අන්තර්ගතය වෙත යන්න

රේඛීය ප්‍රත්‍යාස්ථතාව

මෙම පරිච්ඡේදයේ Hooke නියමය මත පදනම් වූ රේඛීය ප්‍රත්‍යාස්ථ ද්‍රව්‍යයේ සංයුති නියමය විස්තර කරයි. භාවිතය සහ ආදාන සැකසුම් සඳහා කාර්යයන් කොටසේ 03_material බලන්න.

සංසිද්ධිය (රේඛීය ප්‍රත්‍යාස්ථ ප්‍රතිචාරය)

රේඛීය ප්‍රත්‍යාස්ථ ද්‍රව්‍යයක, වික්‍රියාව ප්‍රමාණවත් ලෙස කුඩා පරාසයේ ආතතිය හා වික්‍රියාව අතර සම්බන්ධය රේඛීය වන අතර බර ඉවත් කළ විට සියලු වික්‍රියා මුල් තත්ත්වයට ආපසු යයි. ප්ලාස්ටිසිටි සහ ක්‍රීප් මෙන් නොව, ප්ලාස්ටික් වික්‍රියාව හෝ දුස්ස්‍රාවී වික්‍රියාව වැනි අභ්‍යන්තර තත්ත්ව විචල්‍ය නොමැති බැවින් ආතතිය වත්මන් වික්‍රියාවෙන් පමණක් තීරණය වේ.

කුඩා වික්‍රියා පරාසයේ Cauchy ආතතිය \(\boldsymbol{\sigma}\) සහ අතිසුළු වික්‍රියාව \(\boldsymbol{\varepsilon}\) භාවිතා කරයි. විශාල භ්‍රමණ ඇතුළත් නමුත් වික්‍රියාව කුඩා වන සීමිත-විරූපණ ගැටලුවලදී දෙවන Piola-Kirchhoff ආතතිය \(\boldsymbol{S}\) සහ Green-Lagrange වික්‍රියාව \(\boldsymbol{E}\) භාවිතා කරයි (St.Venant-Kirchhoff ද්‍රව්‍යය).

සංයුති නියමය

සමදිශ රේඛීය ප්‍රත්‍යාස්ථ ද්‍රව්‍ය

කුඩා විරූපණ සඳහා සමදිශ Hooke නියමය Lamé නියත \(\lambda, \mu\) භාවිතයෙන්

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

ලෙස ලියයි. සංරචක ආකාරයෙන්

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

වන අතර \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\) ලබා දෙයි. Lamé නියත Young මොඩියුලසය \(E\) සහ Poisson අනුපාතය \(\nu\) සමඟ

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

සම්බන්ධ වේ. Voigt සංකේතනය අනුව වික්‍රියා දෛශිකය \(\hat{\varepsilon}\) සහ ආතති දෛශිකය \(\hat{\sigma}\) අතර \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) සහ 3D ද්‍රව්‍ය න්‍යාසය \(D\):

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

ලෙස දෙනු ලැබේ. ක්‍රියාත්මක කිරීමේදී මෙම න්‍යාස ආකාරය භාවිතා කරයි.

ලම්බවිෂමදිශ රේඛීය ප්‍රත්‍යාස්ථ ද්‍රව්‍ය

ප්‍රධාන අක්ෂ අනුව ප්‍රත්‍යාස්ථ නියත වෙනස් වන ද්‍රව්‍ය සඳහා ස්වාධීන නියත 9ක් ඇති ඕර්තොට්‍රොපික් ආකෘතිය භාවිතා කරයි: \(E_1, E_2, E_3\), \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) සහ \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). නිශ්චිත \(D\) න්‍යාස ආකාරය සාමාන්‍ය සම්මත යොමු වලට යොමු කරයි.

සීමිත විරූපණ පරාසය: St.Venant-Kirchhoff ද්‍රව්‍යය

විශාල භ්‍රමණ ඇති නමුත් වික්‍රියාව කුඩා ගැටලුවලදී දෙවන Piola-Kirchhoff ආතතිය \(\boldsymbol{S}\) සහ Green-Lagrange වික්‍රියාව \(\boldsymbol{E}\) සඳහා

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

භාවිතා කරයි. \(\lambda, \mu\) නිර්වචන කුඩා විරූපණ අවස්ථාවට සමාන නමුත් ආතති–වික්‍රියා යුගලය වෙනස් වන බැවින් මෙය වෙනම සංයුති නියමයකි.

හයිපෝඑලාස්ටික් ද්‍රව්‍ය

Updated Lagrange ක්‍රමයේදී සාපේක්ෂ Kirchhoff ආතතිය ටෙන්සරයේ Jaumann අනුපාතය \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) සහ විරූපණ-වේග ටෙන්සරය \(\boldsymbol{D}\) අතර

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

සම්බන්ධය භාවිතා කරන හයිපෝඑලාස්ටික් ද්‍රව්‍යය යොදයි. \(\boldsymbol{C}\) සඳහා Lamé නියත ඉහත පරිදිම වුවද ආතති–වික්‍රියා මිනුම් වෙනස් වේ. ඉදිරි Euler අනුකලනය සහ මධ්‍යම-වෙනස්කම් ආසන්නකරණය මඟින් \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) යාවත්කාලීන කිරීමේ විස්තර tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex හි ඇත.

2D විශ්ලේෂණ සහ ෂෙල් මූලද්‍රව්‍ය සඳහා සරල කිරීම

තල ආතතිය (\(\sigma_{33} = 0\))

තුනී තහඩු සහ ෂෙල් සඳහා \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) යැයි ගෙන \(\varepsilon_{33}\) ඉවත් කළ ද්‍රව්‍ය න්‍යාසය \(D\) භාවිතා කරයි:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

තල වික්‍රියාව (\(\varepsilon_{33} = 0\))

ඝනකම දිශාව බාධා වූ දිගු ව්‍යුහයක හරස්කඩ සඳහා \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\) යැයි ගනී:

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

අක්ෂසමමිතික

සිලින්ඩ්‍රික ඛණ්ඩාංක \((r, \theta, z)\) හි \(\theta\) දිශාවට ඒකාකාර ගැටලුවලදී \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) සහ \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) සංරචක 4 තබාගෙන

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

ලැබේ.

ෂෙල් මූලද්‍රව්‍ය (තල ආතතිය + හරස් කැපුම)

ෂෙල් මූලද්‍රව්‍යයේ තලය තුළ ආතතිය තල ආතතිය ලෙස සලකා, හරස් කැපුම් වික්‍රියා සංරචක \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) සඳහා කැපුම් සංශෝධන සංගුණකය \(\kappa\) (සාමාන්‍යයෙන් \(\kappa = 5/6\)) සහිත \(\kappa\, G\) භාවිතා කරයි. විස්තර සඳහා උසස් මූලද්‍රව්‍ය සූත්‍රකරණ බලන්න. 03_material හි ෂෙල් මූලද්‍රව්‍ය රේඛීය ප්‍රත්‍යාස්ථතාවට පමණක් සහාය දක්වන බව සඳහන් වන්නේ මෙම සරල කිරීම මතය.

උෂ්ණත්ව පරායත්තතාව

Young මොඩියුලසය \(E\), Poisson අනුපාතය \(\nu\) සහ රේඛීය තාප ප්‍රසාරණ ගුණකය \(\alpha\) සාමාන්‍යයෙන් \(T\) හි ශ්‍රිත ලෙස දිය හැක. FrontISTR සීමිත උෂ්ණත්ව ලක්ෂ්‍ය \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\) සඳහා අගයන් කියවා, \(T\) සඳහා අසල්වැසි ලක්ෂ්‍ය අතර රේඛීය අන්තර්නිවේෂණය කරයි. \(T < T_1\) හෝ \(T > T_n\) නම් ආසන්නතම අන්ත \(T_1\) හෝ \(T_n\) හි අගය ස්ථිර බාහිර අනුමානය ලෙස භාවිතා කරයි.

ඝනත්වය, විශිෂ්ට තාප ධාරිතාව සහ තාප සන්නායකතාව වැනි තාප ගුණ සඳහා තාප ගුණ බලන්න. අන්තර්නිවේෂණය නියමය පොදු වේ.

අදාළ අයිතම