Перейти к содержанию

Верификация на моделях простой геометрии

Упругий статический анализ

В данной верификации рассматривается консольная балка с конечно-элементной сеткой, показанной на рис. 9.1.1. В качестве условий верификации выполнен анализ семи случаев exA–exG с различными условиями нагружения, показанными на рис. 9.1.2. Случай exG имеет те же условия нагружения, что и exA, но используется решатель прямым методом.

Результаты верификации для каждого условия нагружения приведены в таблицах 9.1.1–9.1.7.

Пример конечно-элементной сетки консольной балки (шестигранные элементы) Рисунок 9.1.1 Пример конечно-элементной сетки консольной балки (шестигранные элементы)
(a) exA,G: сосредоточенная нагрузка
(b) exD: гравитация
(c) exB: распределённая поверхностная нагрузка
(d) exE: центробежная сила
(e) exC: объёмная нагрузка
(f) exF: тепловая нагрузка
Параметр Значение
Модуль Юнга \(E = 4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Длина \(L = 10.0\ \mathrm{mm}\)
Коэффициент Пуассона \(\nu = 0.3\)
Площадь поперечного сечения \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)
Массовая плотность \(\rho = 8.0102 \times 10^{-10}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Второй момент площади \(I = 1.0/12.0\ \mathrm{mm^4}\)
Ускорение свободного падения \(g = 9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Коэффициент линейного теплового расширения \(\alpha = 1.0 \times 10^{-5}\)

Рисунок 9.1.2 Условия верификации модели консольной балки

Таблица 9.1.1 exA: Результаты верификации задачи с сосредоточенной нагрузкой

Имя случая Число элементов Расчётное значение: \(\delta_{max}= -1.000\) Примечание
NASTRAN Коммерческое ПО FrontISTR
A231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
A232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105 узлов / задача плоского напряжённого состояния
A241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
A242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85 узлов / задача плоского напряжённого состояния
A341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99 узлов
A342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525 узлов
A351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99 узлов
A352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381 узлов
A361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99 узлов
A362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220 узлов
A731 40 - - -0.991 33 узлов / прямой метод
A741 20 - - -0.996 33 узлов / прямой метод

Таблица 9.1.2 exB: Результаты верификации задачи с распределённой поверхностной нагрузкой

Имя случая Число элементов Расчётное значение: \(\delta_{max}= -3.750\) Примечание
NASTRAN Коммерческое ПО FrontISTR
B231 40 -1.281 -1.403 -1.403 33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
B232 40 -3.579 -3.763 -3.763 105 узлов / задача плоского напряжённого состояния
B241 20 -3.198 -2.680 -2.680 33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
B242 20 -3.426 -3.765 -3.765 85 узлов / задача плоского напряжённого состояния
B341 240 -1.088 -1.449 -1.454 99 узлов
B342 240 -3.704 -3.704 -3.748 525 узлов
B351 80 -3.547 -1.338 -1.325 99 узлов
B352 80 -0.3717 -3.716 -3.713 381 узлов
B361 40 -3.557 -3.691 -3.688 99 узлов
B362 40 -3.726 -3.717 -3.717 220 узлов
B731 40 - - -3.722 33 узлов / прямой метод
B741 20 - - -3.743 33 узлов / прямой метод

Таблица 9.1.3 exC: Результаты верификации задачи с объёмной нагрузкой

Имя случая Число элементов Расчётное значение: \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) Примечание
NASTRAN Коммерческое ПО FrontISTR
C231 40 - -1.101e-5 -1.101e-5 33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
C232 40 - -2.951e-5 -2.951e-5 105 узлов / задача плоского напряжённого состояния
C241 20 - -2.102e-5 -2.102e-5 33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
C242 20 - -2.953e-5 -2.953e-5 85 узлов / задача плоского напряжённого состояния
C341 240 - -1.136e-5 -1.140e-5 99 узлов
C342 240 - -2.905e-5 -2.937e-5 525 узлов
C351 80 - -1.050e-5 -1.039e-5 99 узлов
C352 80 - -2.914e-5 -2.911e-5 381 узлов
C361 40 - -2.895e-5 -2.893e-5 99 узлов
C362 40 - -2.915e-5 -2.915e-5 220 узлов
C731 40 - - -2.922e-5 33 узлов / прямой метод
C741 20 - - -2.938e-5 33 узлов / прямой метод

Таблица 9.1.4 exD: Результаты верификации задачи гравитационного нагружения

Имя случая Число элементов Расчётное значение: \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) Примечание
NASTRAN Коммерческое ПО FrontISTR
D231 40 -1.101e-5 -1.101e-5 -1.101e-5 33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
D232 40 -2.805e-5 -2.951e-5 -2.951e-5 105 узлов / задача плоского напряжённого состояния
D241 20 -2.508e-5 -2.102e-5 -2.102e-5 33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
D242 20 -2.684e-5 -2.953e-5 -2.953e-5 85 узлов / задача плоского напряжённого состояния
D341 240 -1.172e-5 -1.136e-5 -1.140e-5 99 узлов
D342 240 -2.906e-5 -2.905e-5 -2.937e-5 525 узлов
D351 80 -1.046e-5 -1.050e-5 -1.039e-5 99 узлов
D352 80 -2.917e-5 -2.914e-5 -2.911e-5 381 узлов
D361 40 -2.800e-5 -2.895e-5 -2.893e-5 99 узлов
D362 40 -2.919e-5 -2.915e-5 -2.915e-5 220 узлов
D731 40 - - -2.922e-5 33 узлов / прямой метод
D741 20 - - -2.938e-5 33 узлов / прямой метод

Таблица 9.1.5 exE: Результаты верификации задачи с центробежной силой

Имя случая Число элементов Расчётное значение: \(\delta_{max} = 2.635 \times 10^{-3}\) Примечание
NASTRAN Коммерческое ПО FrontISTR
E231 40 2.410e-3 2.616e-3 2.650e-3 33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
E232 40 2.447e-3 2.627e-3 2.628e-3 105 узлов / задача плоского напряжённого состояния
E241 20 2.386e-3 2.622e-3 2.624e-3 33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
E242 20 2.387e-3 2.627e-3 2.629e-3 85 узлов / задача плоского напряжённого состояния
E341 240 2.708e-3 2.579e-3 2.625e-3 99 узлов
E342 240 2.639e-3 2.614e-3 2.638e-3 525 узлов
E351 80 2.642e-3 2.598e-3 2.625e-3 99 узлов
E352 80 2.664e-3 2.617e-3 2.616e-3 381 узлов
E361 40 2.611e-3 2.603e-3 2.603e-3 99 узлов
E362 40 2.623e-3 2.616e-3 2.616e-3 220 узлов
E731 40 - - 2.619e-3 33 узлов / прямой метод
E741 20 - - 2.622e-3 33 узлов / прямой метод

Таблица 9.1.6 exF: Результаты верификации задачи с термической нагрузкой

Имя случая Число элементов Расчётное значение: \(\delta_{max} = 1.000 \times 10^{-2}\) Примечание
NASTRAN Коммерческое ПО FrontISTR
F231 40 - 1.016e-2 1.007e-2 33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
F232 40 - 1.007e-2 1.007e-2 105 узлов / задача плоского напряжённого состояния
F241 20 - 1.010e-2 1.010e-2 33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
F242 20 - 1.006e-2 1.006e-2 85 узлов / задача плоского напряжённого состояния
F341 240 - 1.047e-2 1.083e-2 99 узлов
F342 240 - 1.018e-2 1.022e-2 525 узлов
F351 80 - 1.031e-2 1.062e-2 99 узлов
F352 80 - 1.015e-2 1.017e-2 381 узлов
F361 40 - 1.026e-2 1.026e-2 99 узлов
F362 40 - 1.016e-2 1.016e-2 220 узлов

Таблица 9.1.7 exG: Результаты верификации прямого метода (задача с сосредоточенной нагрузкой)

Имя случая Число элементов Расчётное значение: δmax= -1.000 Примечание
NASTRAN Коммерческое ПО FrontISTR
G231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
G232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105 узлов / задача плоского напряжённого состояния
G241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
G242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85 узлов / задача плоского напряжённого состояния
G341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99 узлов
G342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525 узлов
G351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99 узлов
G352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381 узлов
G361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99 узлов
G362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220 узлов
G731 40 - - -0.991 33 узлов / прямой метод
G741 20 - - -0.996 33 узлов / прямой метод

Нелинейный статический анализ

(2-1) exnl1: Геометрически нелинейный анализ

Модель верификационного случая exI идентична моделям случаев exA–exG. На рисунке 9.1.3 приведена схема верификационной модели. Для этой модели выполняется геометрически нелинейный анализ. Результаты верификации приведены в табл. 9.1.8.

Нелинейный расчёт выполняется для базовой нагрузки \(P = 1.0\ \mathrm{kgf}\), с приращением нагрузки \(0.1P\) за 10 шагов нагружения.

Верификационная модель Рисунок 9.1.3 Верификационная модель

Таблица 9.1.8 exI: Результаты верификации (история максимального прогиба)

Имя случая 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Линейное решение
I231 - - - - - - - - - - -
I232 - - - - - - - - - - -
I241 - - - - - - - - - - -
I242 - - - - - - - - - - -
I341 0.039 0.077 0.116 0.154 0.193 0.232 0.270 0.309 0.348 0.386 0.386
I342 0.099 0.200 0.300 0.400 0.499 0.599 0.698 0.797 0.896 0.995 0.999
I351 0.035 0.070 0.105 0.141 0.176 0.211 0.246 0.281 0.316 0.351 0.351
I352 0.099 0.198 0.298 0.397 0.496 0.595 0.693 0.792 0.890 0.987 0.992
I361 0.070 0.139 0.209 0.278 0.348 0.417 0.487 0.556 0.625 0.694 0.984
I362 0.099 0.197 0.298 0.397 0.496 0.595 0.694 0.793 0.891 0.988 0.993

(2-2) exnl2: Анализ упругопластической деформации

Данная верификационная задача основана на тесте NL1 организации NAFEMS (National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.)), и представляет собой анализ упругопластической деформации с учётом геометрической нелинейности и нескольких законов упрочнения. Расчётная модель показана на рис. 9.1.4.

Модель анализа упругопластической деформации

Рисунок 9.1.4 Модель анализа упругопластической деформации

(１) Условия верификации

Параметр Значение
Материал упругопластический материал Мизеса
Модуль Юнга \(E = 250\ \mathrm{GPa}\)
Коэффициент Пуассона \(\nu=0.25\)
Начальное напряжение текучести \(5\ \mathrm{MPa}\)
Начальная деформация текучести \(0.25\times10^{-4}\)
Коэффициент изотропного упрочнения \(H_i = 0\) или \(62.5\ \mathrm{GPa}\)

(２) Граничные условия

Параметр Граничное условие Значение
Шаг 1 Заданное перемещение узлов 2 и 3 \(u_x = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Шаг 2 Заданное перемещение узлов 2 и 3 \(u_x = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Шаг 3 Заданное перемещение узлов 3 и 4 \(u_y = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Шаг 4 Заданное перемещение узлов 3 и 4 \(u_y = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Шаг 5 Заданное перемещение узлов 2 и 3 \(u_x = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Шаг 6 Заданное перемещение узлов 2 и 3 \(u_x = -0.2500031251 * 10^{-4}\)
Шаг 7 Заданное перемещение узлов 3 и 4 \(u_y = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Шаг 8 Заданное перемещение узлов 3 и 4 \(u_y = -0.2500031251 * 10^{-4}\)

Все не указанные здесь узлы полностью закреплены. Теоретическое решение этой задачи имеет следующий вид.

Деформация (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 Эквивалентное напряжение (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
0.25, 0, 0 5.0; 5.0
0.50, 0, 0 5.0; 5.862
0.50, 0.25, 0 5.0; 5.482
0.50, 0.50, 0 5.0; 6.362
0.25, 0.50, 0 5.0; 6.640
0, 0.50, 0 5.0; 7.322
0, 0.25, 0 3.917; 4.230
0, 0, 0 5.0; 5.673

Соответствующие результаты расчёта приведены ниже.

Деформация (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 Эквивалентное напряжение (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
\(\varepsilon_{x}\) \(\varepsilon_{y}\)
0.25, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.0 (0.0%)
0.50, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.862 (0.0%)
0.50, 0.25, 0 5.0 (0.0%); 5.482 (0.0%)
0.50, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.362 (-0.05%)
0.25, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.640 (-0.21%)
0, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 7.322 (-0.34%)
0, 0.25, 0 3.824 (-2.4%); 4.230 (-2.70%)
0, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.673 (5.673 (-2.50%)

Контактный анализ (1)

Данная верификационная задача основана на контактном патч-тесте CGS-4 организации National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.) и проверяет возможность расчёта контактной задачи с конечным скольжением при наличии трения. На рисунке 9.1.5 показана расчётная модель.

Модель контактного анализа

Рисунок 9.1.5 Модель контактного анализа

Условие равновесия для этой задачи имеет следующий вид.

\[ F \cos \alpha - G \sin \alpha = \pm f_{c} \]

На стадии сцепления сила трения равна

\[ f_{c} = E_t \Delta u \]

а на стадии скольжения

\[ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) \]

Таким образом, получается приведённое выше соотношение.

Сравнение результатов расчёта с аналитическим решением приведено ниже.

\(\mu\) \(F/G\)Аналитическое решение \(F/G\)Результат расчёта
0.0 0.1 0.1
0.1 0.202 0.202
0.2 0.306 0.306
0.3 0.412 0.412

Контактный анализ (2): контактная задача Герца

В данной верификации рассматривается контактная задача Герца для бесконечно длинного цилиндра и бесконечной плоскости. Радиус цилиндра принят равным \(R = 8\ \mathrm{mm}\), а модуль Юнга \(E\) и коэффициент Пуассона \(\mu\) деформируемого тела равны соответственно \(1100\ \mathrm{MPa}\) и \(0.0\). Предполагается также, что площадь контакта достаточно мала по сравнению с радиусом цилиндра; с учётом симметрии задачи анализ выполняется на четверти модели цилиндра.

Расчётная модель контактной задачи Герца Рисунок 9.1.6 Расчётная модель контактной задачи Герца

(1) Результаты верификации радиуса контакта

Теоретическая формула для вычисления радиуса контакта имеет следующий вид.

\[ a = \sqrt{\frac{4FR}{\pi E^{*}}} \]

где

\[ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) \]

Таким образом, получается приведённое выше выражение. При данных условиях расчёта при давлении \(F=100\) радиус контакта составляет \(a=1.36\).

На рисунке 9.1.7 показаны эквивалентные узловые силы в точках контакта. Радиус контакта определяется экстраполяцией распределения этих узловых сил.

Распределение эквивалентных узловых сил в точках контакта

Рисунок 9.1.7 Распределение эквивалентных узловых сил в точках контакта

(2) Результаты верификации максимального касательного напряжения

В теоретическом решении в положении контакта

\[ z = 0.78a \]

максимальное касательное напряжение равно

\[ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} \]

Это теоретическое максимальное касательное напряжение. При данных условиях расчёта

\[ \tau_{\max} = 14.2 \]

Это теоретическое значение при данных условиях расчёта. В то же время расчёт даёт

\[ \tau_{\max} = 15.6 \]

Расчёт, в свою очередь, даёт приведённое выше значение.

Распределение касательного напряжения (максимальное значение=15.6 Рисунок 9.1.8 Распределение касательного напряжения (максимальное значение=15.6)

(3) Модальный анализ

Верификационные модели случаев exJ–exK идентичны моделям случаев exA–exG. На рисунке 9.1.9 приведена схема верификационной модели. Для этой модели выполняется модальный анализ. Определяются первые три собственные частоты. В exJ используется итерационный решатель, а в exK — решатель прямым методом. Результаты верификации приведены в табл. 9.1.9–9.1.12.

Верификационная модель Рисунок 9.1.9 Верификационная модель

Собственные частоты колебаний консольной балки определяются следующими формулами.

Первая собственная частота

\[ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Вторая собственная частота

\[ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Третья собственная частота

\[ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Характеристики верификационной модели приведены в следующей таблице.

Параметр Значение
\(I\) \(1.0/12.0\ \mathrm{mm}^4\)
\(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
\(l\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
\(\omega\) \(7.85 \times 10^{-6}\ \mathrm{kgf/mm^3}\)
\(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)

Следовательно, первые три собственные частоты имеют следующие значения.

Номер формы Значение
\(n_1\) 3.609e3
\(n_2\) 2.262e4
\(n_3\) 6.335e4

Таблица 9.1.9 exJ: Результаты верификации итерационного метода (первая собственная частота)

Имя случая Число элементов Расчётное значение: n1=3.609e3 Примечание
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
J232 40 3.596e3 3.593e3 105 узлов / задача плоского напряжённого состояния
J241 20 3.586e3 4.245e3 33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
J242 20 3.590e3 3.587e3 85 узлов / задача плоского напряжённого состояния
J341 240 5.442e3 5.429e3 99 узлов
J342 240 3.621e3 3.595e3 525 узлов
J351 80 3.695e3 4.298e3 99 узлов
J352 80 3.610e3 3.609e3 381 узлов
J361 40 3.679e3 3.619e3 99 узлов
J362 40 3.611e3 3.606e3 220 узлов

Таблица 9.1.10 exJ: Результаты верификации итерационного метода (вторая собственная частота)

Имя случая Число элементов Расчётное значение: n2=2.262e4 Примечание
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
J232 40 2.163e4 2.156e4 105 узлов / задача плоского напряжённого состояния
J241 20 2.149e4 2.516e4 33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
J242 20 2.149e4 2.143e4 85 узлов / задача плоского напряжённого состояния
J341 240 3.145e4 3.138e4 99 узлов
J342 240 2.171e4 2.155e4 525 узлов
J351 80 2.208e4 2.546e4 99 узлов
J352 80 2.156e4 2.149e4 381 узлов
J361 40 2.202e4 2.168e4 99 узлов
J362 40 2.154e4 2.144e4 220 узлов

Примечание: в трёхмерных моделях первые две формы вырождены, поэтому третья вычисленная собственная частота приведена в таблице как вторая собственная частота.

Таблица 9.1.11 exK: Результаты верификации прямого метода (первая собственная частота)

Имя случая Число элементов Расчётное значение: n1=3.609e3 Примечание
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
J232 40 3.596e3 3.593e3 105 узлов / задача плоского напряжённого состояния
J241 20 3.586e3 4.245e3 33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
J242 20 3.590e3 3.587e3 85 узлов / задача плоского напряжённого состояния
J341 240 5.442e3 5.429e3 99 узлов
J342 240 3.621e3 3.595e3 525 узлов
J351 80 3.695e3 4.298e3 99 узлов
J352 80 3.610e3 3.609e3 381 узлов
J361 40 3.679e3 3.619e3 99 узлов
J362 40 3.611e3 3.606e3 220 узлов
J731 40 - 3.606e3 220 узлов
J741 20 - 3.594e3 220 узлов

Таблица 9.1.12 exK: Результаты верификации прямого метода (вторая собственная частота)

Имя случая Число элементов Расчётное значение: n2=2.262e4 Примечание
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
J232 40 2.163e4 2.156e4 105 узлов / задача плоского напряжённого состояния
J241 20 2.149e4 2.516e4 33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
J242 20 2.149e4 2.143e4 85 узлов / задача плоского напряжённого состояния
J341 240 3.145e4 3.138e4 99 узлов
J342 240 2.171e4 2.155e4 525 узлов
J351 80 2.208e4 2.546e4 99 узлов
J352 80 2.156e4 2.149e4 381 узлов
J361 40 2.202e4 2.168e4 99 узлов
J362 40 2.154e4 2.144e4 220 узлов
J731 40 - 2.156e4 220 узлов
J741 20 - 2.153e4 220 узлов

Примечание: в трёхмерных моделях первые две формы вырождены, поэтому третья вычисленная собственная частота приведена в таблице как вторая собственная частота.

(4) Анализ теплопроводности

Общие условия стационарного анализа теплопроводности показаны на рис. 9.1.10. Индивидуальные условия верификационных случаев exM–exT показаны на рис. 9.1.11. Используется конечно-элементная сетка, эквивалентная сетке случая exA.

В таблицах 9.1.13–9.1.20 приведены распределения температуры, полученные для каждого случая.

Анализ теплопроводности
Длина AB \(L = 10.0\ \mathrm{m}\)
Площадь поперечного сечения \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)

Температурная зависимость теплопроводности

Теплопроводность \(\lambda\) (W/(m·K)) Температура (°C)
50.0 0.0
35.0 500.0
20.0 1000.0

Рисунок 9.1.10 Условия верификации стационарного анализа теплопроводности
exM:Линейный материал
exN:Задача с заданной температурой
exO:Задача с сосредоточенным тепловым потоком
exP:Задача с распределённым тепловым потоком
exQ:Задача конвективного теплообмена
exR:Задача лучистого теплообмена
exS:Задача объёмного тепловыделения
exT:Задача с внутренним зазором

Рисунок 9.1.11 Условия анализа для каждого верификационного случая

Таблица 9.1.13 exM: Результаты верификации стационарного расчёта для линейного материала

Имя случая Тип элемента Число элементов/узлов Расстояние от конца A (м)
Конец A 2.0 4.0 6.0 8,0 Конец B
M361A 361 40／33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361B 361 40／105 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361C 361 20／33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361D 361 20／85 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361E 361 240／99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361F 361 24／525 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361G 361 80／99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0

Таблица 9.1.14 exN: Результаты верификации задачи с заданной температурой

Имя случая Тип элемента Число элементов/узлов Расстояние от конца A (м)
Конец A 2.0 4.0 6.0 8,0 Конец B
Коммерческое ПО 361 40／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N231 231 40／33 0.0 87.2 179.5 278.0 384.1 500.0
N232 232 40／105 0.0 86.0 178.3 276.8 382.9 500.0
N241 241 20／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N242 242 20／85 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N341 341 240／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N342 342 24／525 0.0 87.9 179.9 278.0 383.6 500.0
N351 351 80／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N352 352 80／381 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N361 361 40／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N362 362 40／330 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N731 731 40／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N741 741 20／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0

Таблица 9.1.15 exO: Результаты верификации задачи с сосредоточенным тепловым потоком

Имя случая Тип элемента Число элементов/узлов Расстояние от конца A (м)
Конец A 2.0 4.0 6.0 8,0 Конец B
Коммерческое ПО 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.4 465.2 618.0
O341 341 240／99 - - - - - -
O342 342 24／525 0.0 104.4 214.9 334.7 466.3 614.6
O351 351 80／99 - - - - - -
O352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 465.0 624.2
O361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 623.5
O731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
O741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Таблица 9.1.16 exP: Результаты верификации задачи с распределённым тепловым потоком

Имя случая Тип элемента Число элементов/узлов Расстояние от конца A (м)
Конец A 2.0 4.0 6.0 8,0 Конец B
Коммерческое ПО 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P341 341 240／99 - - - - - -
P342 342 24／525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P351 351 80／99 - - - - - -
P352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 612.6
P731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
P741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Таблица 9.1.17 exQ: Результаты верификации задачи конвективного теплообмена

Имя случая Тип элемента Число элементов/узлов Расстояние от конца A (м)
Конец A 2.0 4.0 6.0 8,0 Конец B
Коммерческое ПО 361 40／99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q231 231 40／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q232 232 40／105 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q241 241 20／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q242 242 20／85 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q341 341 240／99 - - - - - -
Q342 342 24／525 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q351 351 80／99 - - - - - -
Q352 352 80／381 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q361 361 40／99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q362 362 40／330 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q731 731 40／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q741 741 20／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2

Таблица 9.1.18 exR: Результаты верификации задачи лучистого теплообмена

Имя случая Тип элемента Число элементов/узлов Расстояние от конца A (м)
Конец A 2.0 4.0 6.0 8,0 Конец B
Коммерческое ПО 361 40／99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R231 231 40／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R232 232 40／105 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R241 241 20／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R242 242 20／85 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R341 341 240／99 - - - - - -
R342 342 24／525 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R351 351 80／99 - - - - - -
R352 352 80／381 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R361 361 40／99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R362 362 40／330 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R731 731 40／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R741 741 20／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2

Таблица 9.1.19 exS: Результаты верификации задачи объёмного тепловыделения

Имя случая Тип элемента Число элементов/узлов Расстояние от конца A (м)
Конец A 2.0 4.0 6.0 8,0 Конец B
Коммерческое ПО 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S341 341 240／99 - - - - - -
S342 342 24／525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S351 351 80／99 - - - - - -
S352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Таблица 9.1.20 exT: Результаты верификации задачи с внутренним зазором

Имя случая Тип элемента Число элементов/узлов Расстояние от конца A (м)
Конец A 2.0 4.0 6.0 8,0 Конец B
Коммерческое ПО 361 40／99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S231 231 40／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S232 232 40／105 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S241 241 20／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S242 242 20／85 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S341 341 240／99 - - - - - -
S342 342 24／525 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S351 351 80／99 - - - - - -
S352 352 80／381 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S361 361 40／99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S362 362 40／330 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S731 731 40／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S741 741 20／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0

Линейный динамический анализ

В случае exW линейный динамический анализ выполнен для той же консольной балки, что и в разделе (1). На рисунке 9.1.12 показаны условия верификации. Здесь проверяется влияние шага по времени на результат при одной и той же конечно-элементной сетке. Для динамического анализа используются как неявный, так и явный методы, с типами элементов 361 и 342. Результаты верификации приведены в таблице 9.1.22 и на рисунках 9.1.13–9.1.15.

Расчётная модель Расчётная модель

Временная история внешней силы F Временная история внешней силы F

Теоретическое решение для перемещения точки возбуждения:

\[ F(t)=F_0 I(t) \]

где

\[ \(F_0:\ \text{Постоянный вектор}\) \]
\[ I(t)= \begin{cases} 0, t < 0 \\\ 1, 0 \leq t \end{cases} \]
\[ u(t) = \frac{F_0 l^3}{EI} \sum^{\infty}_{i=1} \frac{1-\cos{\omega_i t}}{{\lambda_i}^4} \left\lbrace \cosh{\lambda_i}-\cos{\lambda_i}-\frac{\cosh{\lambda_i} + \cos{\lambda_i}}{\sin{\lambda_i}+\sin{\lambda_i}} (\sinh{\lambda_i} - \sin{\lambda_i}) \right\rbrace^2 \]

Рисунок 9.1.12 Условия верификации линейного динамического анализа

Условия верификации:
Длина \(L\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
Ширина поперечного сечения \(a\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
Высота поперечного сечения \(b\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
Модуль Юнга \(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Коэффициент Пуассона \(\nu\) \(0.3\)
Плотность \(\rho\) \(1.0 \times 10^{-9}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Ускорение свободного падения \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Внешняя сила \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{kgf}\)
Элемент Линейный шестигранный элемент
Квадратичный тетраэдральный элемент
Метод решения Неявный метод
Параметр \(\gamma\) метода Ньюмарка-\(\beta\) 1/2
Параметр \(\beta\) метода Ньюмарка-\(\beta\) 1/4
Явный метод
Демпфирование Нет

Таблица 9.1.21 Условия верификации линейного динамического анализа (продолжение)

Имя случая Тип элемента Число узлов Число элементов Метод решения Шаг по времени \(\Delta t\) (s)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 Неявный метод 1.0E-06
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 Неявный метод 1.0E-05
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 Неявный метод 1.0E-04
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 Неявный метод 1.0E-08
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 Неявный метод 1.0E-07
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 Неявный метод 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 Явный метод 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 Явный метод 1.0E-05
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 Явный метод 1.0E-04
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 Явный метод 1.0E-08
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 Явный метод 5.0E-08
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 Явный метод 1.0E-07

Таблица 9.1.22 exW: Результаты верификации линейного динамического анализа консольной балки

Имя случая Тип элемента Число узлов Число элементов Метод решения Перемещение в направлении z в момент \(t = 0.002\ \mathrm{s}\) (mm)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 Неявный метод 1.9753 1.9302
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 Неявный метод 1.9753 1.8686
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 Неявный метод 1.9753 0.3794
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 Неявный метод 1.9753 1.9302
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 Неявный метод 1.9753 1.9247
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 Неявный метод 1.9753 Расходимость
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 Явный метод 1.9753 1.9431
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 Явный метод 1.9753 1.8719
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 Явный метод 1.9753 0.3873
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 Явный метод 1.9753 1.9359
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 Явный метод 1.9753 1.9358
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 Явный метод 1.9753 Расходимость

Деформированная форма консольной балки и распределение эквивалентных напряжений Рисунок 9.1.13 Деформированная форма консольной балки и распределение эквивалентных напряжений

(a) Тип элемента 361:Неявный метод (a) Тип элемента 361:Неявный метод

(b) Тип элемента 361:Явный метод (b) Тип элемента 361:Явный метод

Рисунок 9.1.14 Временная история перемещения \(u_z\) точки возбуждения

(a) Тип элемента 342:Неявный метод (a) Тип элемента 342:Неявный метод

(b) Тип элемента 342:Явный метод (b) Тип элемента 342:Явный метод

Рисунок 9.1.15 Временная история перемещения \(u_z\) точки возбуждения

Анализ частотного отклика

В данной верификации для консольной балки выполнен анализ частотного отклика, а результаты сопоставлены с результатами универсального коммерческого ПО. Ниже приведены расчётная модель и условия верификации.

Условия анализа:
Модуль Юнга \(E\) \(210000\ \mathrm{N/mm^2}\)
Коэффициент Пуассона \(\nu\) \(0.3\)
Плотность \(\rho\) \(7.89 \times 10^{-9}\ \mathrm{t/mm^3}\)
Ускорение свободного падения \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Нагрузка \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{N}\)
Параметр демпфирования Рэлея \(R_m\) \(0.0\)
Параметр демпфирования Рэлея \(R_k\) \(7.2E-07\)

Рисунок 9.1.16 Расчётная модель (тетраэдральные элементы первого порядка: 126 элементов, 55 узлов)

Ниже приведены первые пять собственных частот, полученных из модального анализа, и частотный отклик в точке возбуждения.

Форма FrontISTR Коммерческое ПО
1 14952 14952
2 15002 15003
3 84604 84539
4 84771 84697
5 127054 126852

Частотная зависимость амплитуды перемещения в точке возбуждения Рисунок 9.1.17 Частотная зависимость амплитуды перемещения в точке возбуждения