Перечень обозначений физических величин
На этой странице приведены обозначения физических величин, используемых в теоретическом руководстве FrontISTR. Правила обозначений (полужирное начертание векторов и тензоров, соглашение Эйнштейна о суммировании, запись Фойгта) см. в разделе Тензорные обозначения и математические основы.
Конфигурации и системы координат
| Обозначение | Описание |
| \(\boldsymbol{X}\) | Радиус-вектор материальной точки в исходной (начальной) конфигурации (материальные координаты) |
| \(\boldsymbol{x}\) | Радиус-вектор материальной точки в текущей конфигурации (пространственные координаты) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | Отображение движения: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | Область, занимаемая телом в исходной конфигурации |
| \(\Omega\) | Область, занимаемая телом в текущей конфигурации |
| \(\Gamma_0\) | Граница \(\Omega_0\) |
| \(\Gamma\) | Граница \(\Omega\) |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | Геометрическая (по перемещениям) граница: граница в текущей/исходной конфигурации, на которой задано \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | Силовая граница: граница в текущей/исходной конфигурации, на которой задано \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (или \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) |
| \(\boldsymbol{n}\) | Внешний единичный вектор нормали к поверхности в текущей конфигурации |
| \(\boldsymbol{N}\) | Внешний единичный вектор нормали к поверхности в исходной конфигурации |
| \(t\) | Время |
Соглашение: физические величины в исходной конфигурации обозначаются прописными буквами или индексом \(0\), а величины в текущей конфигурации — строчными буквами.
Время и приращения (инкрементный анализ)
| Обозначение | Описание |
| \(\Delta t\) | Приращение времени: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | Физическая величина в момент времени \(t\) (левый верхний индекс). Пример: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) — напряжение Коши в момент времени \(t\) |
| \(^{t}\Omega\) | Область текущей конфигурации в момент времени \(t\) |
| \(^{t}\Gamma\) | Граница текущей конфигурации в момент времени \(t\) |
Соглашение: в инкрементном анализе состояние до момента времени \(t\) считается известным, а состояние в момент \(t + \Delta t\) определяется как неизвестное. Левый верхний индекс опускается, если время не требуется указывать явно. Формулировка, использующая исходную конфигурацию \(\Omega_0\) в качестве опорной, называется полной лагранжевой формулировкой, а формулировка, использующая текущую конфигурацию \(^{t}\Omega\) в начале приращения в качестве опорной, — обновлённой лагранжевой формулировкой.
Перемещение, скорость, ускорение и объёмная сила
| Обозначение | Описание |
| \(\boldsymbol{u}\) | Вектор перемещения: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | Перемещение, заданное на геометрической границе \(\Gamma_B\) |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | Виртуальное перемещение (тестовая функция): на \(\Gamma_B\) выполняется \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | Вектор скорости: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | Вектор ускорения: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | Объёмная сила (на единицу массы) |
| \(\boldsymbol{t}\) | Вектор поверхностной нагрузки (на единицу площади): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | Поверхностная нагрузка, заданная на силовой границе \(\Gamma_t\) (данные Неймана) |
Дифференциальные операторы
| Обозначение | Описание |
| \(\dot{(\cdot)}\) | Материальная производная по времени (производная по времени при слежении за одной и той же материальной точкой): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | Градиент в исходной конфигурации (градиент по материальным координатам \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | Градиент в текущей конфигурации (градиент по пространственным координатам \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | Оператор симметричного градиента: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
Примечание: \(\nabla_X\) и \(\nabla_x\) связаны соотношением \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Градиент без индекса, \(\nabla\), используется, когда конфигурация понятна из контекста или когда различие исчезает, например при малых деформациях.
Тензоры деформации
| Обозначение | Описание |
| \(\boldsymbol{F}\) | Тензор градиента деформации: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | Коэффициент изменения объёма: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | Правый тензор деформации Коши—Грина: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | Левый тензор деформации Коши—Грина: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | Тензор градиента скорости: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | Тензор скорости деформации (симметричная часть \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | Тензор спина (антисимметричная часть \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
Тензоры деформаций
| Обозначение | Описание |
| \(\boldsymbol{E}\) | Тензор деформаций Грина—Лагранжа (исходная конфигурация): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Тензор деформаций Альманси (текущая конфигурация): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Линейная часть тензора деформаций Альманси (симметричный градиент перемещений в текущей конфигурации): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | Тензор малых деформаций (линейное приближение): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
Примечание: \(\boldsymbol{E}\) преимущественно используется в полной лагранжевой формулировке, а \(\boldsymbol{D}\) — в обновлённой лагранжевой формулировке.
Тензоры напряжений
| Обозначение | Описание |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Тензор напряжений Коши (истинное напряжение, текущая конфигурация): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | Первый тензор напряжений Пиолы—Кирхгофа (номинальное напряжение): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | Второй тензор напряжений Пиолы—Кирхгофа (исходная конфигурация, симметричный): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
Соотношения преобразования между тензорами напряжений:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
Соглашение: в полной лагранжевой формулировке используется пара \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), а в обновлённой лагранжевой формулировке — пара \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).
Плотность и масса
| Обозначение | Описание |
| \(\rho\) | Плотность массы в текущей конфигурации |
| \(\rho_0\) | Плотность массы в исходной конфигурации |
Закон сохранения массы: \(\rho_0 = J\rho\).
Материальные константы (линейная упругость)
| Обозначение | Описание |
| \(E\) | Модуль Юнга (модуль продольной упругости) |
| \(\nu\) | Коэффициент Пуассона |
| \(\lambda\) | Первая постоянная Ламе: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | Вторая постоянная Ламе (модуль сдвига): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | Тензор упругости (четвёртого ранга): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), компоненты \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (или \(\hat{\tilde{C}}\)) | Матрица материала (запись Фойгта, в 3D — \(6\times6\)): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
Компоненты тензора упругости изотропного линейно-упругого материала:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
Гиперупругие материалы
| Обозначение | Описание |
| \(W(\boldsymbol{C})\) | Функция упругого потенциала (плотность энергии деформации) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | Главные инварианты правого тензора Коши—Грина \(\boldsymbol{C}\) |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | Приведённые инварианты \(\boldsymbol{C}\) (с отделённой объёмной частью деформации) |
| \(C_1, C_2\) | Материальные константы модели Mooney-Rivlin |
| \(D\) | Материальная константа, связанная с объёмной упругостью |
Упругопластические материалы
| Обозначение | Описание |
| \(\boldsymbol{D}^e\) | Упругая составляющая тензора скорости деформации |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | Пластическая составляющая тензора скорости деформации |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | Функция текучести |
| \(\kappa\) | Внутренняя переменная, характеризующая пластическое состояние (переменная изотропного упрочнения) |
| \(\lambda^p\) | Пластический множитель (множитель скорости пластической деформации): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | Пластический потенциал (для ассоциированного закона течения \(\Theta = F\)) |
| \(\bar{\sigma}\) | Эквивалентное напряжение (например, напряжение по Мизесу) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | Эквивалентная пластическая деформация |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | Функция изотропного упрочнения |
Условие дополнительности: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
Метод конечных элементов
| Обозначение | Описание |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | Области в текущей и исходной конфигурациях, аппроксимированные конечно-элементным разбиением: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | Область элемента в текущей и исходной конфигурациях |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | Часть границы элемента, принадлежащая силовой границе |
| \(\boldsymbol{r}\) | Естественные координаты (локальные координаты элемента) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | Точка в естественных координатах, соответствующая узлу \(\alpha\) |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | Функция формы элемента \(e\), соответствующая узлу \(\alpha\) |
| \(n_e\) | Число узлов элемента |
| \(n_g\) | Общее число глобальных узлов |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | Координаты и перемещение узла элемента \(\alpha\) |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | Векторы координат и перемещений узлов элемента: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) и т. п. |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | Глобальные векторы координат и перемещений узлов (упорядочены сначала по номеру узла, затем по степени свободы) |
| \(\boldsymbol{B}\) | Матрица связи деформаций и перемещений (B-матрица) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | Матрица функций формы: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) для узла \(\alpha\) представляет собой блок, в котором функция формы \(N_\alpha^e\) расположена по диагонали блока \(d \times d\), а \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | Матрица жёсткости элемента |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | Подынтегральные выражения матрицы жёсткости элемента (в исходной и текущей конфигурациях): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (метод TL), \(\boldsymbol{q}^e\) (метод UL) | Вектор внутренних сил элемента |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | Узловая внешняя сила, действующая на узел \(\alpha\) элемента, и вектор узловых внешних сил элемента: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | Глобальные векторы внутренних и внешних сил: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); аналогично для \(\boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | Узловая внутренняя и внешняя сила в глобальном узле \(i_g\) (узловые блоки \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)) |
| \(\boldsymbol{K}\) | Глобальная касательная матрица жёсткости: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Матрица, в которой блок \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) расположен в строке \(i_g\), столбце \(i_h\) |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Вектор невязки на итерации Ньютона–Рафсона: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Поправка на итерации Ньютона–Рафсона (на итерации \(i\) получается решением линейного уравнения \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\)) |
| \(i_g\) | Номер глобального узла (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | Номер глобального узла: для элемента \(e\) он соответствует локальному номеру узла \(\alpha\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | Множество пар, соответствующих номеру глобального узла \(i_g\): \((e, \alpha)\), то есть \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Используется при сборке |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | Для пары номеров глобальных узлов \((i_g, i_h)\) — множество троек \((e, \alpha, \beta)\); используется при сборке матрицы жёсткости |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | Индексы узлов, составляющих элемент |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | Индексы степеней свободы (в 3D: \(1, 2, 3\)) |
Улучшенные и конструкционные элементы
| Обозначение | Описание |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | Матрица связи деформаций и перемещений с модифицированной объёмной частью по методу B-bar (объёмная компонента заменяется B-матрицей, вычисленной в центре элемента) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | Градиент деформации с модифицированной объёмной частью по методу F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | Коэффициент изменения объёма градиента деформации, вычисленного в центре элемента \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | Вектор внутренних степеней свободы для элемента с несовместимыми модами (коэффициенты дополнительных мод перемещений, для которых непрерывность на границе элемента не обеспечивается) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | Функции формы несовместимых мод: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | Толщина оболочечного элемента |
| \(A\) | Площадь поперечного сечения балочного элемента |
| \(I\) | Второй момент площади поперечного сечения балочного элемента |
| \(G\) | Модуль сдвига: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
Связанные разделы