Lista simbolurilor mărimilor fizice
Această pagină enumeră simbolurile mărimilor fizice utilizate în manualul teoretic FrontISTR. Pentru convențiile de notație (scrierea cu caractere aldine a vectorilor și tensorilor, convenția de sumare Einstein și notația Voigt), consultați Notație tensorială și fundamente matematice.
Configurații și sisteme de coordonate
| Simbol | Descriere |
| \(\boldsymbol{X}\) | Vectorul de poziție al unui punct material în configurația de referință (inițială) (coordonate materiale) |
| \(\boldsymbol{x}\) | Vectorul de poziție al unui punct material în configurația curentă (coordonate spațiale) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | Aplicația de mișcare: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | Domeniul ocupat de corp în configurația de referință |
| \(\Omega\) | Domeniul ocupat de corp în configurația curentă |
| \(\Gamma_0\) | Frontiera lui \(\Omega_0\) |
| \(\Gamma\) | Frontiera lui \(\Omega\) |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | Frontieră geometrică (deplasare): frontiera din configurația curentă/de referință pe care \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) este impusă |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | Frontieră mecanică: frontiera din configurația curentă/de referință pe care \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (sau \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) este impusă |
| \(\boldsymbol{n}\) | Vector normal unitar exterior la o suprafață în configurația curentă |
| \(\boldsymbol{N}\) | Vector normal unitar exterior la o suprafață în configurația de referință |
| \(t\) | Timp |
Convenție: Mărimile fizice din configurația de referință sunt notate cu litere majuscule sau cu indicele \(0\), iar mărimile din configurația curentă sunt notate cu litere mici.
Timp și incremente (analiză incrementală)
| Simbol | Descriere |
| \(\Delta t\) | Increment de timp: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | Mărime fizică la timpul \(t\) (superscript stânga). Exemplu: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) este tensiunea Cauchy la timpul \(t\) |
| \(^{t}\Omega\) | Domeniul configurației curente la timpul \(t\) |
| \(^{t}\Gamma\) | Frontiera configurației curente la timpul \(t\) |
Convenție: În analiza incrementală, starea până la timpul \(t\) este tratată ca fiind cunoscută, iar starea la timpul \(t + \Delta t\) este rezolvată ca necunoscută. Superscriptul stâng este omis atunci când timpul nu trebuie precizat explicit. O formulare care utilizează configurația de referință \(\Omega_0\) drept referință se numește formularea Lagrangianului total, iar o formulare care utilizează configurația curentă \(^{t}\Omega\) de la începutul incrementului drept referință se numește formularea Lagrangianului actualizat.
Deplasare, viteză, accelerație și forță volumică
| Simbol | Descriere |
| \(\boldsymbol{u}\) | Vector de deplasare: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | Deplasare impusă pe frontiera geometrică \(\Gamma_B\) |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | Deplasare virtuală (funcție de test): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) on \(\Gamma_B\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | Vector de viteză: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | Vector de accelerație: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | Forță volumică (pe unitatea de masă) |
| \(\boldsymbol{t}\) | Vector de tracțiune (pe unitatea de suprafață): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | Tracțiune impusă pe frontiera mecanică \(\Gamma_t\) (date Neumann) |
Operatori diferențiali
| Simbol | Descriere |
| \(\dot{(\cdot)}\) | Derivată materială în timp (derivata temporală urmărind același punct material): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | Gradient în configurația de referință (gradient în raport cu coordonatele materiale \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | Gradient în configurația curentă (gradient în raport cu coordonatele spațiale \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | Operator gradient simetric: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
Notă: \(\nabla_X\) și \(\nabla_x\) sunt legate prin \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Un gradient fără indice, \(\nabla\), este utilizat atunci când configurația este clară din context sau când distincția dispare, ca în problemele cu deformații mici.
| Simbol | Descriere |
| \(\boldsymbol{F}\) | Tensorul gradientului de deformație: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | Raport de volum: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | Tensor de deformație Cauchy-Green drept: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | Tensor de deformație Cauchy-Green stâng: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | Tensorul gradientului de viteză: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | Tensorul vitezei de deformație (partea simetrică a lui \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | Tensor de rotație (partea antisimetrică a lui \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
| Simbol | Descriere |
| \(\boldsymbol{E}\) | Tensor de deformație Green-Lagrange (configurația de referință): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Tensor de deformație Almansi (configurația curentă): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Partea liniară a tensorului de deformație Almansi (gradientul simetric al deplasării în configurația curentă): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | Tensor de deformație infinitezimală (aproximație liniară): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
Notă: \(\boldsymbol{E}\) este utilizat în principal în formularea Lagrangianului total, iar \(\boldsymbol{D}\) este utilizat în principal în formularea Lagrangianului actualizat.
Tensori de tensiune
| Simbol | Descriere |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Tensorul tensiunii Cauchy (tensiune adevărată, configurația curentă): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | Primul tensor de tensiune Piola-Kirchhoff (tensiune nominală): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | Al doilea tensor de tensiune Piola-Kirchhoff (configurația de referință, simetric): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
Relațiile de transformare dintre tensorii de tensiune:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
Convenție: Formularea Lagrangianului total utilizează perechea \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), iar formularea Lagrangianului actualizat utilizează perechea \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).
Densitate și masă
| Simbol | Descriere |
| \(\rho\) | Densitate masică în configurația curentă |
| \(\rho_0\) | Densitate masică în configurația de referință |
Conservarea masei: \(\rho_0 = J\rho\).
Constante de material (elasticitate liniară)
| Simbol | Descriere |
| \(E\) | Modulul lui Young |
| \(\nu\) | Coeficientul lui Poisson |
| \(\lambda\) | Prima constantă Lamé: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | A doua constantă Lamé (modul de forfecare): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | Tensor de elasticitate (ordinul al patrulea): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), componentele \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (sau \(\hat{\tilde{C}}\)) | Matrice de material (notație Voigt, \(6\times6\) în 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
Componentele tensorului de elasticitate pentru un material elastic liniar izotrop:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
Materiale hiperelastice
| Simbol | Descriere |
| \(W(\boldsymbol{C})\) | Funcție de potențial elastic (funcție de densitate a energiei de deformație) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | Invarianții principali ai tensorului Cauchy-Green drept \(\boldsymbol{C}\) |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | Invarianții reduși ai lui \(\boldsymbol{C}\) (variația volumică separată) |
| \(C_1, C_2\) | Constantele de material ale modelului Mooney-Rivlin |
| \(D\) | Constantă de material asociată elasticității volumice |
Materiale elastoplastice
| Simbol | Descriere |
| \(\boldsymbol{D}^e\) | Componenta elastică a tensorului vitezei de deformație |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | Componenta plastică a tensorului vitezei de deformație |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | Funcție de curgere |
| \(\kappa\) | Variabilă internă care reprezintă starea plastică (variabilă de ecruisare izotropă) |
| \(\lambda^p\) | Multiplicator plastic (multiplicator al vitezei de deformație plastică): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | Potențial plastic (\(\Theta = F\) pentru o regulă de curgere asociată) |
| \(\bar{\sigma}\) | Tensiune echivalentă (de ex., tensiune von Mises) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | Deformație plastică echivalentă |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | Funcție de ecruisare izotropă |
Condiția de complementaritate: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
Metoda elementelor finite
| Simbol | Descriere |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | Domenii în configurațiile curentă și de referință aproximate prin discretizarea cu elemente finite: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | Domeniul elementului în configurațiile curentă și de referință |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | Porțiunea frontierei elementului care aparține frontierei mecanice |
| \(\boldsymbol{r}\) | Coordonate naturale (coordonate locale ale elementului) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | Punct în coordonate naturale corespunzător nodului \(\alpha\) |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | Funcția de formă corespunzătoare nodului \(\alpha\) al elementului \(e\) |
| \(n_e\) | Numărul de noduri care alcătuiesc un element |
| \(n_g\) | Numărul total de noduri globale |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | Coordonatele și deplasarea nodului de element \(\alpha\) |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | Vectorii coordonatelor nodale și ai deplasărilor elementului: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), etc. |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | Vectorii globali ai coordonatelor nodale și ai deplasărilor (ordonați după numărul nodului, apoi după gradul de libertate) |
| \(\boldsymbol{B}\) | Matricea relației deformație–deplasare (matricea B) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | Matricea funcțiilor de formă: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) este un bloc \(d \times d\) cu funcția de formă \(N_\alpha^e\) pentru nodul \(\alpha\) pe diagonală, iar \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | Matricea de rigiditate a elementului |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | Integranzii matricei de rigiditate a elementului (exprimați în configurațiile de referință și curentă): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (formulare TL), \(\boldsymbol{q}^e\) (formulare UL) | Vectorul forțelor interne ale elementului |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | Forța externă nodală care acționează asupra nodului de element \(\alpha\) și vectorul forțelor externe nodale ale elementului: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | Vectorul global al forțelor interne și vectorul global al forțelor externe: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); în mod analog pentru \(\boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | Forța internă nodală și forța externă nodală la nodul global \(i_g\) (blocurile nodale ale lui \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)) |
| \(\boldsymbol{K}\) | Matricea globală de rigiditate tangentă: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matrice formată prin plasarea blocului \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) pe rândul \(i_g\), coloana \(i_h\) |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Vectorul rezidual în iterația Newton-Raphson: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Corecția în iterația Newton-Raphson (obținută prin rezolvarea ecuației liniare \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) la iterația \(i\)) |
| \(i_g\) | Numărul nodului global (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | Numărul nodului global corespunzător numărului local de nod \(\alpha\) al elementului \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | Mulțimea perechilor \((e, \alpha)\) corespunzătoare numărului nodului global \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Utilizată în operațiile de asamblare |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | Mulțimea tuplurilor \((e, \alpha, \beta)\) corespunzătoare perechii de numere ale nodurilor globale \((i_g, i_h)\); utilizată pentru asamblarea matricei de rigiditate |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | Indici pentru nodurile care alcătuiesc un element |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | Indici pentru gradele de libertate (\(1, 2, 3\) în 3D) |
Elemente avansate și elemente structurale
| Simbol | Descriere |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | Matricea relației deformație–deplasare cu partea volumică modificată prin metoda B-bar (componenta volumică este înlocuită cu matricea B evaluată în centrul elementului) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | Gradientul de deformație cu partea volumică modificată prin metoda F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | Raportul de volum al gradientului de deformație evaluat în centrul elementului \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | Vector intern al gradelor de libertate pentru un element cu moduri incompatibile (coeficienții modurilor suplimentare de deplasare care nu impun continuitatea pe frontiera elementului) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | Funcții de formă pentru moduri incompatibile: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | Grosimea elementului de tip înveliș |
| \(A\) | Aria secțiunii transversale a unui element de tip grindă |
| \(I\) | Momentul de inerție al ariei secțiunii unui element de tip grindă |
| \(G\) | Modul de forfecare: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
Subiecte conexe