de fronteira geométrica, o deslocamento é obtido a partir da Eq. \(\eqref{eq:2.5.2}\) da seguinte forma.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Do mesmo modo, nos locais em que a velocidade é prescrita, o deslocamento é obtido a partir da Eq. \(\eqref{eq:2.5.6}\) da seguinte forma.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Aqui, \(u_{is}(t+\Delta{t})\) é o deslocamento nodal no instante \(t+\Delta{t}\), e \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) é a velocidade nodal no instante \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) é a aceleração nodal no instante \(t+\Delta{t}\), \(i\) é o número do grau de liberdade nodal e \(s\) é o número do nó. Os termos de massa e de amortecimento são tratados da seguinte forma.

Tratamento do termo de massa

Em princípio, a matriz de massa é tratada como uma matriz de massa concentrada.

Tratamento do termo de amortecimento

O termo de amortecimento é tratado como amortecimento de Rayleigh, expresso pela Eq. \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Aqui, \(R_m\) e \(R_k\) são os parâmetros de amortecimento de Rayleigh.

Os valores de \(R_m\) e \(R_k\) especificados no cartão !DYNAMIC são aplicados uniformemente a todo o modelo. Para atribuir valores diferentes de \(R_m\) e \(R_k\) a cada material, especifique o cartão !DAMPING no bloco !MATERIAL desse material. Para os elementos pertencentes a um material no qual !DAMPING tenha sido especificado, a matriz de amortecimento do elemento é calculada a partir da matriz de massa do elemento \(M_i\) e da matriz de rigidez tangente \(K_i\), como \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\), e é assemblada na matriz de amortecimento global. Esta funcionalidade é válida apenas para o método implícito.

Método explícito (método das diferenças centrais)

O método explícito baseia-se na equação de movimento no instante t apresentada abaixo.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Expressando os deslocamentos nos instantes \(t + \Delta t\) e \(t - \Delta t\) por expansões de Taylor em torno do instante \(t\) e conservando os termos até à segunda ordem em \(\Delta t\), obtêm-se as equações seguintes.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Tomando a diferença e a soma da Eq. \(\eqref{eq:2.5.3}\) e da Eq. \(\eqref{eq:2.5.4}\), obtêm-se as equações seguintes.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Substituindo a Eq. \(\eqref{eq:2.5.12}\) e a Eq. \(\eqref{eq:2.5.13}\) na Eq. \(\eqref{eq:2.5.9}\), obtém-se a equação seguinte.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

Em particular, para um problema linear, \(Q(t) = K_L U(t)\), e a equação acima torna-se

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Se a matriz de massa \(M\) for tomada como matriz de massa concentrada e a matriz de amortecimento como matriz de amortecimento proporcional \(C = R_m M\), a Eq. \(\eqref{eq:2.5.15}\) não requer a resolução de equações simultâneas.

Assim, a partir da Eq. \(\eqref{eq:2.5.15}\), \(U(t+\Delta t)\) pode ser obtido pela equação seguinte.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

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