Verificação com modelo de geometria simples¶

Análise estática elástica¶

Esta verificação utiliza uma viga em consola discretizada em malha conforme mostrado na Figura 9.1.1. Foram realizadas análises para sete condições, exA a exG, variando as condições de carga apresentadas na Figura 9.1.2. O caso exG utiliza as mesmas condições de carga do exA, mas corresponde ao caso de verificação em que se utiliza um solver direto.

Os resultados de verificação de cada condição de carga são apresentados nas Tabelas 9.1.1 a 9.1.7.

Figura 9.1.1 Exemplo de discretização da malha da viga em consola (elementos hexaédricos)

	(a) exA,G: carga concentrada
	(b) exD: gravidade
	(c) exB: carga distribuída na superfície
	(d) exE: força centrífuga
	(e) exC: carga volumétrica
	(f) exF: carga térmica

Figura 9.1.2 Condições de verificação do modelo de viga em consola

Tabela 9.1.1 exA: resultados de verificação do problema de carga concentrada

Tabela 9.1.2 exB: resultados de verificação do problema de carga distribuída na superfície

Tabela 9.1.3 exC: resultados de verificação do problema de carga volumétrica

Tabela 9.1.4 exD: resultados de verificação do problema de gravidade

Tabela 9.1.5 exE: resultados de verificação do problema de força centrífuga

Tabela 9.1.6 exF: resultados de verificação do problema de carga de tensão térmica

Tabela 9.1.7 exG: resultados de verificação do método direto (problema de carga concentrada)

Análise estática não linear¶

(2-1) exnl1: análise não linear geométrica¶

O modelo de verificação do caso exI é idêntico aos modelos dos casos de verificação exA a exG. A Figura 9.1.3 apresenta um esquema conceptual do modelo de verificação. É efetuada uma análise geometricamente não linear deste modelo. Os resultados da verificação são apresentados na Tabela 9.1.8.

O cálculo não linear é efetuado para a carga de referência \(P = 1.0\ \mathrm{kgf}\), com um incremento de carga de \(0.1P\) ao longo de 10 passos de carga.

Figura 9.1.3 Modelo de verificação

Tabela 9.1.8 exI: resultados de verificação (histórico da deflexão máxima)

(2-2) exnl2: análise de deformação elastoplástica¶

Este problema de verificação baseia-se no Test NL1 da NAFEMS (National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.)), e efetua uma análise de deformação elastoplástica que incorpora não linearidade geométrica e várias leis de endurecimento. A Figura 9.1.4 apresenta o modelo de análise.

Figura 9.1.4 Modelo de análise de deformação elastoplástica

(１) Condições de verificação

(２) Condições de fronteira

Todos os nós não indicados aqui estão completamente restringidos. A solução teórica deste problema é a seguinte.

Em comparação, os resultados do cálculo são os seguintes.

Análise de contacto (1)¶

Este problema de verificação baseia-se no problema de patch test de contacto CGS-4 da National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), e testa a funcionalidade de contacto com deslizamento finito e atrito. A Figura 9.1.5 apresenta o modelo de análise.

Figura 9.1.5 Modelo de análise de contacto

A condição de equilíbrio deste problema é a seguinte.

Na fase de atrito aderente, a força de atrito é

e, na fase de atrito com deslizamento, é

Obtém-se, assim, a relação acima.

A comparação entre os resultados do cálculo e a solução analítica é a seguinte.

Análise de contacto (2): problema de contacto de Hertz¶

Nesta verificação, é analisado o problema de contacto de Hertz entre um cilindro de comprimento infinito e um plano infinito. O raio do cilindro é \(R = 8\ \mathrm{mm}\), e o módulo de Young \(E\) e o coeficiente de Poisson \(\mu\) do corpo deformável são, respetivamente, \(1100\ \mathrm{MPa}\) e \(0.0\). Além disso, assume-se que a área de contacto é suficientemente pequena em comparação com o raio do cilindro e, considerando também a simetria do problema, a análise é efetuada com um modelo de um quarto do cilindro.

Figura 9.1.6 Modelo de análise do problema de contacto de Hertz

(1) Resultados da verificação do raio de contacto¶

A fórmula teórica para calcular o raio de contacto é a seguinte:

onde

Obtém-se, assim, a expressão acima. Nas presentes condições de cálculo, quando a pressão é \(F=100\), o raio de contacto é \(a=1.36\).

A Figura 9.1.7 mostra as forças nodais equivalentes nos pontos de contacto. O raio de contacto é obtido extrapolando esta distribuição de forças nodais.

Figura 9.1.7 Distribuição das forças nodais equivalentes nos pontos de contacto

(2) Resultados da verificação da tensão de corte máxima¶

Na solução teórica, na posição de contacto

a tensão de corte máxima é

Esta é a tensão de corte máxima teórica. Nas presentes condições de cálculo, obtém-se

Este é o valor teórico nas condições de cálculo consideradas. Em comparação, o cálculo fornece

O cálculo, por sua vez, fornece o valor indicado acima.

Figura 9.1.8 Distribuição da tensão de corte (valor máximo=15.6)

(3) Análise modal¶

Os modelos de verificação dos casos exJ a exK são idênticos aos modelos dos casos exA a exG. A Figura 9.1.9 apresenta um esquema conceptual do modelo de verificação. É efetuada uma análise modal deste modelo. São calculadas as três primeiras frequências naturais. No caso exJ utiliza-se um solver iterativo, enquanto no caso exK se utiliza um solver direto. Os resultados da verificação são apresentados nas Tabelas 9.1.9 a 9.1.12.

Figura 9.1.9 Modelo de verificação

As frequências naturais da viga em consola são obtidas pelas seguintes equações.

Primeira frequência natural

Segunda frequência natural

Terceira frequência natural

As propriedades do modelo de verificação são apresentadas na tabela seguinte.

Assim, as três primeiras frequências naturais são as seguintes:

Tabela 9.1.9 exJ: resultados de verificação com o método iterativo (primeira frequência natural)

Tabela 9.1.10 exJ: resultados de verificação com o método iterativo (segunda frequência natural)

Nota) Nos modelos tridimensionais, os dois primeiros modos são degenerados; por isso, a terceira frequência natural calculada é indicada na tabela como a segunda frequência natural.

Tabela 9.1.11 exK: resultados de verificação com o método direto (primeira frequência natural)

Tabela 9.1.12 exK: resultados de verificação com o método direto (segunda frequência natural)

Nota) Nos modelos tridimensionais, os dois primeiros modos são degenerados; por isso, a terceira frequência natural calculada é indicada na tabela como a segunda frequência natural.

(4) Análise de condução térmica¶

As condições comuns das análises de condução térmica em regime estacionário são apresentadas na Figura 9.1.10. As condições individuais dos casos de verificação exM a exT são apresentadas na Figura 9.1.11. A discretização da malha utilizada é equivalente à de exA.

As Tabelas 9.1.13 a 9.1.20 apresentam as distribuições de temperatura obtidas em cada caso.

Dependência da condutividade térmica em relação à temperatura

Figura 9.1.10 Condições de verificação da análise de condução térmica em regime estacionário

exM:material linear
exN:problema de temperatura prescrita
exO:problema de fluxo térmico concentrado
exP:problema de fluxo térmico distribuído
exQ:problema de transferência de calor por convecção
exR:problema de transferência de calor por radiação
exS:problema de geração volumétrica de calor
exT:problema de gap interno

Figura 9.1.11 Condições de análise de cada caso de verificação

Tabela 9.1.13 exM: resultados de verificação do cálculo em regime estacionário com material linear

Tabela 9.1.14 exN: resultados de verificação do problema de temperatura prescrita

Tabela 9.1.15 exO: resultados de verificação do problema de fluxo térmico concentrado

Tabela 9.1.16 exP: resultados de verificação do problema de fluxo térmico distribuído

Tabela 9.1.17 exQ: resultados de verificação do problema de transferência de calor por convecção

Tabela 9.1.18 exR: resultados de verificação do problema de transferência de calor por radiação

Tabela 9.1.19 exS: resultados de verificação do problema de geração volumétrica de calor

Tabela 9.1.20 exT: resultados de verificação do problema de gap interno

Análise dinâmica linear¶

No exW, foi efetuada uma análise dinâmica linear da mesma viga em consola considerada no item (1). A Figura 9.1.12 apresenta as condições de verificação. Aqui, para a mesma discretização de malha, verificou-se o efeito do incremento de tempo nos resultados. Como métodos de análise dinâmica, foram utilizados tanto o método implícito como o método explícito, com os tipos de elemento 361 e 342. Os resultados de verificação são apresentados na Tabela 9.1.22 e nas Figuras 9.1.13 a 9.1.15.

Modelo de análise

Histórico temporal da força externa F

Solução teórica para o deslocamento no ponto de excitação:

onde

Figura 9.1.12 Condições de verificação da análise dinâmica linear

Condições de verificação:

Tabela 9.1.21 Condições de verificação da análise dinâmica linear (continuação)

Tabela 9.1.22 exW: resultados de verificação da análise dinâmica linear de uma viga em consola

Figura 9.1.13 Diagrama de deformação e distribuição da tensão equivalente da viga em consola

(a) Tipo de elemento 361:método implícito

(b) Tipo de elemento 361:método explícito

Figura 9.1.14 Histórico temporal do deslocamento \(u_z\) no ponto de excitação

(a) Tipo de elemento 342:método implícito

(b) Tipo de elemento 342:método explícito

Figura 9.1.15 Histórico temporal do deslocamento \(u_z\) no ponto de excitação

Análise de resposta em frequência¶

Nesta verificação, é efetuada uma análise de resposta em frequência de uma viga em consola, e os resultados são verificados por comparação com os de um software comercial de uso geral. O modelo de análise e as condições de verificação são apresentados abaixo.

Condições de análise:

Figura 9.1.16 Modelo de análise (elementos tetraédricos de primeira ordem: 126 elementos, 55 nós)

Apresentam-se as cinco primeiras frequências naturais obtidas pela análise modal e a resposta em frequência no ponto de excitação.

Figura 9.1.17 Dependência da amplitude do deslocamento no ponto de excitação em relação à frequência