අන්තර්ගතය වෙත යන්න

රේඛීය ප්‍රත්‍යාස්ථ ස්ථිතික විශ්ලේෂණය (හැඳින්වීම)

මෙහි කුඩා විරූපණ න්‍යාය මත පදනම් වූ ප්‍රත්‍යාස්ථ ස්ථිතික විශ්ලේෂණයේ සූත්‍රණය ඉදිරිපත් කරයි. ආතති–වික්‍රියා සම්බන්ධතාව සඳහා රේඛීය ප්‍රත්‍යාස්ථතාව උපකල්පනය කරයි. මෙම පරිච්ඡේදය සීමිත මූලද්‍රව්‍ය ක්‍රමය මගින් ව්‍යුහාත්මක විශ්ලේෂණයේ සමස්ත දසුන තේරුම් ගැනීම සඳහා හැඳින්වීමක් වන අතර, එක් පරිච්ඡේදයකින් ස්වාධීනව කියවිය හැකි ලෙස සකසා ඇත.

අතථ්‍ය කාර්ය මූලධර්මයේ සාමාන්‍ය සූත්‍රණය (වත්මන් වින්‍යාසය, ආරම්භක වින්‍යාසය සහ කුඩා විරූපණයට අවකරණය) සඳහා අතථ්‍ය කාර්ය මූලධර්මය, රේඛීය ප්‍රත්‍යාස්ථ සංයුති නියමයේ විස්තර සඳහා රේඛීය ප්‍රත්‍යාස්ථතාව, ටෙන්සර් අංකනය සහ Voigt අංකන සම්මුති සඳහා ටෙන්සර් අංකනය සහ ගණිතමය මූලික කරුණු, සීමිත විරූපණයේ සාමාන්‍ය සූත්‍රණය සඳහා චලනය, විරූපණය සහ වික්‍රියාව, සහ රේඛීය නොවන ගැටලු විසඳීම සඳහා ස්පර්ශක දෘඪතා න්‍යාසය බලන්න.

මූලික සමීකරණ

කුඩා විරූපණ සහ රේඛීය ප්‍රත්‍යාස්ථ උපකල්පන යටතේ ඝන යාන්ත්‍ර විද්‍යාවේ මායිම් අගය ගැටලුව සමතුලිතතා සමීකරණය, යාන්ත්‍රික මායිම් කොන්දේසිය සහ ජ්‍යාමිතික මායිම් කොන්දේසිය (මූලික මායිම් කොන්දේසිය) යන අංගවලින් සමන්විත වේ (රූප 2.1.1 බලන්න):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

මෙහි \(\boldsymbol{\sigma}\) යනු Cauchy ආතතිය, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) යනු ඒකක පරිමාවකට පරිමා බලය, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) යනු පෘෂ්ඨ බලය (නියමිත අගය), \(\overline{\boldsymbol{u}}\) යනු නියමිත විස්ථාපනය, සහ \(S_t, S_u\) යනු පිළිවෙළින් යාන්ත්‍රික හා ජ්‍යාමිතික මායිම් වේ.

ඝන යාන්ත්‍ර විද්‍යාවේ මායිම් අගය ගැටලුව (කුඩා විරූපණ ගැටලුව)

රූප 2.1.1 ඝන යාන්ත්‍ර විද්‍යාවේ මායිම් අගය ගැටලුව (කුඩා විරූපණ ගැටලුව)

වික්‍රියා–විස්ථාපන සම්බන්ධතාව සමමිතික අනුක්‍රමණ ක්‍රියාකාරකය භාවිතයෙන්

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

රේඛීය ප්‍රත්‍යාස්ථ සංයුති සමීකරණය

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

ලෙස ලබා දේ (\(\boldsymbol{C}\) යනු සිව්වන-අනුපිළිවෙළ ප්‍රත්‍යාස්ථතා ටෙන්සරයයි).

අතථ්‍ය කාර්ය මූලධර්මය

අතථ්‍ය කාර්ය මූලධර්මයේ සාමාන්‍ය ආකාරය (වත්මන් වින්‍යාස ප්‍රකාශනය, ආරම්භක වින්‍යාස ප්‍රකාශනය සහ කුඩා විරූපණයට අවකරණය) අතථ්‍ය කාර්ය මූලධර්මය තුළ සංග්‍රහ කර ඇත. කුඩා විරූපණ සහ රේඛීය ප්‍රත්‍යාස්ථ උපකල්පන යටතේ දුර්වල ආකාරය

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

වේ. සංයුති සමීකරණය \eqref{eq:2.1.5} ආදේශ කර Voigt අංකනය තුළ \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) ලෙස ලියූ විට, විවික්තීකරණයට සෘජුව භාවිත කරන ආකාරය

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

ලැබේ (\(D\) යනු රේඛීය ප්‍රත්‍යාස්ථතාව හි ප්‍රත්‍යාස්ථ න්‍යාසයයි). සමීකරණ \eqref{eq:2.1.10} සහ \eqref{eq:2.1.7} පහත විවික්තීකරණය කරන අතථ්‍ය කාර්ය මූලධර්මය වේ.

විවික්තීකරණය සහ සමස්ත සමීකරණය එකලස් කිරීම

අතථ්‍ය කාර්ය මූලධර්මයේ සමීකරණය \( \eqref{eq:2.1.10} \) එක් එක් සීමිත මූලද්‍රව්‍යය සඳහා විවික්ත කර පහත සමීකරණය ලබා ගනී.

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

එක් එක් මූලද්‍රව්‍යය සඳහා එය සමන්විත කරන නෝඩ්වල විස්ථාපන භාවිතයෙන් විස්ථාපන ක්ෂේත්‍රය පහත පරිදි අන්තර්පොලනය කරයි.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

එවිට වික්‍රියාව, සමීකරණය \(\eqref{eq:2.1.4}\) භාවිතයෙන් පහත පරිදි ලබා දේ.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

සමීකරණ \(\eqref{eq:2.1.12}\) සහ \(\eqref{eq:2.1.13}\), සමීකරණය \(\eqref{eq:2.1.11}\) තුළ ආදේශ කිරීමෙන් පහත සමීකරණය ලැබේ.

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

සමීකරණය \(\eqref{eq:2.1.14}\) පහත පරිදි සාරාංශ කළ හැක.

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

මෙහි, සමීකරණ \(\eqref{eq:2.1.16}\) සහ \(\eqref{eq:2.1.17}\) මගින් අර්ථ දැක්වෙන න්‍යාස සහ දෛශික සංරචක එක් එක් සීමිත මූලද්‍රව්‍යය සඳහා ගණනය කර අධිස්ථාපනය කළ හැක.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

සමීකරණය \(\eqref{eq:2.1.15}\) ඕනෑම අභාසී විස්ථාපනයක් \(\delta \boldsymbol{U}\) සඳහා සත්‍ය වන බැවින් පහත සමීකරණය ලැබේ.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

අනෙක් අතට, විස්ථාපන මායිම් කොන්දේසි සමීකරණය \(\eqref{eq:2.1.3}\) පහත පරිදි ප්‍රකාශ කළ හැක.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

සමීකරණය \(\eqref{eq:2.1.18}\), මායිම් කොන්දේසි සමීකරණය \(\eqref{eq:2.1.19}\) යටතේ විසඳීමෙන් නෝඩ් විස්ථාපනය \(\boldsymbol{U}\) තීරණය කළ හැක.

අදාළ අයිතම