අන්තර්ගතය වෙත යන්න

අභ්‍යන්තර බල අතථ්‍ය කාර්යයේ විවික්තීකරණය

වර්ධක විශ්ලේෂණ රාමුවේ දක්වා ඇති කාලය \(t + \Delta t\) හි අතථ්‍ය කාර්ය සමීකරණය, යොමු වින්‍යාසය තෝරාගැනීම අනුව Updated Lagrange ක්‍රමය සහ Total Lagrange ක්‍රමය ලෙස දෙකට බෙදේ. මෙම පරිච්ඡේදයේ හැඩ ශ්‍රිත සහ සීමිත මූලද්‍රව්‍ය ආසන්නකරණය සහ හැඩ ශ්‍රිතවල අවකාශීය අවකලනය හි හඳුන්වා දුන් සීමිත මූලද්‍රව්‍ය ආසන්නකරණය භාවිත කර, සූත්‍රගත කිරීම් දෙකේම අභ්‍යන්තර බල අතථ්‍ය කාර්යය අවකාශීයව විවික්තීකරණය කර, මූලද්‍රව්‍ය අභ්‍යන්තර බල දෛශික \(\boldsymbol{q}^e\) (UL ක්‍රමය) සහ \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL ක්‍රමය) ලබාගනී.

මූලද්‍රව්‍ය \(e\) සෑදෙන නෝඩ් \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) සඳහා විස්ථාපන \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\) ලෙසත්, මූලද්‍රව්‍ය නෝඩ් විස්ථාපන දෛශිකය \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) ලෙසත් පෙළගස්වා, අභාසීය විස්ථාපනය \(\delta \boldsymbol{u}^e\) ද එම අනුපිළිවෙළට නිර්වචනය කරයි. මූලද්‍රව්‍ය තුළ විස්ථාපනය හැඩ ශ්‍රිත මඟින් \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\) ලෙස අන්තර්පෝලනය කරයි.

Updated Lagrange ක්‍රමයේ අභ්‍යන්තර බල අතථ්‍ය කාර්යය

Updated Lagrange ක්‍රමයේදී කාලය \(t\) හි වත්මන් වින්‍යාසය \({}^{t}\Omega\) යොමු වින්‍යාසය ලෙස ගෙන, Cauchy ආතතිය \(\boldsymbol{\sigma}\) සහ Almansi වික්‍රියාවේ රේඛීය කොටස \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) භාවිත කර අභ්‍යන්තර බල අතථ්‍ය කාර්යය

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

ලෙස ලියයි. \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) හි එක් එක් සංරචකය, වත්මන් වින්‍යාස ඛණ්ඩාංක \(\boldsymbol{x}\) සම්බන්ධ හැඩ ශ්‍රිත අවකලනය \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) සහ නෝඩ් අභාසීය විස්ථාපනය \(\delta u^e_{i\alpha}\) වල රේඛීය සංයෝජනයක් ලෙස ලිවිය හැකි අතර, Voigt නිරූපණයෙන්

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

ලෙස සාරාංශ කළ හැක. නෝඩ් බ්ලොක් \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) යනු \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) Voigt නීතිය අනුව තැබූ \(6 \times 3\) න්‍යාසයක් වන අතර, \(\boldsymbol{B}_L\) UL ක්‍රමයේ වික්‍රියා-විස්ථාපන සම්බන්ධතා න්‍යාසය වේ. මෙය අභ්‍යන්තර බල අතථ්‍ය කාර්යයට ආදේශ කර \(\delta \boldsymbol{u}^e\) වෙන් කළ විට

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

ලැබේ. \(\boldsymbol{q}^e\) හි නෝඩ් බ්ලොක් \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) යනු මූලද්‍රව්‍ය \(\Omega^e\) සෑදෙන නෝඩය \(\alpha\) මත ක්‍රියා කරන අභ්‍යන්තර බලයයි.

Total Lagrange ක්‍රමයේ අභ්‍යන්තර බල අතථ්‍ය කාර්යය

Total Lagrange ක්‍රමයේදී මූලික වින්‍යාසය \(\Omega_0\) යොමු වින්‍යාසය ලෙස ගෙන, දෙවන Piola-Kirchhoff ආතතිය \(\boldsymbol{S}\) සහ Green-Lagrange වික්‍රියාව \(\boldsymbol{E}\) භාවිත කර

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

ලෙස ලියයි. \(\delta \boldsymbol{E}\) අභාසීය විස්ථාපනයට අදාළ රේඛීය පදයක් සහ වත්මන් විස්ථාපන අනුක්‍රමණය \(\partial u_k/\partial X_j\) සමඟ ගුණිතයක් අඩංගු රේඛීය නොවන පදයක් ලෙස බෙදිය හැක:

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

රේඛීය පදය, UL ක්‍රමයේ පෙළගැස්වීමේ නීතියම \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) ට යෙදූ නෝඩ් බ්ලොක් \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) භාවිත කර

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

ලෙස ලිවිය හැක (යොමු වින්‍යාසයේ වෙනස නිසා සංරචක \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) සිට \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) දක්වා පමණක් ප්‍රතිස්ථාපනය වන අතර, සංකේතය UL ක්‍රමය සමඟ හවුලේ භාවිත කරයි). රේඛීය නොවන පදය, වත්මන් විස්ථාපන අනුක්‍රමණය \(\partial u_k/\partial X_j\) සහ \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) හි ගුණිතයන් Voigt නීතිය අනුව තැබූ නෝඩ් බ්ලොක් \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\) මඟින්

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

ලෙස ලිවිය හැක. එබැවින් \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\) වන අතර, \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) TL ක්‍රමයේ වික්‍රියා-විස්ථාපන සම්බන්ධතා න්‍යාසය වේ. මෙය අභ්‍යන්තර බල අතථ්‍ය කාර්යයට ආදේශ කළ විට

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

ලැබේ. නෝඩ් බ්ලොක් \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) යනු මූලද්‍රව්‍ය \(\Omega^e_0\) සෑදෙන නෝඩය \(\alpha\) මත ක්‍රියා කරන අභ්‍යන්තර බලයයි.

UL/TL අනුකූලතාව සහ ගණනය ප්‍රවාහය

Updated Lagrange ක්‍රමය සහ Total Lagrange ක්‍රමය සඳහා මූලද්‍රව්‍ය අභ්‍යන්තර බල දෛශික අතර පහත අනුකූලතාව ඇත.

අයිතමය Updated Lagrange ක්‍රමය Total Lagrange ක්‍රමය
යොමු වින්‍යාසය වත්මන් වින්‍යාසය \({}^{t}\Omega^e\) මූලික වින්‍යාසය \(\Omega^e_0\)
ආතති ටෙන්සරය Cauchy ආතතිය \(\boldsymbol{\sigma}\) දෙවන PK ආතතිය \(\boldsymbol{S}\)
වික්‍රියා විචලනය \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B න්‍යාසය \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
මූලද්‍රව්‍ය අභ්‍යන්තර බලය \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

දෙකම “හැඩ ශ්‍රිතවල අවකාශීය අවකලනවලින් \(\boldsymbol{B}_L\) ගොඩනැගීම”, “TL ක්‍රමයේදී වත්මන් විස්ථාපන අනුක්‍රමණයෙන් \(\boldsymbol{B}_{NL}\) ගොඩනගා එකතු කිරීම”, “සංයුති නියමය අනුව ආතතිය (\(\boldsymbol{\sigma}\) හෝ \(\boldsymbol{S}\)) යාවත්කාලීන කිරීම”, සහ “අනුකලන ලක්ෂ්‍යවලදී \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) හෝ \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) මූලද්‍රව්‍ය වසම මත සංඛ්‍යාත්මකව අනුකලනය කිරීම (සංඛ්‍යාත්මක අනුකලනය)” යන එකම ක්‍රියාපටිපාටියකින් හැසිරවිය හැක. යොමු වින්‍යාසය මාරු කිරීම (නෝඩ් ඛණ්ඩාංක සහ \(\boldsymbol{B}\) න්‍යාසය ගොඩනැගීම) සහ ආතති ටෙන්සරය වෙනස් කිරීම හැර අනෙක් සියල්ල පොදු බැවින්, FrontISTR හි ක්‍රම දෙකේම අභ්‍යන්තර බල ගණනය පොදු උපක්‍රමයක් මඟින් ක්‍රියාත්මක කර ඇත. මූලද්‍රව්‍ය අභ්‍යන්තර බල දෛශික \(\boldsymbol{q}^e\), \(\boldsymbol{Q}^e\) වලින් සමස්ත අභ්‍යන්තර බල දෛශිකය එකලස් කිරීම බාහිර බල අතථ්‍ය කාර්යය සහ සමස්ත සමීකරණය එකලස් කිරීම හි විස්තර කරයි.

අදාළ අයිතම