අන්තර්ගතය වෙත යන්න

හැඩ ශ්‍රිත සහ සීමිත මූලද්‍රව්‍ය ආසන්නකරණය

අතථ්‍ය කාර්ය මූලධර්මයේ දුර්වල ආකාරය පරිගණකයෙන් හැසිරවීම සඳහා, වස්තුවේ වසම සීමිත මූලද්‍රව්‍ය ගණනකට බෙදා, මූලද්‍රව්‍ය තුළ ද්‍රව්‍ය ලක්ෂ්‍ය ඛණ්ඩාංක, විස්ථාපන සහ පරීක්ෂණ ශ්‍රිත නෝඩ් අගයන් සහ හැඩ ශ්‍රිත මඟින් අන්තර්පෝලනය කරයි. හැඩ ශ්‍රිතවල අවකාශීය අවකලන සඳහා හැඩ ශ්‍රිතවල අවකාශීය අවකලනය, දුර්වල ආකාරයේ විවික්තීකරණය සඳහා අභ්‍යන්තර බල අතථ්‍ය කාර්යයේ විවික්තීකරණය, සහ එක් එක් මූලද්‍රව්‍ය වර්ගය සඳහා හැඩ ශ්‍රිතවල නිශ්චිත ආකාර සඳහා මූලද්‍රව්‍ය අංකන පද්ධතිය සහ හැඩ ශ්‍රිත පුස්තකාලය සහ ඉන් පසු කොටස් බලන්න.

වසම් විභජනය සහ අනුකලනවල මූලද්‍රව්‍ය එකතුව

යොමු වින්‍යාසයේ වසම \(\Omega_0\) සහ වත්මන් වින්‍යාසයේ වසම \(\Omega\) පිළිවෙලින් මූලද්‍රව්‍ය \(\Omega^e_0\), \(\Omega^e\) වල එකතුවෙන් ආසන්න කරයි:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) යනු මූලද්‍රව්‍ය අංකයයි; මූලද්‍රව්‍ය මායිම් අසල්වැසි මූලද්‍රව්‍ය අතර හවුල් වේ). එමඟින් අතථ්‍ය කාර්ය මූලධර්මයේ පරිමා සහ පෘෂ්ඨ අනුකලන, එක් එක් මූලද්‍රව්‍යයේ අනුකලන එකතුවකට විභජනය කළ හැක:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(වත්මන් වින්‍යාසය සඳහාද \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\), \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\) ලෙස ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමෙන් එයම ලැබේ). එතැන් සිට දුර්වල ආකාරය ඇගයීම, එක් එක් මූලද්‍රව්‍යය සඳහා අනුකලනය ගොඩනැගීමේ ගැටලුවකට පත්වේ.

නෝඩ් අගයන් සහ හැඩ ශ්‍රිත මඟින් අන්තර්පෝලනය (අයිසොපරාමිතික මූලද්‍රව්‍ය)

එක් එක් මූලද්‍රව්‍ය \(\Omega^e_0\) සඳහා නෝඩ් \(n_e\) ක් පැවරේ. මූලද්‍රව්‍ය නෝඩ් \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) සඳහා යොමු වින්‍යාස ඛණ්ඩාංක සහ නෝඩ් විස්ථාපන \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) ලෙස ගනිමු. ඒවා පෙළගස්වා ගත් මූලද්‍රව්‍ය නෝඩ් දෛශික \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) යනු සමස්ත නෝඩ් දෛශික \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) යනු මුළු නෝඩ් ගණන) තුළින් මූලද්‍රව්‍ය \(e\) සෑදෙන නෝඩවල සංරචක පමණක් ගත් ඒවාය.

මූලද්‍රව්‍යයේ ස්ථානීය ඛණ්ඩාංක වන ස්වාභාවික ඛණ්ඩාංක \(\boldsymbol{r}\) පරාමිතිය ලෙස ගන්නා හැඩ ශ්‍රිත \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) මඟින්, මූලද්‍රව්‍ය තුළ ද්‍රව්‍ය ඛණ්ඩාංක, විස්ථාපන සහ පරීක්ෂණ ශ්‍රිත එකම හැඩ ශ්‍රිතවලින් අන්තර්පෝලනය කරයි (අයිසොපරාමිතික මූලද්‍රව්‍ය සහ Galerkin ක්‍රමය):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

හැඩ ශ්‍රිත පහත ගුණාංග දෙක සපුරාලන ලෙස ගොඩනගයි. ස්වාභාවික ඛණ්ඩාංකවලින් ද්‍රව්‍ය ඛණ්ඩාංක වෙත වන සිතියම \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) මූලද්‍රව්‍ය තුළ එක-එකට එකක් වන ලෙස මූලද්‍රව්‍ය හැඩය තෝරයි:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) යනු නෝඩය \(\alpha\) ට අදාළ ස්වාභාවික ඛණ්ඩාංක ලක්ෂ්‍යය වන අතර, \(\delta_{\alpha\beta}\) යනු Kronecker ඩෙල්ටාවයි). පළමු සමීකරණය දැඩි-දේහ පරිවර්තනය නැවත නිපදවීම සහතික කරන අතර, දෙවන සමීකරණය අන්තර්පෝලිත අගය නෝඩයේදී නෝඩ් අගයට සමාන බව සහතික කරයි. එක් එක් මූලද්‍රව්‍ය වර්ගය සඳහා \(n_e\), \(N_\alpha^e\) හි නිශ්චිත ආකාර මූලද්‍රව්‍ය අංකන පද්ධතිය සහ හැඩ ශ්‍රිත පුස්තකාලය සහ ඉන් පසු කොටස්වල දක්වා ඇත. සංකේත අතිශය සංකීර්ණ වීම වැළැක්වීමට, මූලද්‍රව්‍ය වර්ගයට ඇති පරායත්තතාව එක් එක් මූලද්‍රව්‍යයට යොදන උපරිලකුණ \(e\) මඟින් නියෝජනය කරයි.

මෙම අන්තර්පෝලන නීති අනුව, දුර්වල ආකාරයේ අනුකලන ශ්‍රිතය මූලද්‍රව්‍ය නෝඩ් අගයන් \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) සහ \(N_\alpha^e\) පමණක් භාවිත කර ප්‍රකාශ කළ හැක. එහෙත් වික්‍රියාව අන්තර්පෝලිත විස්ථාපනය සහ වික්‍රියා-විස්ථාපන සම්බන්ධය මඟින්ද, ආතතිය එම වික්‍රියාව සහ ද්‍රව්‍ය සංයුති නියමය මඟින්ද ව්‍යුත්පන්න වන ප්‍රමාණ වේ; ඒවා නෝඩ් අගයන්ගෙන් සෘජුව අන්තර්පෝලනය නොකෙරේ. ඒවා මූලද්‍රව්‍ය තුළ අනුකලන ලක්ෂ්‍යවලදී ඇගයෙයි (සංඛ්‍යාත්මක අනුකලනය).

සමස්ත නෝඩ් දෛශිකයේ පෙළගැස්වීමේ නීතිය

නෝඩවලට පවරන භෞතික ප්‍රමාණ, සමස්ත නෝඩ් දෛශිකයක් ලෙස නෝඩ් අංකය → නිදහස් අංශකව යන අනුපිළිවෙළට ආරෝහණයෙන් පෙළගස්වයි. නෝඩය \(\alpha\) හි නිදහස් අංශකව \(i\) සඳහා සංරචකය \(u_{i\alpha}\) ලෙස ගත් විට, ත්‍රිමාන (\(i=1,2,3\)) සහ ද්විමාන (\(i=1,2\)) සඳහා පිළිවෙලින්

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

වේ. ඛණ්ඩාංක \(\boldsymbol{X}^n\) සහ පරීක්ෂණ ශ්‍රිත \(\delta\boldsymbol{u}^n\) ද එම පෙළගැස්වීම අනුගමනය කරයි. මෙතැන් සිට න්‍යාස සහ දෛශික ආකාරයේ සමීකරණ විපර්යාස ත්‍රිමාන අවස්ථාව නියෝජනය කරමින් ලියනු ලැබේ.

අදාළ අයිතම