අන්තර්ගතය වෙත යන්න

හැඩ ශ්‍රිතවල අවකාශීය අවකලන

හැඩ ශ්‍රිත සහ සීමිත මූලද්‍රව්‍ය ආසන්නකරණය හි හඳුන්වා දුන් \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) හැඩ ශ්‍රිතය මූලද්‍රව්‍යයේ ස්වභාවික ඛණ්ඩාංක \(\boldsymbol{r}\) හි ශ්‍රිතයකි. දුර්වල ආකෘතියේ අනුකලන සඳහා, වික්‍රියා–විස්ථාපන සම්බන්ධතාව හරහා භෞතික ඛණ්ඩාංකවලට (මූලික වින්‍යාසය \(\boldsymbol{X}\) හෝ වත්මන් වින්‍යාසය \(\boldsymbol{x}\)) අදාළ \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) හෝ \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\) අවකලන අවශ්‍ය වේ. මෙහිදී මූලද්‍රව්‍ය නෝඩ් ඛණ්ඩාංක සහ ස්වභාවික ඛණ්ඩාංක අවකලනවලින් මෙම හැඩ ශ්‍රිතවල අවකාශීය අවකලන ගණනය කිරීම සාරාංශ කරයි.

දාම නියමය අනුව අවකාශීය අවකලනය

\(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) අන්තර්පෝලන සම්බන්ධතාවයට (පෙර පරිච්ඡේදය) දාම නියමය යෙදූ විට, ස්වභාවික ඛණ්ඩාංකවලින් භෞතික ඛණ්ඩාංකවලට සිතියම්කරණයේ ජැකෝබියන් න්‍යාසය \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) භාවිතයෙන්

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

ලැබේ. මෙහි \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) සහ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) යනු පේළිය \(\alpha\) මඟින් නෝඩ් \(\alpha\) හි අවකලන දෛශිකය නිරූපණය කරන \(n_e \times 3\) න්‍යාස වේ.

ජැකෝබියන් න්‍යාසය ගොඩනැගීම

අන්තර්පෝලන සම්බන්ධතාව \(\boldsymbol{r}\) සම්බන්ධයෙන් අවකලනය කළ විට

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

ලැබේ. එබැවින් ජැකෝබියන් න්‍යාසය මූලද්‍රව්‍ය නෝඩ් ඛණ්ඩාංක \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) සහ ස්වභාවික ඛණ්ඩාංක අවකලන \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) වෙතින් සෘජුව ගොඩනැගිය හැක. ස්වභාවික ඛණ්ඩාංක අවකලන හැඩ ශ්‍රිතයේ ආකාරයෙන් තීරණය වන අතර එක් එක් මූලද්‍රව්‍ය වර්ගයට වෙන වෙනම නිර්වචනය කර ඇත.

ජැකෝබියන් න්‍යාසයේ නිර්ණායකය \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) සංඛ්‍යාත්මක අනුකලනය හි \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\) පරිවර්තනයට භාවිතා වේ. නිර්ණායකය \(0\) නම් මූලද්‍රව්‍යය පිරිහී ඇති බැවින් ගණනය අසාර්ථක වේ.

ගණනය කිරීමේ ප්‍රවාහය

ඉහත ව්‍යුත්පන්නයෙන් \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) ගණනය පහත පියවර 4කට බෙදිය හැක.

  1. ස්වභාවික ඛණ්ඩාංක අවකලන ගණනය: මූලද්‍රව්‍ය වර්ගය සහ ඇගයීම් ලක්ෂ්‍යයේ \(\boldsymbol{r}\) ලබාගෙන \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) ගණනය කරයි. හැඩ ශ්‍රිතය මූලද්‍රව්‍ය වර්ගය අනුව වෙනස් වන බැවින් මෙහි ශාඛාගත කිරීම අවශ්‍ය වේ.
  2. ජැකෝබියන් න්‍යාසය ගණනය: \(\boldsymbol{X}^e\) සහ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) වෙතින් පෙර සූත්‍රය අනුව \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) ගොඩනගයි.
  3. ප්‍රතිලෝම න්‍යාසය සහ නිර්ණායකය ගණනය: \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) සහ නිර්ණායකය ගණනය කරයි. නිර්ණායකය සංඛ්‍යාත්මක අනුකලනයේ බර සඳහා භාවිතා වේ.
  4. අවකාශීය අවකලන ගණනය: \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) සහ \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) ගුණනයෙන් \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) ලබා ගනී.

මූලද්‍රව්‍ය වර්ගය සහ අවකාශීය මානය (2D/3D) අනුව විස්තර වෙනස් වුවද සමස්ත ප්‍රවාහය එකම වේ.

මූලික සහ වත්මන් වින්‍යාස අතර පොදු ක්‍රියාපටිපාටිය

ඉහත ක්‍රියාපටිපාටියේ \(\boldsymbol{X}^e\) වෙනුවට වත්මන් නෝඩ් ඛණ්ඩාංක \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) භාවිතා කළහොත් \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) ද එම ක්‍රමයෙන්ම ලැබේ. එබැවින් Total Lagrange සහ Updated Lagrange ක්‍රම සඳහා ආදාන නෝඩ් ඛණ්ඩාංක මාරු කිරීම පමණක් ප්‍රමාණවත් වන අතර එකම ක්‍රියාපටිපාටිය භාවිතා කළ හැක.

අදාළ අයිතම