අන්තර්ගතය වෙත යන්න

බාහිර බලයේ අතථ්‍ය කාර්යය සහ සමස්ත සමීකරණ එකලස් කිරීම

අභ්‍යන්තර බලයේ අතථ්‍ය කාර්යය විවික්තීකරණය තුළ දුර්වල ආකාරයේ වම් පැත්ත මූලද්‍රව්‍ය අභ්‍යන්තර බල දෛශිකය \(\boldsymbol{q}^e\) (UL ක්‍රමය) හෝ \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL ක්‍රමය) ලෙස එකතු කරන ලදී. මෙම පරිච්ඡේදයේ බාහිර බලයේ අතථ්‍ය කාර්යයෙන් මූලද්‍රව්‍ය-නෝඩ් බාහිර බල දෛශිකය \(\boldsymbol{F}^e\) හඳුන්වා දී, මූලද්‍රව්‍ය-නෝඩ් භෞතික රාශි සමස්ත නෝඩ් අංක අනුව නැවත සකස් කර එකතු කරන එකලස් කිරීම හරහා FrontISTR හි රේඛීය නොවන ව්‍යුහාත්මක විශ්ලේෂණය විසඳිය යුතු නෝඩ් විස්ථාපන සම්බන්ධ රේඛීය නොවන සමීකරණ පද්ධතියට ළඟා වේ.

බාහිර බල අතථ්‍ය කාර්යයේ මූලද්‍රව්‍ය විභජනය

අතථ්‍ය කාර්ය මූලධර්මයේ දකුණු පැත්ත, පරිමා බලය (දේහ බලය) සහ යාන්ත්‍රික මායිමේ නියමිත පෘෂ්ඨ බලයෙන් සමන්විත බාහිර බල අතථ්‍ය කාර්යය ලෙස මූලද්‍රව්‍ය අනුව විභජනය කළ හැක. හැඩ ශ්‍රිත සහ සීමිත මූලද්‍රව්‍ය ආසන්නකරණය තුළ හඳුන්වා දුන් විස්ථාපන අන්තර්පෝලනය න්‍යාස ආකාරයෙන් ලිවීමට, නෝඩය \(\alpha\) හි හැඩ ශ්‍රිතය \(N_\alpha^e\) කර්ණයේ තබන \(d \times d\) බ්ලොකය \(\boldsymbol{N}_\alpha\) ලෙසත්, ඒවා තිරස්ව පෙළගැස්වූ \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) ලෙසත් ගෙන \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) ලෙස ලියයි. මෙය සමුද්දේශ වින්‍යාසයෙන් ලියා ඇති බාහිර බල අතථ්‍ය කාර්යයට ආදේශ කළ විට

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

ලැබේ. මෙහි මූලද්‍රව්‍ය-නෝඩ් බාහිර බල දෛශිකය \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) ලෙස පෙළගස්වා ඇත. එමඟින් බාහිර බල අතථ්‍ය කාර්යයද අභ්‍යන්තර බල පැත්ත මෙන් “මූලද්‍රව්‍ය-නෝඩ් දෛශිකය × පරීක්ෂණ ශ්‍රිතය” ආකාරයට එකතු කළ හැක (වත්මන් වින්‍යාසයෙන් ලියා ඇතත් \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\), \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\) යන ආදේශ මඟින් එකම ආකාරය ලැබේ).

මූලද්‍රව්‍ය-නෝඩ් භෞතික රාශි එකලස් කිරීම

එක් එක් මූලද්‍රව්‍යයෙන් ලැබෙන නෝඩ් භෞතික රාශි \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) සමස්ත නෝඩ් අංක අනුව නැවත සකස් කළ සමස්ත දෛශිකයට එකතු කරයි. මූලද්‍රව්‍යය \(\Omega^e\) හි මූලද්‍රව්‍ය අභ්‍යන්තර නෝඩ් අංකය \(\alpha\) ට අනුරූප සමස්ත නෝඩ් අංකය

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

ලෙස දැක්වූ විට, මූලද්‍රව්‍ය-නෝඩ් භෞතික රාශිය සමස්ත නෝඩ් භෞතික රාශියේ අනුරූප සංරචකයට සමාන වේ (උදා. \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). සාමාන්‍යයෙන් නෝඩය \(i_g\) මූලද්‍රව්‍ය කිහිපයක් විසින් බෙදාගන්නා බැවින්, සමස්ත නෝඩ් අංකය \(i_g\) වන \((e, \alpha)\) යුගල එකතු කළ කුලකය

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

භාවිතයෙන් \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\) ලෙස එකතුව නැවත ලියන විට, සියලු නෝඩ් \(n_g\) සඳහා නෝඩ් අභ්‍යන්තර බලය සහ සමස්ත අභ්‍යන්තර බල දෛශිකය

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

ලැබේ. \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) යනු නෝඩය \(i_g\) මත ක්‍රියා කරන මූලද්‍රව්‍ය-නෝඩ් අභ්‍යන්තර බලවල සම්ප්‍රයුක්ත බලයට අනුරූප වන අතර, බාහිර බලයක් නොමැතිව සමතුලිත නම් එය \(\boldsymbol{0}\) වේ. UL ක්‍රමයේද එම ක්‍රියාපටිපාටියෙන් \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\) ලැබෙන අතර අගයන් ලෙස \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\) බැවින්, මෙතැන් සිට වෙනස අවශ්‍ය ස්ථාන හැර \(\boldsymbol{Q}\) යන සංකේතය භාවිතා කරයි. සමස්ත බාහිර බල දෛශිකය \(\boldsymbol{F}\) ද එම එකතු කිරීමෙන් ලැබේ.

ක්‍රියාත්මක කිරීමේදී \(\mathcal{E}(i_g)\) කුලකය පැහැදිලිව නිර්මාණය නොකර, මූලද්‍රව්‍ය ලූපය තුළ අනුරූප සංරචකයට එකතු කරයි.

සමස්ත අභ්‍යන්තර බල දෛශිකය Q, 0 ලෙස ආරම්භ කරන්න: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (මූලද්‍රව්‍ය ගණන)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

සමස්ත බාහිර බල දෛශිකය \(\boldsymbol{F}\) ද එම ක්‍රියාපටිපාටියෙන් සකස් කරයි. සමස්ත නෝඩ් අංක අනුව අංකනය කළ දෛශික සහ න්‍යාසවලට මූලද්‍රව්‍ය-නෝඩ් භෞතික රාශි එකතු කර ගබඩා කිරීමේ මෙම ක්‍රියාව එකලස් කිරීම (assemble) ලෙස හැඳින්වේ. නෝඩ් අංක දෙකක් සම්බන්ධ දෙවන අනුපිළිවෙළ ටෙන්සරයක් (දෘඪතා න්‍යාසයක් වැනි) සඳහා, \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) කුලකය භාවිතයෙන් සමාන එකලස් කිරීමක් ලබාගත හැක (නිශ්චිත සකස් කිරීම සඳහා ස්පර්ශක දෘඪතා න්‍යාසය බලන්න).

විසඳිය යුතු රේඛීය නොවන සමීකරණය

අභ්‍යන්තර හා බාහිර බල එකලස් කිරීමේ ප්‍රතිඵල අතථ්‍ය කාර්ය මූලධර්මයට ආදේශ කළ විට, ජ්‍යාමිතික මායිම් කොන්දේසි සපුරාලන ඕනෑම පරීක්ෂණ ශ්‍රිතයක් \(\delta\boldsymbol{u}^n\) සඳහා එය වලංගු බැවින්

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

ලැබේ. වර්ධක විශ්ලේෂණයේ (වර්ධක විශ්ලේෂණ රාමුව) සන්දර්භය තුළ කාල උපසර්ගය \(_{n+1}\) නැවත යොදා, සමස්ත නෝඩ් දෛශිකය දක්වන උඩුසර්ගය \(^n\) අත්හැරිය විට, විසඳිය යුතු සමීකරණය

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

වේ. කාලය \(t_{n+1}\) දී නෝඩ් විස්ථාපනය \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) සොයන විවික්ත කළ මායිම් අගය ගැටලුව, මෙම විස්ථාපනය සම්බන්ධ රේඛීය නොවන සමීකරණය ජ්‍යාමිතික මායිම් කොන්දේසි සමඟ විසඳීමට සීමා වේ. සමීකරණය රේඛීයකරණය කිරීම සහ ස්පර්ශක දෘඪතා න්‍යාසය සකස් කිරීම සඳහා ස්පර්ශක දෘඪතා න්‍යාසය බලන්න; පුනරාවර්තන විසඳුම සඳහා Newton-Raphson ක්‍රමය බලන්න.

අදාළ අයිතම