Sari la conținut

Verificare cu modele de formă simplă

Analiză statică elastică

Această verificare utilizează o grindă în consolă discretizată așa cum se arată în Figura 9.1.1. Au fost efectuate analize pentru șapte cazuri, de la exA la exG, variind condițiile de încărcare așa cum se arată în Figura 9.1.2. Cazul exG are aceleași condiții de încărcare ca exA, dar utilizează un solver direct.

Rezultatele verificării pentru fiecare caz sunt prezentate în tabelele 9.1.1–9.1.7.

Exemplu de discretizare a grinzii în consolă (elemente hexaedrice) Fig. 9.1.1 Exemplu de discretizare a grinzii în consolă (elemente hexaedrice)
(a) exA, G: Sarcină concentrată
(b) exD: Gravitație
(c) exB: Sarcină distribuită pe suprafață
(d) exE: Forță centrifugă
(e) exC: Sarcină volumică
(f) exF : Sarcină termică
Element Valoare
Modulul lui Young \(E = 4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Lungime \(L = 10.0\ \mathrm{mm}\)
Coeficientul lui Poisson \(\nu = 0.3\)
Aria secțiunii \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)
Densitatea de masă \(\rho = 8.0102 \times 10^{-10}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Momentul de inerție al ariei \(I = 1.0/12.0\ \mathrm{mm^4}\)
Accelerația gravitațională \(g = 9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Coeficientul liniar de dilatare termică \(\alpha = 1.0 \times 10^{-5}\)

Fig. 9.1.2 Condiții de verificare pentru modelul grinzii în consolă

Tabelul 9.1.1 : exA: Rezultatele verificării problemei cu sarcină concentrată

Numele cazului Număr de elemente Valoare estimată : \(\delta_{max}= -1.000\) Observații
NASTRAN Comercial FrontISTR
A231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
A232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105 noduri / problemă în stare plană de tensiune
A241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
A242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85 noduri / problemă în stare plană de tensiune
A341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99 noduri
A342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525 noduri
A351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99 noduri
A352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381 noduri
A361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99 noduri
A362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220 noduri
A731 40 - - -0.991 33 noduri / metodă directă
A741 20 - - -0.996 33 noduri / metodă directă

Tabelul 9.1.2 : exB: Rezultatele verificării problemei cu sarcină distribuită pe suprafață

Numele cazului Număr de elemente Valoare estimată : \(\delta_{max}= -3.750\) Observații
NASTRAN Comercial FrontISTR
B231 40 -1.281 -1.403 -1.403 33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
B232 40 -3.579 -3.763 -3.763 105 noduri / problemă în stare plană de tensiune
B241 20 -3.198 -2.680 -2.680 33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
B242 20 -3.426 -3.765 -3.765 85 noduri / problemă în stare plană de tensiune
B341 240 -1.088 -1.449 -1.454 99 noduri
B342 240 -3.704 -3.704 -3.748 525 noduri
B351 80 -3.547 -1.338 -1.325 99 noduri
B352 80 -0.3717 -3.716 -3.713 381 noduri
B361 40 -3.557 -3.691 -3.688 99 noduri
B362 40 -3.726 -3.717 -3.717 220 noduri
B731 40 - - -3.722 33 noduri / metodă directă
B741 20 - - -3.743 33 noduri / metodă directă

Tabelul 9.1.3 : exC: Rezultatele verificării problemei cu sarcină volumică

Numele cazului Număr de elemente Valoare estimată : \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) Observații
NASTRAN Comercial FrontISTR
C231 40 - -1.101e-5 -1.101e-5 33 noduri / problemă de tensiune plană
C232 40 - -2.951e-5 -2.951e-5 105 noduri / problemă de tensiune plană
C241 20 - -2.102e-5 -2.102e-5 33 noduri / problemă de tensiune plană
C242 20 - -2.953e-5 -2.953e-5 85 noduri / problemă de tensiune plană
C341 240 - -1.136e-5 -1.140e-5 99 noduri
C342 240 - -2.905e-5 -2.937e-5 525 noduri
C351 80 - -1.050e-5 -1.039e-5 99 noduri
C352 80 - -2.914e-5 -2.911e-5 381 noduri
C361 40 - -2.895e-5 -2.893e-5 99 noduri
C362 40 - -2.915e-5 -2.915e-5 220 noduri
C731 40 - - -2.922e-5 33 noduri / metodă directă
C741 20 - - -2.938e-5 33 noduri / metodă directă

Tabelul 9.1.4 : exD: Rezultatele verificării problemei de gravitație

Numele cazului Număr de elemente Valoare estimată : \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) Observații
NASTRAN Comercial FrontISTR
D231 40 -1.101e-5 -1.101e-5 -1.101e-5 33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
D232 40 -2.805e-5 -2.951e-5 -2.951e-5 105 noduri / problemă în stare plană de tensiune
D241 20 -2.508e-5 -2.102e-5 -2.102e-5 33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
D242 20 -2.684e-5 -2.953e-5 -2.953e-5 85 noduri / problemă în stare plană de tensiune
D341 240 -1.172e-5 -1.136e-5 -1.140e-5 99 noduri
D342 240 -2.906e-5 -2.905e-5 -2.937e-5 525 noduri
D351 80 -1.046e-5 -1.050e-5 -1.039e-5 99 noduri
D352 80 -2.917e-5 -2.914e-5 -2.911e-5 381 noduri
D361 40 -2.800e-5 -2.895e-5 -2.893e-5 99 noduri
D362 40 -2.919e-5 -2.915e-5 -2.915e-5 220 noduri
D731 40 - - -2.922e-5 33 noduri / metodă directă
D741 20 - - -2.938e-5 33 noduri / metodă directă

Tabelul 9.1.5 : exE: Rezultatele verificării problemei cu forță centrifugă

Numele cazului Număr de elemente Valoare estimată : \(\delta_{max} = 2.635 \times 10^{-3}\) Observații
NASTRAN Comercial FrontISTR
E231 40 2.410e-3 2.616e-3 2.650e-3 33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
E232 40 2.447e-3 2.627e-3 2.628e-3 105 noduri / problemă în stare plană de tensiune
E241 20 2.386e-3 2.622e-3 2.624e-3 33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
E242 20 2.387e-3 2.627e-3 2.629e-3 85 noduri / problemă în stare plană de tensiune
E341 240 2.708e-3 2.579e-3 2.625e-3 99 noduri
E342 240 2.639e-3 2.614e-3 2.638e-3 525 noduri
E351 80 2.642e-3 2.598e-3 2.625e-3 99 noduri
E352 80 2.664e-3 2.617e-3 2.616e-3 381 noduri
E361 40 2.611e-3 2.603e-3 2.603e-3 99 noduri
E362 40 2.623e-3 2.616e-3 2.616e-3 220 noduri
E731 40 - - 2.619e-3 33 noduri / metodă directă
E741 20 - - 2.622e-3 33 noduri / metodă directă

Tabelul 9.1.6 : exF: Rezultatele verificării problemei cu sarcină de tensiune termică

Numele cazului Număr de elemente Valoare estimată : \(\delta_{max} = 1.000 \times 10^{-2}\) Observații
NASTRAN Comercial FrontISTR
F231 40 - 1.016e-2 1.007e-2 33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
F232 40 - 1.007e-2 1.007e-2 105 noduri / problemă în stare plană de tensiune
F241 20 - 1.010e-2 1.010e-2 33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
F242 20 - 1.006e-2 1.006e-2 85 noduri / problemă în stare plană de tensiune
F341 240 - 1.047e-2 1.083e-2 99 noduri
F342 240 - 1.018e-2 1.022e-2 525 noduri
F351 80 - 1.031e-2 1.062e-2 99 noduri
F352 80 - 1.015e-2 1.017e-2 381 noduri
F361 40 - 1.026e-2 1.026e-2 99 noduri
F362 40 - 1.016e-2 1.016e-2 220 noduri

Tabelul 9.1.7 : exG: Rezultatele verificării metodei directe (problema cu sarcină concentrată)

Numele cazului Număr de elemente Valoare estimată: δmax= -1.000 Observații
NASTRAN Comercial FrontISTR
G231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
G232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105 noduri / problemă în stare plană de tensiune
G241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
G242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85 noduri / problemă în stare plană de tensiune
G341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99 noduri
G342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525 noduri
G351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99 noduri
G352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381 noduri
G361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99 noduri
G362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220 noduri
G731 40 - - -0.991 33 noduri / metodă directă
G741 20 - - -0.996 33 noduri / metodă directă

Analiză statică neliniară

(2-1) exnl1: Analiză neliniară geometrică

Modelul de verificare pentru cazul exI este identic cu modelele pentru cazurile exA până la exG. Fig. 9.1.3 prezintă o schemă a modelului de verificare. Pe acest model se efectuează o analiză neliniară geometrică. Rezultatele verificării sunt prezentate în Tabelul 9.1.8.

Calculul neliniar utilizează o sarcină de referință \(P = 1.0\ \mathrm{kgf}\), cu un increment de sarcină \(0.1P\) pe parcursul a 10 pași de încărcare.

Model de verificare Fig. 9.1.3 Model de verificare

Tabelul 9.1.8 exI: Rezultatele verificării (istoricul săgeții maxime)

Numele cazului 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Soluție liniară
I231 - - - - - - - - - - -
I232 - - - - - - - - - - -
I241 - - - - - - - - - - -
I242 - - - - - - - - - - -
I341 0.039 0.077 0.116 0.154 0.193 0.232 0.270 0.309 0.348 0.386 0.386
I342 0.099 0.200 0.300 0.400 0.499 0.599 0.698 0.797 0.896 0.995 0.999
I351 0.035 0.070 0.105 0.141 0.176 0.211 0.246 0.281 0.316 0.351 0.351
I352 0.099 0.198 0.298 0.397 0.496 0.595 0.693 0.792 0.890 0.987 0.992
I361 0.070 0.139 0.209 0.278 0.348 0.417 0.487 0.556 0.625 0.694 0.984
I362 0.099 0.197 0.298 0.397 0.496 0.595 0.694 0.793 0.891 0.988 0.993

(2-2) exnl2: Analiză a deformației elastoplastice

Această problemă de verificare se bazează pe Testul NL1 al National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), NAFEMS, și efectuează o analiză a deformației elastoplastice care include neliniaritatea geometrică și mai multe legi de ecruisare. Figura 9.1.4 prezintă modelul de analiză.

Model de analiză a deformației elastoplastice

Fig. 9.1.4 Model de analiză a deformației elastoplastice

(1) Condiții de verificare

Element Valoare
Material material elastoplastic Mises
Modulul lui Young \(E = 250\ \mathrm{GPa}\)
Coeficientul lui Poisson \(\nu=0.25\)
Tensiune inițială de curgere \(5\ \mathrm{MPa}\)
Deformație inițială de curgere \(0.25\times10^{-4}\)
Coeficient de ecruisare izotropă \(H_i = 0\) sau \(62.5\ \mathrm{GPa}\)

(2) Condiții la limită

Element Condiție la limită Valoare
Pasul 1 Deplasare impusă la nodurile 2 și 3 \(u_x = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Pasul 2 Deplasare impusă la nodurile 2 și 3 \(u_x = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Pasul 3 Deplasare impusă la nodurile 3 și 4 \(u_y = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Pasul 4 Deplasare impusă la nodurile 3 și 4 \(u_y = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Pasul 5 Deplasare impusă la nodurile 2 și 3 \(u_x = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Pasul 6 Deplasare impusă la nodurile 2 și 3 \(u_x = -0.2500031251 * 10^{-4}\)
Pasul 7 Deplasare impusă la nodurile 3 și 4 \(u_y = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Pasul 8 Deplasare impusă la nodurile 3 și 4 \(u_y = -0.2500031251 * 10^{-4}\)

Toate nodurile care nu sunt enumerate aici sunt complet constrânse. Soluția teoretică pentru această problemă este următoarea.

Deformație (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 Tensiune echivalentă (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
0.25, 0, 0 5.0; 5.0
0.50, 0, 0 5.0; 5.862
0.50, 0.25, 0 5.0; 5.482
0.50, 0.50, 0 5.0; 6.362
0.25, 0.50, 0 5.0; 6.640
0, 0.50, 0 5.0; 7.322
0, 0.25, 0 3.917; 4.230
0, 0, 0 5.0; 5.673

Pentru comparație, rezultatele calculului sunt următoarele.

Deformație (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 Tensiune echivalentă (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
\(\varepsilon_{x}\) \(\varepsilon_{y}\)
0.25, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.0 (0.0%)
0.50, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.862 (0.0%)
0.50, 0.25, 0 5.0 (0.0%); 5.482 (0.0%)
0.50, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.362 (-0.05%)
0.25, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.640 (-0.21%)
0, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 7.322 (-0.34%)
0, 0.25, 0 3.824 (-2.4%); 4.230 (-2.70%)
0, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.673 (5.673 (-2.50%)

Analiza de contact (1)

Această problemă de verificare se bazează pe problema de testare a zonei de contact CGS-4 a National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), și testează capabilitatea de contact cu alunecare finită și frecare. Fig. 9.1.5 prezintă modelul de analiză.

Model de analiză de contact

Fig. 9.1.5 Model de analiză de contact

Condiția de echilibru pentru această problemă este următoarea.

\[ F \cos \alpha - G \sin \alpha = \pm f_{c} \]

În etapa de frecare cu aderență, forța de frecare este

\[ f_{c} = E_t \Delta u \]

iar în etapa de frecare cu alunecare, aceasta este

\[ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) \]

.

Comparația dintre rezultatele calculului și soluția analitică este următoarea.

\(\mu\) \(F/G\) Soluție analitică \(F/G\) Rezultatele calculului
0.0 0.1 0.1
0.1 0.202 0.202
0.2 0.306 0.306
0.3 0.412 0.412

Analiza de contact (2): problema de contact Hertz

Această verificare analizează problema de contact Hertz dintre un cilindru infinit de lung și un plan infinit. Raza cilindrului este \(R = 8\ \mathrm{mm}\), iar modulul lui Young \(E\) și coeficientul lui Poisson \(\mu\) ale corpului deformabil sunt, respectiv, \(1100\ \mathrm{MPa}\) și \(0.0\). Se presupune că aria de contact este suficient de mică în raport cu raza cilindrului și, ținând seama de simetria problemei, se analizează un model de un sfert de cilindru.

Model de analiză pentru problema de contact Hertz Fig. 9.1.6 Model de analiză pentru problema de contact Hertz

(1) Rezultatele verificării razei de contact

Formula teoretică pentru calcularea razei de contact este următoarea:

\[ a = \sqrt{\frac{4FR}{\pi E^{*}}} \]

unde

\[ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) \]

. În condițiile de calcul de față, când presiunea este \(F=100\), raza de contact este \(a=1.36\).

Fig. 9.1.7 prezintă forțele nodale echivalente în punctele de contact. Raza de contact se obține prin extrapolarea acestei distribuții a forțelor nodale.

Distribuția forțelor nodale echivalente în punctele de contact

Fig. 9.1.7 Distribuția forțelor nodale echivalente în punctele de contact

(2) Rezultatele verificării tensiunii tangențiale maxime

În soluția teoretică, la poziția de contact

\[ z = 0.78a \]

tensiunea tangențială maximă este

\[ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} \]

. În condițiile de calcul de față,

\[ \tau_{\max} = 14.2 \]

. Prin comparație, calculul dă

\[ \tau_{\max} = 15.6 \]

.

Distribuția tensiunii tangențiale (valoare maximă = 15.6 Fig. 9.1.8 Distribuția tensiunii tangențiale (valoare maximă = 15.6)

(3) Analiză modală

Modelele de verificare pentru cazurile exJ și exK sunt identice cu modelele pentru cazurile exA până la exG. Fig. 9.1.9 prezintă o schemă a modelului de verificare. Pe acest model se efectuează o analiză modală. Se calculează primele trei frecvențe proprii. Cazul exJ utilizează un solver iterativ, în timp ce cazul exK utilizează un solver direct. Rezultatele verificării sunt prezentate în Tabelele 9.1.9 până la 9.1.12.

Model de verificare Fig. 9.1.9 Model de verificare

Frecvențele proprii ale grinzii în consolă se obțin din următoarele ecuații.

Primul mod

\[ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Al doilea mod

\[ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Al treilea mod

\[ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Valorile proprietăților modelului de verificare sunt

Element Valoare
\(I\) \(1.0/12.0\ \mathrm{mm}^4\)
\(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
\(l\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
\(\omega\) \(7.85 \times 10^{-6}\ \mathrm{kgf/mm^3}\)
\(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)

Astfel, primele trei frecvențe proprii sunt următoarele:

Numărul modului Valoare
\(n_1\) 3.609e3
\(n_2\) 2.262e4
\(n_3\) 6.335e4

Tabelul 9.1.9 : exJ: Rezultatele verificării prin metoda iterativă pentru prima frecvență proprie

Numele cazului Număr de elemente Valoare estimată : n1=3.609e3 Observații
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
J232 40 3.596e3 3.593e3 105 noduri / problemă în stare plană de tensiune
J241 20 3.586e3 4.245e3 33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
J242 20 3.590e3 3.587e3 85 noduri / problemă în stare plană de tensiune
J341 240 5.442e3 5.429e3 99 noduri
J342 240 3.621e3 3.595e3 525 noduri
J351 80 3.695e3 4.298e3 99 noduri
J352 80 3.610e3 3.609e3 381 noduri
J361 40 3.679e3 3.619e3 99 noduri
J362 40 3.611e3 3.606e3 220 noduri

Tabelul 9.1.10 : Rezultatele verificării exJ prin metoda iterativă pentru a doua frecvență proprie

Numele cazului Număr de elemente Valoare estimată : n2=2.262e4 Observații
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
J232 40 2.163e4 2.156e4 105 noduri / problemă în stare plană de tensiune
J241 20 2.149e4 2.516e4 33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
J242 20 2.149e4 2.143e4 85 noduri / problemă în stare plană de tensiune
J341 240 3.145e4 3.138e4 99 noduri
J342 240 2.171e4 2.155e4 525 noduri
J351 80 2.208e4 2.546e4 99 noduri
J352 80 2.156e4 2.149e4 381 noduri
J361 40 2.202e4 2.168e4 99 noduri
J362 40 2.154e4 2.144e4 220 noduri

Notă) În modelele tridimensionale, primele două moduri sunt degenerate. Prin urmare, a treia frecvență proprie calculată este prezentată în tabel ca a doua frecvență proprie.

Tabelul 9.1.11 : Rezultatele verificării exK prin metoda directă pentru prima frecvență proprie

Numele cazului Număr de elemente Valoare estimată : n1=3.609e3 Observații
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
J232 40 3.596e3 3.593e3 105 noduri / problemă în stare plană de tensiune
J241 20 3.586e3 4.245e3 33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
J242 20 3.590e3 3.587e3 85 noduri / problemă în stare plană de tensiune
J341 240 5.442e3 5.429e3 99 noduri
J342 240 3.621e3 3.595e3 525 noduri
J351 80 3.695e3 4.298e3 99 noduri
J352 80 3.610e3 3.609e3 381 noduri
J361 40 3.679e3 3.619e3 99 noduri
J362 40 3.611e3 3.606e3 220 noduri
J731 40 - 3.606e3 220 noduri
J741 20 - 3.594e3 220 noduri

Tabelul 9.1.12 : Rezultatele verificării exK prin metoda directă pentru a doua frecvență proprie

Numele cazului Număr de elemente Valoare estimată : n2=2.262e4 Observații
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
J232 40 2.163e4 2.156e4 105 noduri / problemă în stare plană de tensiune
J241 20 2.149e4 2.516e4 33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
J242 20 2.149e4 2.143e4 85 noduri / problemă în stare plană de tensiune
J341 240 3.145e4 3.138e4 99 noduri
J342 240 2.171e4 2.155e4 525 noduri
J351 80 2.208e4 2.546e4 99 noduri
J352 80 2.156e4 2.149e4 381 noduri
J361 40 2.202e4 2.168e4 99 noduri
J362 40 2.154e4 2.144e4 220 noduri
J731 40 - 2.156e4 220 noduri
J741 20 - 2.153e4 220 noduri

Notă) În modelele tridimensionale, primele două moduri sunt degenerate. Prin urmare, a treia frecvență proprie calculată este prezentată în tabel ca a doua frecvență proprie.

(4) Analiză de conducție termică

Condițiile comune pentru analizele de conducție termică în regim staționar sunt prezentate în Figura 9.1.10. Condițiile individuale pentru cazurile de verificare exM până la exT sunt prezentate în Figura 9.1.11. Discretizarea este echivalentă cu cea utilizată pentru exA.

Tabelele 9.1.13–9.1.20 prezintă rezultatele verificării pentru fiecare caz sub forma unor tabele de distribuție a temperaturii.

Analiză de conducție termică
Lungimea între A și B \(L = 10.0\ \mathrm{m}\)
Aria secțiunii transversale \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)

Dependența conductivității termice de temperatură

Conductivitate termică \(\lambda\) (W/(m·K)) Temperatură (°C)
50.0 0.0
35.0 500.0
20.0 1000.0

Fig. 9.1.10 : Condiții de verificare pentru analiza conducției termice în regim staționar
exM: Material liniar
exN: Problemă cu temperatură prescrisă
exO: Problemă cu flux termic concentrat
exP: Problemă cu flux termic distribuit
exQ: Problemă de transfer termic convectiv
exR: Problemă de transfer termic prin radiație
exS: Problemă de generare volumică de căldură
exT: Problemă cu interstițiu intern

Fig. 9.1.11 : Condiții de analiză pentru fiecare caz de verificare

Tabelul 9.1.13 : Rezultatele verificării exM (calcul în regim staționar pentru material liniar)

Numele cazului Tip de element Elemente/noduri Distanța față de capătul A (m)
Capătul A 2.0 4.0 6.0 8,0 Capătul B
M361A 361 40／33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361B 361 40／105 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361C 361 20／33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361D 361 20／85 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361E 361 240／99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361F 361 24／525 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361G 361 80／99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0

Tabelul 9.1.14 : Rezultatele verificării exN (problemă cu temperatură prescrisă)

Numele cazului Tip de element Elemente/noduri Distanța față de capătul A (m)
Capătul A 2.0 4.0 6.0 8,0 Capătul B
Comercial 361 40／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N231 231 40／33 0.0 87.2 179.5 278.0 384.1 500.0
N232 232 40／105 0.0 86.0 178.3 276.8 382.9 500.0
N241 241 20／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N242 242 20／85 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N341 341 240／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N342 342 24／525 0.0 87.9 179.9 278.0 383.6 500.0
N351 351 80／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N352 352 80／381 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N361 361 40／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N362 362 40／330 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N731 731 40／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N741 741 20／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0

Tabelul 9.1.15 : Rezultatele verificării exO (problemă cu flux termic concentrat)

Numele cazului Tip de element Elemente/noduri Distanța față de capătul A (m)
Capătul A 2.0 4.0 6.0 8,0 Capătul B
Comercial 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.4 465.2 618.0
O341 341 240／99 - - - - - -
O342 342 24／525 0.0 104.4 214.9 334.7 466.3 614.6
O351 351 80／99 - - - - - -
O352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 465.0 624.2
O361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 623.5
O731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
O741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Tabelul 9.1.16 : Rezultatele verificării exP (problemă cu flux termic distribuit)

Numele cazului Tip de element Elemente/noduri Distanța față de capătul A (m)
Capătul A 2.0 4.0 6.0 8,0 Capătul B
Comercial 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P341 341 240／99 - - - - - -
P342 342 24／525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P351 351 80／99 - - - - - -
P352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 612.6
P731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
P741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Tabelul 9.1.17 : Rezultatele verificării exQ (problemă de transfer termic convectiv)

Numele cazului Tip de element Elemente/noduri Distanța față de capătul A (m)
Capătul A 2.0 4.0 6.0 8,0 Capătul B
Comercial 361 40／99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q231 231 40／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q232 232 40／105 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q241 241 20／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q242 242 20／85 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q341 341 240／99 - - - - - -
Q342 342 24／525 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q351 351 80／99 - - - - - -
Q352 352 80／381 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q361 361 40／99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q362 362 40／330 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q731 731 40／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q741 741 20／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2

Tabelul 9.1.18 : Rezultatele verificării exR (problemă de transfer termic prin radiație)

Numele cazului Tip de element Elemente/noduri Distanța față de capătul A (m)
Capătul A 2.0 4.0 6.0 8,0 Capătul B
Comercial 361 40／99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R231 231 40／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R232 232 40／105 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R241 241 20／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R242 242 20／85 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R341 341 240／99 - - - - - -
R342 342 24／525 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R351 351 80／99 - - - - - -
R352 352 80／381 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R361 361 40／99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R362 362 40／330 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R731 731 40／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R741 741 20／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2

Tabelul 9.1.19 : Rezultatele verificării exS (problemă de generare volumică de căldură)

Numele cazului Tip de element Elemente/noduri Distanța față de capătul A (m)
Capătul A 2.0 4.0 6.0 8,0 Capătul B
Comercial 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S341 341 240／99 - - - - - -
S342 342 24／525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S351 351 80／99 - - - - - -
S352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Tabelul 9.1.20 : Rezultatele verificării exT (problemă cu interstițiu intern)

Numele cazului Tip de element Elemente/noduri Distanța față de capătul A (m)
Capătul A 2.0 4.0 6.0 8,0 Capătul B
Comercial 361 40／99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S231 231 40／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S232 232 40／105 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S241 241 20／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S242 242 20／85 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S341 341 240／99 - - - - - -
S342 342 24／525 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S351 351 80／99 - - - - - -
S352 352 80／381 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S361 361 40／99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S362 362 40／330 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S731 731 40／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S741 741 20／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0

Analiză dinamică liniară

În exW se efectuează o analiză dinamică liniară pe aceeași grindă în consolă ca la punctul (1). Fig. 9.1.12 prezintă condițiile de verificare. Pentru aceeași discretizare, se verifică efectul incrementului de timp asupra rezultatelor. Se utilizează atât metode implicite, cât și explicite de integrare în timp, cu tipurile de elemente 361 și 342. Rezultatele verificării sunt prezentate în Tabelul 9.1.22 și în Figurile 9.1.13–9.1.15.

Model de analiză Model de analiză

Istoricul în timp al forței externe F Istoricul în timp al forței externe F

Soluția teoretică pentru deplasarea punctului de excitație este următoarea:

\[ F(t)=F_0 I(t) \]

unde

\[ \(F_0:\ \text{Vector constant}\) \]
\[ I(t)= \begin{cases} 0, t < 0 \\\ 1, 0 \leq t \end{cases} \]
\[ u(t) = \frac{F_0 l^3}{EI} \sum^{\infty}_{i=1} \frac{1-\cos{\omega_i t}}{{\lambda_i}^4} \left\lbrace \cosh{\lambda_i}-\cos{\lambda_i}-\frac{\cosh{\lambda_i} + \cos{\lambda_i}}{\sin{\lambda_i}+\sin{\lambda_i}} (\sinh{\lambda_i} - \sin{\lambda_i}) \right\rbrace^2 \]

Fig. 9.1.12 : Condiții de verificare pentru analiza dinamică liniară

Condiții de verificare:
Lungime \(L\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
Lățimea secțiunii transversale \(a\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
Înălțimea secțiunii transversale \(b\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
Modulul lui Young \(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Coeficientul lui Poisson \(\nu\) \(0.3\)
Densitate \(\rho\) \(1.0 \times 10^{-9}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Accelerația gravitațională \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Forță externă \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{kgf}\)
Element Element hexaedric liniar
Element tetraedric de ordinul al doilea
Soluție metodă implicită
Parametrul metodei Newmark-\(\beta\), \(\gamma\) 1/2
Parametrul \(\beta\) al metodei Newmark-\(\beta\) 1/4
metodă explicită
Amortizare Niciuna

Tabelul 9.1.21 : Condiții de verificare pentru analiza dinamică liniară (continuare)

Numele cazului Tip de element Nr. de noduri Nr. de elemente Soluție Increment de timp \(\Delta t\) (s)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 metodă implicită 1.0E-06
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 metodă implicită 1.0E-05
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 metodă implicită 1.0E-04
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 metodă implicită 1.0E-08
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 metodă implicită 1.0E-07
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 metodă implicită 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 metodă explicită 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 metodă explicită 1.0E-05
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 metodă explicită 1.0E-04
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 metodă explicită 1.0E-08
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 metodă explicită 5.0E-08
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 metodă explicită 1.0E-07

Tabelul 9.1.22 : Rezultatele verificării analizei dinamice liniare exW (grindă în consolă)

Numele cazului Tip de element Număr de noduri Număr de elemente Metodă Deplasarea pe direcția z la timpul \(t = 0.002\ \mathrm{s}\) (mm)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 metodă implicită 1.9753 1.9302
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 metodă implicită 1.9753 1.8686
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 metodă implicită 1.9753 0.3794
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 metodă implicită 1.9753 1.9302
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 metodă implicită 1.9753 1.9247
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 metodă implicită 1.9753 Divergent
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 metodă explicită 1.9753 1.9431
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 metodă explicită 1.9753 1.8719
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 metodă explicită 1.9753 0.3873
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 metodă explicită 1.9753 1.9359
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 metodă explicită 1.9753 1.9358
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 metodă explicită 1.9753 Divergent

Diagrama de deformație și distribuția tensiunii echivalente ale grinzii în consolă Fig. 9.1.13 : Diagrama de deformație și distribuția tensiunii echivalente ale grinzii în consolă

(a) Tip de element 361 : metodă implicită (a) Tip de element 361: metodă implicită

(b) Tip de element 361 : metodă explicită (b) Tip de element 361: metodă explicită

Fig. 9.1.14 Istoricul în timp al deplasării punctului de excitație \(u_z\)

(a) Tip de element 342: metodă implicită (a) Tip de element 342: metodă implicită

(b) Tip de element 342: metodă explicită (b) Tip de element 342: metodă explicită

Fig. 9.1.15 : Istoricul în timp al deplasării punctului de excitație \(u_z\)

Analiză de răspuns în frecvență

În această verificare se efectuează o analiză de răspuns în frecvență pe o grindă în consolă și se validează prin comparație cu rezultatele unui solver comercial de uz general. Modelul de analiză și condițiile de verificare sunt prezentate mai jos.

Condiții de analiză:
Modulul lui Young \(E\) \(210000\ \mathrm{N/mm^2}\)
Coeficientul lui Poisson \(\nu\) \(0.3\)
Densitate \(\rho\) \(7.89 \times 10^{-9}\ \mathrm{t/mm^3}\)
Accelerația gravitațională \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Sarcină \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{N}\)
Parametru al amortizării Rayleigh \(R_m\) \(0.0\)
Parametru al amortizării Rayleigh \(R_k\) \(7.2E-07\)

Fig. 9.1.16 : Model de analiză (element tetraedric liniar (126 de elemente și 55 de noduri))

Mai jos sunt prezentate primele cinci frecvențe proprii obținute din analiza modală și răspunsul în frecvență în punctul de excitație.

mod FrontISTR Comercial
1 14952 14952
2 15002 15003
3 84604 84539
4 84771 84697
5 127054 126852

Dependența de frecvență a amplitudinii deplasării punctului de excitație Fig. 9.1.17 : Dependența de frecvență a amplitudinii deplasării punctului de excitație