අන්තර්ගතය වෙත යන්න

සංඛ්‍යාත්මක අනුකලනය

අභ්‍යන්තර බල අතථ්‍ය කාර්යයේ විවික්තීකරණය සහ බාහිර බලයේ අතථ්‍ය කාර්යය හා සමස්ත සමීකරණ එකලස් කිරීම තුළ ලැබෙන මූලද්‍රව්‍ය අභ්‍යන්තර බල දෛශික \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) සහ දෘඪතා න්‍යාස \(\boldsymbol{K}^e\) යනු \(\Omega^e\) හෝ \(\Omega^e_0\) මත අනුකලන වේ. FrontISTR ඒවා Gauss අනුකලන සූත්‍ර මඟින් සංඛ්‍යාත්මකව ඇගයීම් කරයි.

Gauss අනුකලන සූත්‍රය සහ විචල්‍ය පරිවර්තනය

Gauss අනුකලනය සම්මත කලාපය \(\Xi\) මත අනුකලනය, අනුකලන ලක්ෂ්‍ය \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) හි ශ්‍රිත අගයන් සහ බර \(w_i\) හි රේඛීය එකතුවකින් ආසන්න කරයි. මූලද්‍රව්‍ය කලාපය \(\Omega^e\) වෙත යෙදීමේදී \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\) සිතියම මඟින් මූලද්‍රව්‍ය කලාපයට පරිවර්තනය කළ විට

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

වේ. \(n_q\) යනු අනුකලන ලක්ෂ්‍ය ගණන සහ \(J_{\xi_i}\) යනු පරිවර්තන Jacobian නිර්ණායකයයි. \(\Xi\) මූලද්‍රව්‍ය වර්ගය අනුව තීරණය වේ: ෂඩ්මුඛ සඳහා \([-1,1]^3\) සහ ත්‍රිකෝණ, චතුර්මුඛ, වෙජ් සඳහා ඒවායේ සම්මත කලාප. \(\boldsymbol{\xi}_i\) සහ \(w_i\) සංඛ්‍යාත්මක වගු ලෙස දෙනු ලැබේ. මතුපිට අනුකලන ද 2D සම්මත කලාපයකින් මූලද්‍රව්‍ය මතුපිටට සිතියම් කිරීමෙන් එම ආකාරයෙන් සලකයි.

FrontISTR හි ප්‍රධාන අනුකලන ලක්ෂ්‍ය ගණන පහත දැක්වේ (මූලද්‍රව්‍ය අංක පද්ධතිය සහ හැඩ ශ්‍රිත පුස්තකාලය බලන්න).

මූලද්‍රව්‍ය වර්ගය අනුකලන සූත්‍රය ලක්ෂ්‍ය ගණන
නෝඩ් 4 චතුර්මුඛය (tet4n) ලක්ෂ්‍ය 1 සූත්‍රය 1
නෝඩ් 10 චතුර්මුඛය (tet10n) ලක්ෂ්‍ය 4 සූත්‍රය 4
නෝඩ් 6 ත්‍රිකෝණ ප්‍රිස්මය (prism6n) ලක්ෂ්‍ය 2 සූත්‍රය 2
නෝඩ් 15 ත්‍රිකෝණ ප්‍රිස්මය (prism15n) ලක්ෂ්‍ය 9 සූත්‍රය 9
නෝඩ් 8 ෂඩ්මුඛය (hex8n) 2×2×2 Gauss-Legendre 8
නෝඩ් 20 ෂඩ්මුඛය (hex20n) 3×3×3 Gauss-Legendre 27
නෝඩ් 4 චතුර්භුජය (quad4n) 2×2 Gauss-Legendre 4
නෝඩ් 8 චතුර්භුජය (quad8n) 3×3 Gauss-Legendre 9
නෝඩ් 3 ත්‍රිකෝණය (tri3n) ලක්ෂ්‍ය 1 සූත්‍රය 1
නෝඩ් 6 ත්‍රිකෝණය (tri6n) ලක්ෂ්‍ය 3 සූත්‍රය 3

ෂඩ්මුඛ, චතුර්භුජ සහ රේඛා මූලද්‍රව්‍ය සඳහා එක් එක් අක්ෂයේ Gauss-Legendre සූත්‍රවල ටෙන්සර් ගුණිතය භාවිතා කරයි. ත්‍රිකෝණ, චතුර්මුඛ සහ ප්‍රිස්ම සඳහා සිම්ප්ලෙක්ස් ආකාරයට ගැළපෙන විශේෂ සූත්‍ර භාවිතා කරයි.

මූලද්‍රව්‍ය අනුකලනයට යෙදීම

මූලද්‍රව්‍ය අනුකලනයේදී ස්වභාවික ඛණ්ඩාංක \(\boldsymbol{r}\) සම්මත කලාපයේ ඛණ්ඩාංක ලෙස ගනිමින් (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), භෞතික ඛණ්ඩාංකයට සිතියම හැඩ ශ්‍රිත මඟින් නෝඩ් ඛණ්ඩාංක අන්තර්පෝලනයෙන් දෙනු ලැබේ. වර්ධක විශ්ලේෂණ රාමුව අනුව පහත පරිදි වෙන් කරයි.

සම්පූර්ණ ලැග්‍රැන්ජියානු ක්‍රමය (මූලික වින්‍යාසය \(\Omega^e_0\) මත අනුකලනය):

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

සහ

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

ලෙස ආසන්න කරයි. \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) සියල්ල \(\boldsymbol{r}_i\) හි ඇගයීම් කරයි.

යාවත්කාලීන ලැග්‍රැන්ජියානු ක්‍රමය (වත්මන් වින්‍යාසය \(\Omega^e\) මත අනුකලනය):

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

සහ

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

ලෙස ආසන්න කරයි.

මෙම දෙක අතර වෙනස වන්නේ සිතියමට දෙන නෝඩ් ඛණ්ඩාංක \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) ද \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\) ද යන්න පමණි. අනුකලන ලක්ෂ්‍ය, බර සහ ලූප් ව්‍යුහය පොදු වේ.

පූර්ණ අනුකලනය සහ අඩු-අනුපිළිවෙළ අනුකලනය

අනුකලනයේ බහුපද අනුපිළිවෙළ නිවැරදිව අනුකලනය කළ හැකි තරම් ලක්ෂ්‍ය භාවිතා කිරීම පූර්ණ අනුකලනය ලෙසද, එයට වඩා එක් මට්ටමක් අඩු ලක්ෂ්‍ය භාවිතා කිරීම අඩු-අනුපිළිවෙළ අනුකලනය ලෙසද හැඳින්වේ. දෙවැන්න කර්තන/පරිමාමිතික ලොක් වීම අඩු කිරීමට උපකාරී වුවද හෝර්ග්ලාස් ප්‍රකාරය වැනි ව්‍යාජ විරූපණ ප්‍රකාරය සඳහා ප්‍රතිකාර අවශ්‍ය වේ. මූලද්‍රව්‍ය අනුව ලක්ෂ්‍ය ගණන සහ තේරීම මූලද්‍රව්‍ය අංක පද්ධතිය සහ හැඩ ශ්‍රිත පුස්තකාලය සහ උසස් මූලද්‍රව්‍ය සූත්‍රකරණ හි විස්තර කරයි.

අදාළ අයිතම