Análise modal¶

Problema generalizado de valores próprios¶

Para analisar a vibração livre de um meio contínuo, efetua-se a discretização espacial e modela-se o sistema como um sistema de múltiplos graus de liberdade com massas concentradas, conforme ilustrado na Figura 2.3.1. Para um problema de vibração livre sem amortecimento, a equação governante (equação do movimento) é a seguinte.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Aqui, $u$ é o vetor de deslocamentos generalizados, $M$ é a matriz de massa e $K$ é a matriz de rigidez. Seja $\omega$ a frequência angular natural, sejam $a$ e $b$ constantes arbitrárias que não sejam simultaneamente nulas e seja $x$ um vetor. Define-se a função

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

A sua segunda derivada é

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Substituindo a Equação $\eqref{eq:2.3.2}$ e a Equação $\eqref{eq:2.3.3}$ na Equação $\eqref{eq:2.3.1}$, obtém-se

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

Obtém-se assim a relação acima.

Para uma vibração não trivial, $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ não é identicamente nulo. Por conseguinte,

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

obtém-se a relação acima. Assim, fazendo $\lambda=\omega^2$, resulta

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

Obtém-se assim a equação acima.

O escalar $\lambda$ designa-se valor próprio, o vetor $x$ designa-se vetor próprio e o problema expresso pela Equação $\eqref{eq:2.3.5}$ designa-se problema generalizado de valores próprios.

A frequência angular natural $\omega$ é obtida a partir do valor próprio $\lambda=\omega^2$, e o vetor próprio correspondente $x$ representa um modo de vibração.

Exemplo de um sistema de múltiplos graus de liberdade para vibração livre sem amortecimento

Figura 2.3.1 Exemplo de um sistema de múltiplos graus de liberdade para vibração livre sem amortecimento

Propriedades e hipóteses das matrizes¶

Para o problema generalizado de valores próprios $Kx=\lambda Mx$ obtido na secção anterior, este manual pressupõe que as matrizes consideradas são simétricas. No caso de matrizes complexas, isto corresponde a matrizes hermitianas; no caso de matrizes reais, a matrizes simétricas.

Seja $k_{ij}$ o elemento $ij$ da matriz $K$. A propriedade hermitiana exprime-se por

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

em que $\bar{k}_{ji}$ é o conjugado complexo de $k_{ji}$. Para matrizes reais, esta relação torna-se $k_{ij}=k_{ji}$.

Uma matriz real simétrica $H$ é definida positiva se, para qualquer vetor não nulo $x$,

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

a desigualdade acima for satisfeita. Neste caso, todos os valores próprios de $H$ são positivos.

Num problema estrutural de valores próprios, a matriz de massa $M$ é normalmente tratada como definida positiva. Por outro lado, consoante as condições de restrição, a matriz de rigidez $K$ pode ser semidefinida positiva e pode ter valores próprios nulos correspondentes a modos de corpo rígido.

Iteração inversa com deslocamento¶

Na análise estrutural prática pelo método dos elementos finitos, geralmente não são necessários todos os valores próprios; bastam frequentemente alguns valores próprios de ordem baixa. O HEC-MW destina-se a problemas de grande escala, nos quais as matrizes são grandes e extremamente esparsas, com muitos elementos nulos. Por conseguinte, é importante calcular eficientemente os valores próprios dos modos de ordem baixa tendo em conta estas características.

Para um deslocamento $\sigma$, se $-\sigma$ não for um valor próprio e $K+\sigma M$ for não singular, a Equação $\eqref{eq:2.3.5}$ pode ser transformada da seguinte forma.

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Esta transformação mantém o vetor próprio $x$ inalterado e transforma o valor próprio $\lambda$ em $1/(\lambda+\sigma)$.

Consequentemente, quanto mais próximo $\lambda$ estiver de $-\sigma$, maior será o valor absoluto do valor próprio transformado. Num problema estrutural de valores próprios, $\lambda \geq 0$ e $\sigma \geq 0$; por isso, o valor próprio mais baixo é transformado no valor próprio de maior valor absoluto. Aproveitando esta propriedade, ao aplicar à Equação $\eqref{eq:2.3.8}$ um método iterativo que tende a convergir primeiro para valores próprios de grande valor absoluto, os valores próprios de ordem baixa podem ser obtidos eficientemente por ordem crescente.

Este método designa-se iteração inversa com deslocamento.

Nas análises com restrições, o FrontISTR define $\sigma = 0$, e a Equação $\eqref{eq:2.3.8}$ torna-se $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$, isto é, uma iteração inversa sem deslocamento. Numa análise livre-livre sem restrições, $K$ é singular porque possui valores próprios nulos correspondentes a modos de corpo rígido; atribuir um valor positivo a $\sigma$ regulariza $K+\sigma M$. O valor de $\sigma$ é especificado por SIGMA em !EIGEN.

Método de Lanczos¶

Razão da utilização (comparação com o método de Jacobi)¶

O método de Jacobi é um método clássico bem conhecido.

É eficaz quando a matriz é pequena e densa. No entanto, como as matrizes tratadas pelo HEC-MW são grandes e esparsas, o método de Jacobi não é adotado; utiliza-se em seu lugar o método iterativo de Lanczos.

Algoritmo e características¶

Proposto por C. Lanczos na década de 1950, este método é um algoritmo para tridiagonalizar uma matriz e apresenta as seguintes características.

É um método iterativo e permite efetuar o cálculo mantendo a matriz esparsa.
As suas operações consistem principalmente em produtos matriz-vetor, o que o torna adequado à paralelização.
É adequado à decomposição geométrica do domínio associada a malhas de elementos finitos.
Permite efetuar cálculos eficientes limitando o número de valores próprios ou o intervalo de modos a obter.

O método de Lanczos parte de um vetor inicial, constrói sucessivamente vetores ortogonais e obtém uma base para um subespaço de Krylov.

Na aritmética de precisão finita, os erros de arredondamento podem fazer com que os vetores percam a ortogonalidade. Para reduzir este efeito, a implementação do FrontISTR reortogonaliza cada vetor relativamente aos vetores da base de Lanczos já obtidos.

Interpretação geométrica (subespaço de Krylov)¶

Aplicando as seguintes mudanças de variável à Equação $\eqref{eq:2.3.8}$,

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

o problema pode ser reescrito como

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

Obtém-se assim a equação acima.

Para um vetor arbitrário não nulo $q_0$,

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

o espaço gerado por estes vetores,

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

designa-se subespaço de Krylov.

O método de Lanczos constrói sucessivamente uma base para este subespaço de Krylov.

O FrontISTR utiliza o seguinte produto interno associado à matriz de massa $M$

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

para ortonormalizar a base. O produto interno $\langle x,y\rangle$ e a norma $\|x\|$ apresentados nas figuras seguintes são interpretados, nos cálculos do FrontISTR, como este produto interno associado a $M$ e a correspondente norma associada a $M$

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

respetivamente.

Aplica-se ao vetor arbitrário $q_0$ a transformação linear definida pela matriz $A$, conforme ilustrado na Figura 2.3.2.

$Transformação linear de $q_0$ pela matriz $A$$

Figura 2.3.2 Transformação linear de $q_0$ pela matriz $A$

O vetor transformado é ortogonalizado no espaço gerado por ele e pelo vetor original. Em concreto, efetua-se a ortogonalização de Gram-Schmidt apresentada na Figura 2.3.3. Seja $r_1$ o vetor resultante; a sua normalização fornece $q_1$.

$Vetor $q_1$ ortogonal a $q_0$$

Figura 2.3.3 Vetor $q_1$ ortogonal a $q_0$

O mesmo procedimento permite obter $q_2$ a partir de $q_1$. Neste caso, $q_2$ é ortogonal tanto a $q_1$ como a $q_0$, conforme ilustrado na Figura 2.3.4.

$Vetor $q_2$ ortogonal a $q_1$ e a $q_0$$

Figura 2.3.4 Vetor $q_2$ ortogonal a $q_1$ e a $q_0$

Deste modo, o método de Lanczos constrói sucessivamente uma base ortonormada do subespaço de Krylov. Em teoria, a simetria do problema de valores próprios permite exprimir esta iteração como uma recorrência de três termos que utiliza os vetores de base mais recentes.

No entanto, a implementação do FrontISTR reortogonaliza cada vetor relativamente aos vetores da base de Lanczos já obtidos utilizando o produto interno associado a $M$, para reduzir a perda de ortogonalidade causada pela aritmética de precisão finita.

Tridiagonalização¶

Na iteração de Lanczos do FrontISTR, os vetores de base são ortonormalizados relativamente ao produto interno associado a $M$ descrito na secção anterior, pelo que

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

a relação acima é satisfeita.

Utilizando a matriz $A$ da Equação $\eqref{eq:2.3.10}$, a iteração teórica de Lanczos é expressa por

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

a recorrência de três termos acima.

Primeiro, define-se $\alpha_i$ por

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

Em seguida, define-se o resíduo provisório como

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

Fica assim definido o resíduo provisório.

Para reduzir a perda de ortogonalidade causada pela aritmética de precisão finita, a implementação do FrontISTR reortogonaliza $\tilde{r}_{i+1}$ relativamente aos vetores da base de Lanczos já obtidos, utilizando o produto interno associado a $M$. Se $r_{i+1}$ for o resíduo após a reortogonalização, então

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

as relações acima são satisfeitas.

Agrupando os $m$ vetores de base obtidos pela iteração de Lanczos em

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

após um número finito de iterações de Lanczos, tem-se

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

a relação acima.

Aqui, $e_m$ é o vetor unitário de dimensão $m$ cuja componente $m$-ésima é 1, e

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

é uma matriz tridiagonal simétrica.

Assim, os valores próprios do problema original de grande escala podem ser aproximados calculando os valores próprios da matriz tridiagonal $T_m$.

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