Перейти к содержанию

Translation update pending

The Russian translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

Методы динамического анализа

В этом разделе рассматриваются методы анализа динамических задач с применением прямого интегрирования по времени. Ниже приведены формулировки неявного и явного методов.

Дискретизация уравнения движения (общая схема)

TBD (будет оформлено в следующей фазе).

Неявный метод (метод Ньюмарка-β)

Для динамической задачи к решению приведённого ниже уравнения движения применяется метод прямого интегрирования по времени.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Здесь \(M\) — матрица масс, \(C\) — матрица демпфирования, \(Q\) — вектор внутренних сил, а \(F\) — вектор внешних сил. При этом матрица масс считается постоянной и не зависящей от деформации даже при нелинейном анализе.

Изменения перемещения, скорости и ускорения на временном шаге \(\Delta t\) аппроксимируются методом Ньюмарка-\(\beta\), как показано в уравнениях \(\eqref{eq:2.5.2}\) и \(\eqref{eq:2.5.3}\).

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Здесь \(\gamma\) и \(\beta\) — параметры метода Ньюмарка-\(\beta\).

Как хорошо известно, при следующих значениях \(\gamma\) и \(\beta\) метод совпадает соответственно с методом линейного ускорения или правилом трапеций.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\)(метод линейного ускорения)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\)(правило трапеций)

Подстановка уравнений \(\eqref{eq:2.5.2}\) и \(\eqref{eq:2.5.3}\) в уравнение \(\eqref{eq:2.5.1}\) даёт следующее выражение.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

В частности, для линейной задачи \(K_L\) является линейной матрицей жёсткости, а \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Подстановка этого соотношения в приведённое выше уравнение даёт

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

В точках, где в качестве геометрического граничного условия задано ускорение, из уравнения \(\eqref{eq:2.5.2}\) получают следующее перемещение.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Аналогично, в точках, где задана скорость, из уравнения \(\eqref{eq:2.5.6}\) получают следующее перемещение.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Здесь \(u_{is}(t+\Delta{t})\) — узловое перемещение в момент времени \(t+\Delta{t}\), \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) — узловая скорость в момент времени \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) — узловое ускорение в момент времени \(t+\Delta{t}\), \(i\) — номер степени свободы узла, а \(s\) — номер узла. Массовый член и член демпфирования обрабатываются следующим образом.

Обработка массового члена

Матрица масс, как правило, рассматривается как матрица сосредоточенных масс.

Обработка члена демпфирования

Член демпфирования рассматривается как демпфирование Рэлея, выражаемое уравнением \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Здесь \(R_m\) и \(R_k\) — параметры демпфирования Рэлея.

Значения \(R_m\) и \(R_k\), задаваемые картой !DYNAMIC, применяются единообразно ко всей модели. Чтобы задать различные значения \(R_m\) и \(R_k\) для разных материалов, внутри блока !MATERIAL соответствующего материала укажите карту !DAMPING. Для элементов, принадлежащих материалу, для которого задана карта !DAMPING, элементная матрица демпфирования вычисляется на основе матрицы масс элемента \(M_i\) и касательной матрицы жёсткости \(K_i\) по формуле \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\), после чего собирается в глобальную матрицу демпфирования. Эта функция доступна только для неявного метода.

Явный метод (метод центральных разностей)

Явный метод основывается на уравнении движения в момент времени t, приведённом ниже.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Если выразить перемещения в моменты времени \(t + \Delta t\) и \(t - \Delta t\) разложением Тейлора относительно момента времени \(t\) и оставить члены до второго порядка по \(\Delta t\) включительно, получим

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Из разности и суммы уравнений \(\eqref{eq:2.5.3}\) и \(\eqref{eq:2.5.4}\) получаются следующие выражения.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Подстановка уравнений \(\eqref{eq:2.5.12}\) и \(\eqref{eq:2.5.13}\) в уравнение \(\eqref{eq:2.5.9}\) даёт следующее выражение.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

В частности, для линейной задачи \(Q(t) = K_L U(t)\), и приведённое выше уравнение принимает вид

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Если матрицу масс \(M\) принять как матрицу сосредоточенных масс, а матрицу демпфирования — как матрицу пропорционального демпфирования \(C = R_m M\), то уравнение \(\eqref{eq:2.5.15}\) не требует решения системы линейных уравнений.

Следовательно, из уравнения \(\eqref{eq:2.5.15}\) величину \(U(t+\Delta t)\) можно определить следующим выражением.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Связанные разделы